Mathlet – interaktivni digitalni materijal namijenjen samostalnom učenju

Objavljeno autor

zeljkaBD

Specifičnosti primjene IKT-a u nastavi matematike

NCTM – Američka nacionalna udruga učitelja matematike ističe šest načela nastave matematike među kojima je i načelo tehnologije. "Tehnologija je prijeko potrebna u poučavanju i učenju matematike; ona utječe na matematiku koja se poučava i unapređuje učenikovo učenje." (NCTM, 2000). Međutim, tehnologija neće sama po sebi dovesti do poboljšanja u nastavi, njena uloga je sporedna, a primarne su aktivnosti koje se izvode pomoću tehnologije. Herceg (2008) ističe problem korištenja računala u nastavi: "Računalo nas prisiljava da mislimo o stvarima o kojima bismo morali misliti i bez računala" te pojašnjava kako mediji koji ne mogu "prerađivati" već služe samo za promatranje, imaju ograničenu vrijednost. Stoga bi primjena računala u nastavi matematike trebala podrazumijevati edukativno korištenje računala sa specijaliziranom matematičkom softverskom podrškom.

Prema Glasnović Gracin (2008), specijalizirana softverska podrška odnosi se na one programe koji podržavaju jedan ili više matematičkih prikaza (grafičkih, simboličkih, tabelarnih), a to mogu biti razni programi dinamičke geometrije (engl. Software Dynamic Geometry, kratica SDG), tablični kalkulatori, grafički alati te sustavi računalne algebre (engl. Computer Algabra System, kratica CAS).

Sustavi računalne algebre (CAS) su programi koji podržavaju prikaz i manipulaciju sa simboličkim matematičkim izrazima. Oni mogu rješavati jednadžbe, sređivati i faktorizirati algebarske izraze, vizualizirati algebarske objekte te omogućuju analitičku obradu geometrije. Primjeri CAS-a su paketi Mathematica, Maxima, Maple, Derive itd.

Programi dinamične geometrije (SDG) omogućavaju dinamičnu konstrukciju geometrijskih objekata tako da se mišem lako može mijenjati položaj ucrtanih geometrijskih objekata, pri čemu matematički odnosi među objektima na ekranu ostaju sačuvani. Primjeri takvih programa su C.a.R, Cabri, Cinderella, Euklides, Mathematica, GeoGebra, The Geometer’s Sketchpad, a dva posljednja su prevedena na hrvatski jezik i u široj su upotrebi u hrvatskim školama.

Zašto baš GeoGebra?

Među svim gore navedenim programima posebno ću izdvojiti GeoGebru jer sadrži elemente CAS-a i SDG-a, što za primjenu u nastavi znači da povezuje geometriju i algebru. Također omogućuje sva tri matematička prikaza – grafički, simbolički i tabelarni (Slika 1.) te kao takva ima veliku prednost pred ostalim programima jer se umjesto dva ili više specijaliziranih programa, za potrebe nastave može koristiti samo jedan softver, a također omogućava prebacivanje iz jednog prikaza u drugi.

slika1

Slika 1. Simbolički, grafički i tabelarni prikaz Geogebre

Osnovno obilježje ovog programa jest da izraz u algebarskom prozoru odgovara objektu u geometrijskom prozoru i obratno.

GeoGebra je svima dostupna jer je otvorenog koda, svatko ju može besplatno preuzeti s interneta (www.geogebra.org) i koristiti u školi i kod kuće. GeoGebra je jednostavna i intuitivna pa će i učenici i nastavnici vrlo brzo savladati rad u tom programu te ga moći primjenjivati u gotovo svim segmentima nastave matematike. Učenicima se pruža mogućnost eksperimentiranja, samostalnog istraživanja vlastitim tempom i otkrivanja novih spoznaja. Nastavnicima se nudi suradničko okruženje putem mrežnog mjesta GeoGebraWiki gdje svatko slobodno može preuzeti ili predati materijal te foruma za korisnike Geogebra User Forum na kojem se nudi podrška i mogućnost razmjene ideja i materijala te rasprava o eventualnim problemima i rješenjima. Dinamični uratci kreirani u GeoGebri podliježu Creative Commons licenci što znači da ih se po potrebi može mijenjati, prilagođavati i nadopunjavati u nekomercijalne svrhe. To je izuzetno važno jer se svakom, pa i najmanjom intervencijom, nastavnik aktivno uključuje kao kreator i preuzima vođenje nastavnog procesa (Bjelanović Dijanić i Ćurković, 2008).

Mathlet – interaktivni digitalni obrazovni materijal

U osnovnoškolskom i srednjoškolskom učenju matematike naglasak je na razumijevanju matematičkih sadržaja koji su velikim dijelom apstraktni što otežava njihovo razumijevanje. U vizualizaciji tih sadržaja može pomoći računalo. Lester (2000) naglašava kako se matematički objekti po svojoj prirodi nalaze u sredini između konkretnog i apstraktnog. Iako im nedostaje fizičke realnosti, oni posjeduju vizualnu formu te ih se može pomicati i mijenjati pri čemu su u međusobnom odnosu, a izvana pod utjecajem korisnika. Upravo ta središnja pozicija ima važne implikacije za matematiku uz pomoć računala. "Dok objekti iz realnog života dolaskom na ekran postaju apstraktni, matematički objekti koji su apstraktni, na ekranu postaju konkretni." U tu svrhu preporuča se korištenje specijaliziranog matematičkog softvera poput programa dinamične geometrije i sustava računalne algebre. A programi koji povezuju geometriju, algebru, analizu i statistiku, poput Geogebre, mogu se koristiti u gotovo svim segmentima nastave matematike.

Naglim razvojem IKT-a u prošla dva desetljeća dogodile su se velike promjene u generacijama učenika. Današnji učenici pripadaju generaciji "digitalnih urođenika" koji u svijet računala ulaze kaotično, napreskokce, otkrivajući ga sami. Pa zašto im u nastavi matematike ne bismo omogućili individualni rad na računalu, samostalno istraživanje vlastitim tempom, stvaranje vlastitih spoznaja? U tako organiziranoj nastavi mijenja se uloga nastavnika – on postaje mentor, pomagač i suradnik. Glavni zadatak mu je osigurati izvore znanja i stvarati pedagoške situacije u kojima će svaki učenik moći ostvariti optimalne mogućnosti i zadovoljiti svoje osnovne potrebe (Matijević, 2002).

Jedna od mogućnosti je samostalan rad (ili rad u paru) učenika na pažljivo odabranim i unaprijed dobro pripremljenim digitalnim nastavnim materijalima koji su prilagođeni ciljevima nastave matematike. Digitalni materijali za potrebe nastave matematike trebaju biti dinamični i interaktivni. Ovdje se pod dinamičnošću misli na mogućnost promjena promatranih matematičkih objekata u skladu s njihovim definicijskim svojstvima. Interaktivnost se odnosi ne samo na korisnika koji može mijenjati određene parametre, već i na suodnos prikazanih objekata ili suodnos s popratnim tekstom koji tada nazivamo dinamični tekst.

Među brojnim digitalnim materijalima koje možemo pronaći na internetu posebno bih izdvojila mathlete. Mathlet je manji objekt učenja koji obrađuje određenu matematičku temu ili problem namijenjen demonstraciji nastavnika ili samostalnom učenju učenika (Hohenwarter i Preiner, 2007). Mathlet se konstruira kao interaktivna mrežna stranica koja se sastoji od dinamičnih elemenata (interaktivnih apleta) te statičnih elemenata (objašnjenja, pitanja i zadataka za učenike). Poput većine programa dinamične geometrije i Geogebra omogućuje jednostavnu izradu interaktivne mrežne stranice s ugrađenim apletom koji se izvozi iz dinamičnog uratka. Tako dobivenu mrežnu stranicu moguće je dodatno uređivati i dopunjavati odgovarajućim tekstom u nekom od programa za uređivanje mrežnih stranica ili u običnom programu za uređivanje teksta. Web tehnologija koja se koristi za "oživljavanje" dinamičnih elemenata jest objektni programski jezik Java. Osnovne naredbe Javascripta također se mogu umetati, odnosno uređivati unutar programa za uređivanje teksta.

Kao primjer mathleta kreiranog u GeoGebri navodim dokaz Pitagorinog poučka.

clip_image004 clip_image006

Slika 2. Dokaz Pitagorinog poučka bez riječi

Postoji nekoliko dokaza Pitagorinog poučka bez riječi korištenjem dinamične slike (Lin, 2006), a ovdje je jedan od njih prikazan u obliku mathleta. Središnji dio mrežne stranice zauzima interaktivni Java aplet ispod kojeg se nalaze kratke upute za rad. Pomicanjem klizača unutar apleta istaknuti raznobojni četverokuti postupno se pomiču i preslaguju te tako popunjavaju površinu kvadrata nad hipotenuzom. Učeniku se nudi da istraži i analizira ovu dinamičnu demonstraciju na različitim pravokutnim trokutima te donese vlastiti zaključak koji može provjeriti klikom na gumb Odgovor.

Radom na mathletima učenici eksperimentiraju, izvode zaključke, stječu osobno iskustvo, razvijaju kreativno mišljenje i izgrađuju vlastito znanje. Pritom interaktivna mrežna stranica mora biti napravljena tako da se učenik u svom eksperimentu ne izgubi. To se postiže metodom vođenog učenja otkrivanjem – uz interaktivni aplet nalazi se nekoliko pažljivo odabranih pitanja ili zadataka koji učenika vode u procesu zaključivanja i spoznaje s minimalnim rizikom od neuspjeha (Hohenwarter i Preiner, 2007). Little (2008) ističe problem opširnosti pri izradi tekstualnih uputa koje će osiguravati da učenici pravilno rade na apletu. Ako ih ne usmjerimo dovoljno, učenici bi se mogli preplašiti, zalutati, ne završiti zadatak. Ako ponudimo suviše detaljne upute, tada će biti preokupirani praćenjem uputa i neće se fokusirati na matematičke ideje.

Ovakvim pristupom moguće je obuhvatiti i cijele nastavne jedinice ili teme. Nastavni sadržaji podijele se na manje dijelove koje je moguće obraditi unutar jednog mathleta, a zatim se te interaktivne mrežne stranice povežu hipervezama. Nije rijedak slučaj da je učenicima na raspolaganju i izbornik te da oni samostalno mogu birati koje sadržaje žele raditi. No, tu ipak treba pripaziti. Šuljić (2007) upozorava na opasnost pretrčavanja kroz materijal kod onih učenika koji su vješti u radu s računalom i skloni brzanju kroz sadržaje tražeći zabavu. Stoga ih na samom početku valja upozoriti da pažljivo čitaju tekst ne preskačući ništa, a još je bolje ako rade u parovima i raspravljaju dok prolaze kroz materijal.

Primjer interaktivnog materijala "Parabola"

Slijedi prikaz materijala za nastavnu jedinicu "Parabola" koji je nastao u okviru e-tečaja GeoGebre kao moj završni rad, a dostupan je na mrežnoj stranici http://free-bj.htnet.hr/zbjelanovic/parabola/.

slika3S obzirom da je nastavna jedinica opširna, odlučila sam izraditi nekoliko mathleta te ih povezati hipervezama kako bi svaki od njih mogao biti vidljiv bez pomicanja po stran a kratko objašnjenje što materijal obuhvaća i upute za rad, dala sam na početnoj stranici.

 

Slika 3. Početna stranica digitalnog nastavnog materijala "Parabola" slika4

Prva interaktivna mrežna stranica (Slika 4.) obrađuje definiciju parabole. Kao i sve ostale stranice, sastoji se od Java apleta s lijeve strane i uputa za rad s desne strane.

 

Slika 4. Interaktivna mrežna stranica "Definicija parabole"

Učenici pažljivo čitaju upute i izvode zadane naredbe te promatraju što se događa unutar apleta. Sve o čemu govori tekst unutar mrežne stranice nastoji se unutar apleta pokazati zorno i dinamički, npr. jednakost udaljenosti d(T,F)=d(T,d) naglašena je zelenom bojom i istaknutim vrijednostima udaljenosti. Aplet je dinamičan pa se pomicanjem točke T vrijednosti mijenjaju, ali ostaju međusobno jednake. Točka T pri pomicanju može ostavljati trag na temelju kojeg učenik upoznaje novu krivulju – parabolu koju zatim može konstruirati upisivanjem naredbe u polje za unos unutar mrežne stranice. Na taj način se učenika potiče na izvođenje zaključaka, na temelju vlastitog iskustva on pokušava definirati parabolu, a svoj odgovor može provjeriti klikom na gumb Odgovor.

Idući mathlet (Slika 5.) upoznaje učenika s osnovnim pojmovima vezanima uz definiciju parabole. Uz odgovarajući tekst kojim slika5se definiraju novi pojmovi nalaze se gumbi kojima se na apletu mogu pokazati ili sakriti ti novi matematički objekti. Također je dana mogućnost da se pomoću kontrolnog okvira unutar apleta prikaže klizna točka parabole koju je moguće pomicati po paraboli i još jednom se uvjeriti da su udaljenosti svake točke parabole do žarišta F i do ravnalice d jednake.

 

Slika 5. Interaktivna mrežna stranica "Osnovni pojmovi"

Slijedi mathlet (Slika 6.) koji pokazuje konstrukciju parabole upravo onako kako bi se izvodila ravnalom i šestarom.

slika6 Slika 6. Interaktivna mrežna stranica "Konstrukcija parabole"

Ipak, velika je razlika u tome što je na apletu sve dinamično pa se nakon konstrukcije prvog para točaka pomicanjem konstrukcije odmah generiraju i ostale točke parabole. Alati potrebni za izvođenje konstrukcije učeniku su dostupni unutar apleta, a upute sa strane postupno ga vode kroz korake konstrukcije. Unutar apleta dostupno je polje za unos u koje se mogu upisivati potrebne naredbe pa se tako na samom kraju upisivanjem naredbe za konstrukciju parabole može provjeriti ispravnost konstrukcije dobivene putem alata.slika7
Osim alata, izbornika i polja za unos, unutar apleta je, uz geometrijski, moguće prikazati i algebarski prozor (Slika 7.). On sadrži koordinate, jednadžbe i druge vrijednosti matematičkih objekata prikazanih na zaslonu koji su ispisani u istoj boji kojom je nacrtan pripadajući im objekt. To omogućava lakše snalaženje u većem broju konstruiranih matematičkih objekata.

 

Slika 7. Interaktivna mrežna stranica "Jednadžba parabole"

Na ovoj interaktivnoj mrežnoj stranici (Slika 7.) parabola se smješta u koordinatni sustav. Pomicanjem točke F moguće je promatrati više pojedinačnih slučajeva jednadžbe parabole te na osnovi induktivnog zaključivanja izvesti općeniti zaključak. Kako bi učenici bili sigurni da su pravilno uočili promatrane zakonitosti, preko gumba unutar teksta nude se točni odgovori. Također se za svaku točku clip_image018parabole klikom na kontrolni okvir Klizna točka parabole unutar apleta može računski provjeriti zadovoljava li danu jednadžbu.

U slučaju da ne želimo unutar apleta prikazati algebarski prozor, tekst se može upisivati i u geometrijski prozor (Slika 8.). Ukoliko se tekst mijenja u skladu s promjenama matematičkih objekata, govorimo o dinamičkom tekstu.

Slika 8. Interaktivna mrežna stranica "Pomaci parabole"

Gornji aplet također pokazuje kako se vrijednosti parametara mogu mijenjati pomicanjem klizača. Na taj način se brzo i točno istražuje utjecaj parametara na jednadžbe promatranih objekata. Suvišno je spominjati koliko ovakav način poučavanja može ubrzati proces učenja u odnosu na ploču i kredu.

U ovom radu prikazano je tek nekoliko interaktivnih mrežnih stranica s različitim ponuđenim mogućnostima. Materijal sadrži još nekoliko mathleta, ali posao na "Paraboli" nije gotov. Nakon što ga isprobaju ostali nastavnici i učenici, svaka sugestija s ciljem poboljšanja materijala nastojat će se uvažiti te, prema mogućnostima, i ugraditi u ovaj digitalni materijal.
Slični interaktivni materijali na hrvatskom jeziku koji obuhvaćaju kompletne nastavne jedinice za učenike osnovnih i srednjih škola mogu se naći na mrežnim stranicama Interaktivna matematika udruge Normala.


Zaključak

Matematika kao predmet pun apstraktnih pojmova vapi za zorom i dinamikom. Programi dinamičke geometrije pružaju mogućnost vizualizacije i dinamične predodžbe. Mathleti koji se mogu lako generirati iz takvih programa učeniku nude interaktivan pristup nastavnim sadržajima. Njihovim korištenjem u procesu učenja budi se znatiželja i pojačava interes, omogućuje individualizacija nastave u kojoj je svaki učenik aktivan, koristi se istraživački pristup, izvodi problemska nastava te potiče na izvođenje zaključaka što se djelomično podudara s ciljevima korištenja tehnologije u nastavi matematike (Wilson, 1997).

Literatura