Geometrija prostora

Matematika je apstraktna znanost i zahtijeva od nas apstraktno mišljenje koje možemo olakšati i ubrzati upotrebom različitih sredstava zornosti.

Ključne riječi: zornost, nastava, geometrija prostora, modeli, dinamična geometrija

Od pamtivijeka su ljudi koristili različita sredstva i pomagala kako bi što bolje dočarali nešto nepoznato i novo.
U nastavi matematike zornost učenicima pomaže u razvoju sposobnosti percepcije, logičkog mišljenja, otkrivanju novih svojstava i smisla za analizu. Na taj način lakše uočavaju matematičke zakonitosti i brže prihvaćaju nova rješenja.
S primjenom zornosti treba biti pažljiv jer ona ne treba biti sama sebi svrhom, već ju treba primjenjivati odmjereno i u kombinaciji s ostalim metodama. Pri tome je nerijetko potrebna i nastavnikova pomoć (dodatno pojašnjenje ili naglašavanje bitnog…)

Korištenjem različitih metoda i oblika rada i rezultati poučavanja će biti bolji jer tako izbjegavamo monotonost i dosadu te potičemo učenikovu radoznalost, a samim time i njegovu motivaciju za rad.

Prije sam u nastavi geometrije prostora koristila prvenstveno statičke modele:

– drvene, primjerice u objašnjavanju krnje piramide (1), osnog presjeka (2), krivulje drugog reda (3);

– metalne, na kojima su vidljive visine, dijagonale, presjeci i sl.

 

Kako bih učenicima predočila odnos volumena prizme i piramide (3 : 1), koristila sam metalne modele u  koje sam ulijevala vodu, pretačući ju iz jednog modela u drugi. Model kocke mi je koristio i kako bih učenicima pokazala da je 1dm³=1l.

 

U školi posjedujemo i pomagalo pomoću kojega se na jednostavan način mogu prikazati tijela nastala rotacijom raznih likova.

   
Preuzmite najnoviju verziju programa Flash za prikaz ovog sadržaja

Rotacijska tijela (Video isječak)

Odnedavno u nastavi koristim i programe dinamične geometrije kao što su Geogebra, Google SketchUp, JMath3D i Wingeom. Pomoću tih programa učenici su aktivni sudionici, ovaj način im pruža novost i uzbuđenje. „Programi dinamične geometrije doprinose ostvarenju cijelog niza načela matematike: načela zornosti, načela interesa, svjesnosti i aktivnosti, načela motivacije, načela individualizacije, načela problemnosti.“ (Z. Kurnik)

Primjer iz udžbenika za drugi razred gimnazije (Dakić, Elezović) oživila sam uz pomoć JMath3D.

Primjer: Točke M i N polovišta su bridova CD i AB pravilnog tetraedra ABCD. Odredimo presjek ravnina ABM i CDN.

Pomoću miša možemo rotirati piramidu.

 

Uz pomoć Google SketchUpa pokazujem učenicima odnos ravnina u prostoru – na svakoj slici je poveznica na pripadnu datoteku. Alati Google SketchUpa (Orbit, Pan, Zoom) omogućavaju jednostavan pogled “sa svih strana”.

Tri ravnine u prostoru mogu biti međusobno paralelne	Dvije ravnine su paralelne, a treća ih siječe
Tri ravnine koje se sijeku	Tri ravnine koje se sijeku u jednom pravcu.

S Wingeomom učenicima mogu prikazati dijagonalni presjek prizme; uz pomoć strelica moguće je zakretati tijela.

Možemo računati duljinu visine, bočnog brida ili volumen piramide, uočiti vezu polumjera opisane kružnice s visinom i bočnim bridom.

 

 

 

 

I na kraju, meni najdraža, Geogebra koju koristim vrlo često tijekom sve četiri godine pri obradi, uvježbavanju, provjeravanju i to ne samo u geometriji prostora (Kvadrat binoma, razlika kvadrata, skladnost i sličnost trokuta, tetivni i tangencijalni četverokut, analitička geometrija, nejednadžbe, derivacije, integrali, zajmovi…).

Evo samo nekoliko primjera s Geogebrinog skladišta (www.geogebra.org/en/upload/):

Piramida

Valjak

Stožac

Svaki se zadatak, nakon što ga učenici samostalno riješe, može provjeriti uz pomoć ovih geogebrica čiji autor je Šime Šuljić.

Zaključak

Mogućnosti modernih tehnologija su velike pa ih treba iskoristiti. Današnji učenici se svakodnevno susreću i koriste sa sličnim programima, tako da im je ovakav način rada blizak i razumljiv. Mnogi učenici tek uz ovakvu prezentaciju uspijevaju shvatiti i predočiti si o čemu se u zadatku govori, što se od njih traži i kako se zadatak može riješiti.

Svi korišteni programi su besplatni i mogu se pronaći na internetu.

• Google SketchUp  http://sketchup.google.com/download/
• Wingeom http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html
• Geogebra http://www.geogebra.org/cms/
• Jmath3D http://jmath3d.aspirine.org/download.html

Literatura

• 1. B. Dakić, N. Elezović: Matematika 2, II. dio (gimnazija). Zagreb. Element. 2006.
• 2. Zornost u nastavi matematike. Zbornik radova. Pula. 2007.
  • a) V. Kadum: Zornost u nastavi
  • b) Z. Kurnik: Nastava geometrije u osnovnoj školi i zorna sredstva
  • c) Š. Šuljić: Prikaz geometrijskih tijela uz pomoć računala