Digitalni materijali za nastavu matematike

u nižim razredima osnovne škole

sanja_loparic

Sanja Loparić

Uvod

imageHrvatski jezični portal navodi definiciju matematike: „Matematika je znanost koja se bavi apstraktnim i kvantitativnim odnosima među čistim veličinama (brojevima) i prostornim (geometrijskim) oblicima te pojmovnim tvorevinama i njihovim simbolima, uključuje i kvantitativne operacije i rješavanje kvantitativnih problema u primjeni.“ Riječ matematika dolazi od grčke riječi mathema, što znači nauka o veličinama, ali ima i veze s grčkom riječi manthànein, što znači učiti (hrvatski jezični portal).

Matematika je predmet koji većini djece nije omiljen, isto kao što je i učenje proces koji većini djece nije najdraži. Oni bi se radije igrali, stoga uvođenje računala u nastavu može biti od velike koristi nastavniku, ne samo kao motivacijski faktor već i za lakšu konkretizaciju i vizualizaciju složenih matematičkih procesa i koncepata.

Udruga Normala

Krajem 2007. godine skupina nastavnika matematike osnovala je udrugu pod nazivom Normala. Glavni je cilj te udruge promicanje informacijsko-komunikacijske tehnologije u nastavi matematike. Kako bi ostvarila svoj cilj, udruga je djelovala u više područja: lokaliziran je open source matematički program Geogebra, izrađen je niz matematičkih apleta (programa) koji pomažu kod učenja matematike, organizirane su radionice o upotrebi Geogebre za nastavnike, ali i za učenike te je održano niz stručnih izlaganja na raznim konferencijama i skupovima matematičara. Sve ove akcije bile su prvenstveno usmjerene na nastavu matematike u višim razredima osnovne škole i srednjoškolsku matematiku. Početkom ove godine izrađen je i niz matematičkih apleta (programa) naziva „Matematika u razrednoj nastavi“ koji se mogu primijeniti u razrednoj nastavi matematike.

Matematika u razrednoj nastavi

„Matematika u razrednoj nastavi“ nastala je sa željom da se učenicima u nižim razredima osnovne škole kroz niz vježbi i igrica, pokuša približiti matematika i motivira ih se na uvježbavanje, koje je njima ponekad zamorno. Navedene vježbe i igre su uz suglasnost autora Daniela Mentarda prevedene sa španjolskog jezika i prilagođene hrvatskom školstvu.

imageNakon ulaska na navedenoj mrežnoj stranici pojavljuje se popis apleta (programa) posloženih u skladu s Nacionalnim okvirnim kurikulumom u područja: brojevi, podatci i mjerenja, oblik i prostor i ostalo.

Unutar navedenih cjelina, kako bi se lakše snalazili, postoji još podjela i to kod brojeva: prebrojavanje i uspoređivanje, zbrajanje i oduzimanje, množenje i dijeljenje i ostalo, a kod cjeline oblik i prostor: geometrijska tijela i likovi te konstrukcije. Iza naziva svake vježbe navedeno je u kojem razredu, prema trenutno važećem Nastavnom planu i programu, bi se mogla primijeniti pojedina vježba, iako to može ovisiti o učeniku i o situaciji. Tako se na primjer „Majmun koji zna množiti“ može koristiti u 2. razredu kod učenja tablice množenja i u 3. razredu za ponavljanje tablice množenja prije uvođenja pisanog množenja. U geometrijskom dijelu ima nekoliko vježbi koje prelaze okvire razredne nastave, ali se ponekad mogu primijeniti na dodatnoj nastavi.

Korištenje vježbi i igrica je jednostavno. Klikom na naziv pokreće se određena tema. Neke od tema imaju već unaprijed ideje za korištenje, dok je kod nekih ostavljeno korisniku da sam osmisli kako će prolaziti kroz teme.

Primjeri

U nastavku je navedeno nekoliko primjera korištenja ovih materijala.

Primjer 1. Tko zadnji

imageOva je igra korisna kod savladavanja pojma djeljivosti brojeva i usvajanja pojmova parno/neparno. Igra se u dvoje. Na početku igre učenici se dogovore koliko trešanja žele podijeliti. Trešnje stave na pladanj i naizmjence uzimaju. Pobjednik je onaj koji posljednji uzme trešnju.

Na dnu ove mrežne stranice ima i niz potpitanja koja navode učenike na postupno zaključivanje – ako je broj trešanja paran, pobjednik je drugi igrač, a u slučaju neparnosti pobjednik je prvi igrač. Također, kad se govori o djeljivosti s brojem 2 može se zaključiti da ako je broj paran, učenici će imati podjednak broj trešanja. Ova se igra može iskoristiti u uvodnom dijelu sata kod obrade dijeljenja brojem 2, a bit će i zanimljiva učenicima za rad kod kuće.

Primjer 2. Majmun koji zna množiti

imageOva digitalna inačica obrasca koji se i u prošlosti upotrebljavao kao pomoć učenicima za savladavanje tablice množenja može oraspoložiti učenike i motivirati ih da nauče tablicu množenja. Kod korištenja „majmuna“ važno je da učenici sami pokušaju naći umnožak dva broja, a tek tada provjere pokazuje li i majmun isto rješenje.

Primjer 3. Opseg pravokutnika

imagePojam opsega pravokutnika zorno je predočen u ovoj vježbi. Važno je da učenici već u prvom susretu s pojmom „opseg“ shvate da je to zbroj duljina stranica, a ne 2*a+2*b ili 2*(a+b). Prelaskom kuglice po stranicama pravokutnika dolazi se do formule za opseg pravokutnika.

Primjer 4. Skrivači

Za uvježbavanje zbrajanja u 1. razredu može se iskoristiti ova inačica igrice Skrivači. Učenik nakon zbrajanja točkica na „kockicama“ pomiče Petra na broj koji predstavlja zbroj i pronalazi Maju. Kako bi se ponovila igrica, potrebno je kliknuti na gumbić reload u gornjem desnom uglu kako bi se na „kockicama“ stvorili novi brojevi.

image

Zaključak

Ovo je pregled samo nekoliko zanimljivih apleta (programa) koji se mogu primijeniti u matematici nižih razreda. Njihova upotreba nije ograničena samo na nastavu već može biti i kao dopuna nastavi za rad kod kuće. Apleti (programi) se mogu upotrijebiti u raznim dijelovima sata: kao uvod u neku temu, kao dio obrade, za uvježbavanje i ponavljanje. Upotreba digitalnih materijala u nastavi matematike svakako će osvježiti nastavu, motivirati učenike i potaknuti ih na učenje kroz igru i zabavu.

Literatura

Matematika u razrednoj nastavi (14.04.2012.)
Hrvatski jezični portal (14.04.2012.)

Implementacija novih kurikuluma

sanja_loparic

Sanja Loparić

Sažetak:

U Republici Hrvatskoj započet je proces preobrazbe školskog sustava. Donesen je niz dokumenata koji bi trebali unaprijediti naše školstvo, a istaknuto mjesto među njima ima Nacionalni okvirni kurikulum koji definira okvirne kompetencije i ishode učenja po odgojno-obrazovnim ciklusima za hrvatsko opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje. On je osnova za restrukturiranje nastavnih planova i programa te za izradu predmetnih kurikuluma.

Tehnička škola Čakovec, kao jedna od 18 srednjih strukovnih škola u Republici Hrvatskoj, uspješno je prijavila svoj projekt „Od tehničara za računalstvo do tehničara za računarstvo – razvoj kurikuluma u skladu s potrebama u gospodarstvu“. Osnovni cilj tog projekta je izraditi i implementirati novi strukovni kurikulum za smjer tehničara za računalstvo.

U sklopu implementacije kurikuluma predložen je niz promjena u nastavnom planu i programu, a za matematičare je najzanimljivije da je povećan fond sati u prva dva razreda te je u trećem i četvrtom razredu dodan novi predmet, matematika za programere. Time je dobivena mogućnost za nastavni program sa stvarnim potrebama struke.

U izlaganju će biti detaljnije razrađeni neki ishodi učenja za nastavni predmet matematika za programere, primjeri upotrebe suvremenih nastavnih strategija te primjeri provjere i vrjednovanja.

KLJUČNE RIJEČI: kurikulum, ishodi učenja, matematika za programere, primjena matematike.

„Kad bismo željeli, mogli bi se lako i bez troškova riješiti tereta starih, glupih struktura i pomoći djeci preuzeti obrazovanje umjesto da samo dobiju školovanje.“

John Taylor Gatto

Kurikulum

Pojam „kurikulum“ u Hrvatskoj se javlja krajem dvadesetog stoljeća. U početku se taj pojam poistovjećivao s pojmom nastavni plan i program (Antić, 2000.). Danas se pod pojmom nastavni kurikulum smatra „projekt ili pedagoški dokument koji su pripremili i izradili stručnjaci za određeno nastavno područje, a u kojem su konkretizirani nastavni ciljevi, opisani uvjeti i oprema koji su potrebni za ostvarivanje tih ciljeva te planirani modeli za praćenje i vrjednovanje“ (Matijević, 2011. str. 26.). Nastavni kurikulum se sastoji od ciljeva, sadržaja, medija, metoda i vrjednovanja koji su u stalnoj dinamičkoj isprepletenosti te se javljaju u vrlo različitim scenarijima i situacijama. Ti scenariji nisu strogo definirani već se nastavnicima ostavlja sloboda da sami osmisle sredstva i načine koji su najprihvatljiviji u određenim uvjetima njima i njihovim učenicima.

Budući da su nastavni kurikulumi osnova za planiranje i programiranje na svim razinama odgojno-obrazovnog sustava te na razinama pojedinih predmeta ili područja, možemo razlikovati nekoliko vrsta kurikuluma: nacionalni, strukovni i školski.

slikaSlika 1. Vrste nastavnih kurikuluma

U Hrvatskoj je 2010. godine donesen temeljni kurikulum za cijeli školski sustav „Nacionalni okvirni kurikulum za predškolski odgoj i obrazovanje te opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje“ (NOK). On definira okvirne kompetencije i ishode učenja po odgojno-obrazovnim ciklusima za hrvatsko opće obrazovanje. Osnova je za restrukturiranje nekadašnjih nastavnih planova i programa te za izradu predmetnih kurikuluma. NOK daje samo okvir temeljnih kompetencija koje bi učenici trebali posjedovati na kraju svakog obrazovnog ciklusa te daje preporuke za biranje metoda, oblika i uvjeta za ostvarivanje programskih ciljeva te za vrjednovanje postignuća. Služi kao osnova za izradu raznih drugih dokumenata kao što su strukovni kurikulum, školski kurikulum, nastavni planovi i programi, udžbenici i ostala nastavna sredstava i materijali. Na temelju NOK-a svaka škola u Republici Hrvatskoj donosi školski kurikulum.

Školski kurikulum je izvedbeni dokument. Sadrži propisane predmete i područja koja se poučavaju u određenoj školi, ali i ostale aktivnosti vezane uz organizaciju škole: izvannastavne i izvanškolske aktivnosti, kulturnu i javnu djelatnost škole, aktivnosti s darovitim učenicima i učenicima s teškoćama u razvoju. Sve ono što jednu školu čini prepoznatljivom i privlačnom. Školski kurikulumi osnovnih škola i gimnazija direktno proizlaze iz NOK-a, dok kod strukovnih škola, osim NOK-a, važnost pri izradi imaju strukovni kurikulumi za pojedina područja.

U strukovnom kurikulumu se određuje „trajanje obrazovanja, uvjeti za njegovu provedbu, odgojni i obrazovni ishodi, načini praćenja i ocjenjivanja, ukupni fond nastavnih sati za ostvarivanje očekivanih ishoda te predmetni kurikulumi u kojima su određeni opseg, dubina i redoslijed sadržaja koje će učenici proučavati u konkretnim nastavnim predmetima“ (Matijević, 2011. str. 33). Strukovne kurikulume izrađuju stručni timovi koji se najčešće sastoje od savjetnika Agencije za odgoj i obrazovanje, sveučilišnih profesora koji proučavaju metodike pojedinih struka te iskusnih nastavnika iz strukovnih škola. Strukovni kurikulum, kao i ostale vrste kurikuluma, je dinamičan dokument koji nikada nije dovršen. On se stalno provjerava i razvija u skladu s potrebama tržišta, tehnološkim promjenama i razvojem odgojno-obrazovnog sustava.

Program IPA

Razvoj znanosti i tehnologije te proces globalizacije zahvatio je Republiku Hrvatsku. Hrvatska akademija znanosti i umjetnosti (HAZU) 2002. godine je objavila „Deklaraciju o znanju“ u kojoj se ističe želja da Hrvatska bude utemeljena na znanju i primjeni znanja. Istaknuto je da je znanje temeljna snaga u ljudskom društvu i glavni uvjet uspješnosti. „Razlike u znanju i njegovoj tehnološkoj primjeni postaju glavni čimbenici koji dijele razvijene zemlje od nerazvijenih, bogate od siromašnih, visoki životni standard od niskog“ (Deklaracija o znanju, 2002.). Slične ciljeve imaju i zemlje članice Europske unije čija bi ekonomija trebala postati „najkonkurentnija i najdinamičnija, a utemeljena na znanju“ (Strategija razvoja strukovnog obrazovanja u RH, str.3). Kako bi pomogla u provođenju promjena u obrazovnim sustavima državama kandidatkinjama za ulazak u Europsku uniju, Europska komisija je pokrenula program Instrument for Pre-Accession assistance (IPA) čija se četvrta točka odnosi na razvoj ljudskih potencijala. Ovim se programom financijski podupiru projekti koji unaprjeđuju školski sustav.

Stoga se Tehnička škola Čakovec zajedno s još 17 srednjih strukovnih škola, Fakultetom elektrotehnike i računarstva i Visokom školom za primijenjeno računarstvo priključila IPA projektu koji su razvile Agencija za strukovno obrazovanje i obrazovanje odraslih, a vezano uz implementaciju novih kurikuluma. Cilj je izraditi nove i suvremene kurikulume za strukovne škole koji bi bili usuglašeni s potrebama tržišta rada. U njima bi se poticao novi inovativni pristup obrazovnom sadržaju i metodama podučavanja i osigurala usklađenost strukovnog obrazovanja s promjenama u gospodarstvu. Uz to su osigurana i znatna financijska sredstva za opremanje škola modernim nastavnim sredstvima i pomagalima te za osposobljavanje nastavnika za primjenu novog kurikuluma.

Kurikulum tehničara za računalstvo

U sklopu implementacije kurikuluma za smjer tehničar za računalstvo predložen je niz promjena u nastavnom planu i programu. Uvedeni su stručni predmeti: algoritmi i programiranje, građa računala, uvod u računalne mreže, skriptni jezici i web programiranje, sigurnost informacijskih sustava, konfiguriranje računalnih mreža… Za matematičare je najzanimljivije da je povećan fond sati u prva dva razreda s tri sata tjedno na četiri te je u trećem i četvrtom razredu dodan novi predmet nazvan matematika za programere. Time je dobivena mogućnost da se učenicima približe matematički sadržaji koji su u pozadini problema njihove struke. Takvi nastavni sadržaji do sada nisu bili zastupljeni u redovnoj nastavi matematike, a zbog opterećenosti sadržajima nastave matematike u srednjim školama te zbog opterećenosti učenika, nastavnicima nije ostavljeno prostora da sami uvedu takve stručne sadržaje u redovnu nastavu.

Matematika za programere

Osnovni cilj predmeta matematika za programere jest primjenjivanje matematičkih alata i algoritama pri rješavanju problema vezanih uz programiranje. Taj će se cilj ostvariti nakon dvije godine učenja i to u trećem razredu jedan sat tjedno, a u četvrtom razredu dva sata tjedno. Ishodi učenja su dani u sljedećim tablicama:

slika1

slika2

Za ostvarivanje ovih ishoda učenja značajno je da će se primjenjivati suvremene nastavne metode i oblici rada: učenje otkrivanjem (uglavnom potpomognuto računalima), interaktivno učenje, metoda simulacije, studija slučaja, brainstorming, izrada umnih mapa, rad na projektima, suradnički oblici rada, mentorski i timski rad, dok će se frontalni način rada i predavačka nastava rijetko koristiti. U nastavnom procesu 50% vremena bit će utrošeno na teorijske osnove, a preostalih 50% će služiti za povezivanje teorijskih spoznaja s praktičnom primjenom. Praktični dio će se izvoditi u informatičkom kabinetu.

Vrjednovanje učenika će biti usklađeno sa suvremenim dokimološkim stajalištima. Uz klasično pismeno i usmeno ispitivanje, velik udio u ocjenama imat će seminarski i projektni zadatci te vrjednovanje učenika od strane članova tima pri timskom radu. Uz to se planira uvesti postupak samovrjednovanja učenika. Prijedlog elemenata ocjenjivanja za ovaj predmet je: usvojenost programskih sadržaja, laboratorijske vježbe i projektni zadatci, praćenje programskih sadržaja (odnos prema radu).

Budući da je ovaj predmet novost u hrvatskom školstvu, ne postoji primjeren udžbenik koji bi obuhvaćao navedene nastavne teme. Stoga je na nastavnicima da sami osmisle nastavu koristeći razne gimnazijske i fakultetske udžbenike.

U izlaganju će biti detaljnije razrađeni neki ishodi učenja za nastavni predmet matematika za programere, primjeri upotrebe suvremenih nastavnih strategija te primjeri provjere i vrjednovanja.

Literatura:

  1. Antić, S., (2000), Rječnik suvremenog obrazovanja. Zagreb: Hrvatski pedagoško –književni zbor.
  2. Cindrić, M., Miljković, D., Strugar, V., (2010.), Didaktika i kurikulum. Zagreb: IEP-D2.
  3. Deklaracija o znanju, (2002.). Zagreb: HAZU.
  4. Gatto, J.T., (2010.), Oružja za masovno poučavanje. Zagreb: Algoritam.
  5. Hrvatski kvalifikacijski okvir – Uvod u kvalifikacije, (2009.). Zagreb: Ministarstvo, znanosti, obrazovanja i športa.
  6. Matijević, M., (2011.), Nastava usmjerena na učenika. Zagreb: Školske novine.
  7. IPA projekt
  8. Nacionalni okvirni kurikulum za predškolski odgoj i obrazovanje te opće obvezno i srednjoškolsko obrazovanje, (2010.). Zagreb: Ministarstvo, znanosti, obrazovanja i športa.
  9. Strategija razvoja sustava strukovnog obrazovanja u Republici Hrvatskoj 2008.-2013. (2008.). Zagreb: Ministarstvo, znanosti, obrazovanja i športa.