Linearne jednadžbe u osnovnoj školi

sanja_janes

Sanja Janeš

Uvodno razmatranje i pitanja

Napravite pokus. U određenom vremenskom razdoblju pitajte ljude kojima ste okruženi dva pitanja:

1. Volite li matematiku?
2. Koji dio matematike koji ste učili vas je usmjerio da ju volite/ne volite?

Za pretpostaviti je da će među mnogim odgovorima vrlo često biti spomenuti razlomci, ¨iksevi¨, ¨slova¨, jednadžbe. S razlomcima je imao problema i slavni Leonardo da Vinci, odjeljak 4. Leonardova matematika prije susreta s Paciolijem

Razlomcima ćemo se pozabaviti u nekom drugom dijelu, a sad ćemo se pozabaviti jednadžbama. Odnosno kako poučavamo i zašto učenici imaju poteškoća s jednadžbama.

Kad u članku spomenemo imenicu jeSlika1dnadžba, nećemo podrazumijevati samo algebarski zapis jednadžbom, na primjer, već na jednadžbu kao koncept odnosno obuhvatit ćemo sve, ili gotovo sve, što možemo povezati s algebarskim pojmom jednadžbe.

Slika 1. Pojmovi vezani uz jednadžbe

Ključni pojmovi: matematika, ishodi poučavanja, metode, linearne jednadžbe.

Kako bismo učenike uspješno podučavali bilo koji koncept važno je odrediti:

  • Ishode poučavanja – kurikulumom su nam zadani odgojno – obrazovni ishodi, a mi moramo valjano odrediti ishode aktivnosti kroz koje ostvarujemo ishode i koje možemo vrednovati.
  • Pristupe i metode vrednovanja usvojenosti ishoda.
  • Metode poučavanja – u nastavi Matematike koristiti valjane matematičke metode koje opisujemo matematičkim jezikom, komuniciramo matematiku u pisanom i usmenom obliku.
  • Strategije poučavanja – zajedno s učenicima otkrivati različite matematički i logički ispravne, strategije i procedure koje mogu primijeniti u učenju.
  • Pri poučavanju težiti razumijevanju koncepta, a tek onda primjenu procedure. To se slaže i s dimenzijama znanja:

Slika2
Slika 2. Dimenzije znanja

Problem

Poučavamo jednadžbe kroz cijelo školovanje, a učenici teško ostvaruju ishod Rješava (linearnu) jednadžbu. Jednadžbe doživljavaju kao nepotrebnu i nepremostivu prepreku. Događa se da u 7. razredu ne znaju riješiti elementarne oblike linearnih jednadžbi proizašle iz nekih fizikalnih problema, na primjer:image

Rješavanje jednadžbi je važno za razvijanje matematičke pismenosti. Isto tako je izuzetno važno zapisivanje jednadžbi proizašlih iz zadatka riječima i problemske situacije. Kroz zadatke riječima i zapisa situacije u njima jednadžbom učenike pripremamo za zapisivanje problemske situacije jednadžbom proizašle iz problema. Uočava se da je učenicima podjednako teško, postaviti jednadžbu koja proizlazi iz neke situacije iz koje treba naći rješenje i riješiti tu jednadžbu.

U ovom članku, najviše ćemo se baviti samom procedurom rješavanja linearnih jednadžbi odnosno pristupu poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi u osnovnoj školi.

Hipoteza

Iako se s jednadžbama susreću od prvog razreda osnovne škole učenici na kraju osnovnoškolskog obrazovanja imaju problem sa samostalnim i uspješnim rješavanjem (linearne) jednadžbe.

Istraživanje

Od kud možemo krenuti u analizi i istraživanju?

Razmotrimo:

  • Kako pristupamo poučavanju jednadžbi?
  • Kakvo je predznanje učenika?
  • Kako je rješavanje jednadžbi sadržano u udžbenicima?
  • Koliko često kroz aktivnosti koristimo rješavanje jednadžbi?
  • Koliki je udio problemskih situacija, u aktivnostima, koje učenici rješavaju postavljanjem i rješavanjem jednadžbe?

Pristup poučavanju

Učenici se s jednadžbom susreću kasnije nego s rješavanjem problemske situacije. Već u predškolskom dobu rješavaju, konkretima, jednostavan problem tipa:

Ako imaš tri bombona, koliko ti ih još treba dati da ih imaš ukupno pet?

Kako djeca rješavaju takav konkretan problem? Kojom procedurom? Kojom računskom operacijom? Kojim strategijama?

Slika3
Slika 3. Prikaz crtežom kao strategije

Mi ne znamo kako u predškolskim ustanovama pristupaju takvim konceptima. Ono što se može pronaći na mrežnim stranicama vrtića je da se koriste već i brojke, znakovi za računske operacije (zbrajanje i oduzimanje), znak jednakosti, znakovi veće od i manje od. Kakva je interpretacija, nije opisano.

Od 1. do 4. razreda osnovne škole

Odgojno-obrazovni ishodi u 1. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Dodatni kod ishoda (MAT OŠ B.1.1) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja).

Naravno da učenici, niti učitelji, ne koriste termin jednadžba, već jednakost. Prikaz problemske situacije crtežom pomaže razumijevanju odnosa u jednakosti pa ju treba koristiti, kad god je moguće, bez obzira na uzrast.

Važno je napomenuti kako bi svaki problemski zadatak prije nego se prijeđe na formalni zapis trebao biti popraćen slikovnim prikazom. Strategija slikovnog prikaza pomaže učenicima da shvate proceduru formalnog zapisa.

Tekstualni zadatak za 1. razred osnovne škole koji spada pod jednadžbe može glasiti:

Primjer 1.

  • Koji broj uvećan za jedan daje pet?
  • Za koliko treba uvećati jedan da bismo dobili pet?
  • Ana ima jednu kunu. Čokolada košta 5 kuna. Koliko joj kuna nedostaje da bi mogla kupiti čokoladu?

Slika4Slika 4. Slikovni prikaz

Primjer 2.

  • Za koliko je devet veći od pet?
  • Ana ima devet kuna. Koliko smije potrošiti kako bi joj ostalo pet kuna?
  • Za koliko treba umanjiti broj devet kako bismo dobili broj 5?

Slika5Slika 5. Slikovni prikaz

Primjer 3. (Zadatak riječima iz udžbenika za 1. razred osnovne škole; traži se i zapis i izračun.)

Za koliko je razlika brojeva 12 i 7 manja od 10?

image

Slika6
Slika 6. Slikovni prikaz

Važno je spomenuti i pristup poučavanju veza računskih operacija pomoću osam jednakosti. Kroz taj pristup se učenicima približava:

  • Povezivanje računskih radnji istog stupnja.
  • Otkrivanje nepoznatog člana jednakosti.
  • Prihvaćanje značenja i važnosti znaka jednakosti.
  • Uočavanja asocijativnosti zbrajanja i ne asocijativnosti oduzimanja.

Primjer 4. Osam jednakosti za zbrajanje i oduzimanje:

image

Kako zorno, crtežom, učenicima prikazati osam jednakosti pokazano je u videu osam jednakosti.

Odgojno-obrazovni ishodi u 2. i 3. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Već u drugom razredu se pojavljuje ishod koji sadrži koncept jednadžbe.

Koja je razlika između situacije da se u ishodu 1. razreda osnovne škole spominje određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja i isticanja samog ishoda kao u 2. razredu?

Sintagma određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja nalazi se u napomenama, smjernicama za osmišljavanje aktivnosti na satu, nije niti u razradi niti u razinama. Dakle rezultati rada učenika u takvim aktivnostima ne bi se smjeli vrednovati, ali je preporučeno da učenici istražuju takve koncepte radi razvijanja matematičke pismenosti te logičkog povezivanja.

Međutim, čim postoji odgojno-obrazovni ishod, to znači da se rezultati aktivnosti s ishodima aktivnosti proizašli iz odgojno-obrazovni ishoda, mogu i trebaju vrednovati.

Ishodi vezani uz rješavanje jednadžbi postoje i u 3. i 4. razredu osnovne škole.

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

I ti ishodi se mogu, i trebaju, ostvarivati zajedno s drugim ishodima iz različitih domena te na taj način osigurati kontinuitet učenja jednadžbi kroz cijelu godinu.

5. razred

U 5. razredu osnovne škole koncept jednadžbe se može ostvariti kroz nekoliko ishoda. Odaberimo dva koja su najistaknutija prvi je iz domene Algebra, a drugi iz domene Mjera. Osnovni ciljevi ostvarivanja ovih ishoda su uvođenje nepoznanice u zapis jednadžbe, rješavanje jednadžbe vezom računskih operacija i provjera rješenja jednadžbe.

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Ne postoji recept koji bi učitelju garantirao uspjeh u ostvarenju ishoda:

  1. pridruživanje nepoznanice nepoznatoj vrijednosti iz problema
  2. zapis problemske situacije jednadžbom

Uvođenje prikaza nepoznanice slovom može se napraviti odmah, na početku petoga razreda u sklopu ishoda vezanih uz:

  • skup prirodnih brojeva
    ili
  • skupovi točaka u ravnini

Može se započeti s jednostavnim zadatkom riječima i brojevima s kojima ne mogu računati napamet. Svakako prije računanja treba učenike potaknuti da procjenjuju iznos rješenja.

Primjer 5. Ana je uštedjela 1 857 kuna. Bicikl koji želi kupiti košta 2 799 kn. Koliko joj novca nedostaje?

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako: image

Učenici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje.
Ani nedostaju 942 kune.
Provjera će vjerojatno izostati.

U problemu s geometrijskim kontekstom. Učenici su se u četvrtom razredu osnovne škole susreli s konstrukcijom jednakostraničnoga i jednakokračnoga trokuta te računanjem njihovih opsega. Tako da im ta znanja treba samo osvježiti u petom razredu.

Primjer 6. Opseg jednostraničnoga trokuta iznosi 921 cm. Odredite duljinu stranice trokuta (izuzetno je važno uz zadatak nacrtati skicu, priložiti sliku kako bi se kasnije lakše uvela nepoznanica).

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako:

image

Slika7enici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje. 
Duljina stranice jednakokračnog trokuta iznosi 307 cm.
Provjera će vjerojatno izostati.

Slika 7. Prikaz trokuta uz Primjer 6

Želimo li jednadžbu moramo uvesti pojam nepoznanice. Raspraviti s učenicima.
Što je u zadatku nepoznato? Kako ćemo označiti nepoznato?
Što jednadžba jest?
Što znači riješiti jednadžbu?
Kako provjeriti jesmo li dobro riješili zadatak, jednadžbu?

Ovo su izuzetno važna pitanja i  koraci koji se neki puta preskaču u procesu učenja i poučavanja, a posljedica je nerazumijevanje koncepta jednadžbe.

1. Prikaz problema s kupnjom bicikla

Prije samog postavljanja jednadžbe poželjno je crtežom prikazati problemsku situaciju. Iako izgleda da je svejedno kakav prikaz se koristi, možda je desni prikaz učenicima vjerodostojniji.

Slika8   ili    Slika9
Slika 8. Prikaz problema 1             Slika 9. Prikaz problema 2

Nakon prikaza i nakon diskusije treba učenicima ponuditi da samostalno zapišu prikazano na slici. Vjerojatno je da će barem jedan učenik samostalno zapisati:   image

Ako je moguće, učenika pozvati da sam zapiše i obrazloži što je i zašto zapisao.
Konstatirati da je zapis jednadžba s nepoznanicom i povezati problemsku situaciju sa zapisom jednadžbe.

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe. Raspraviti što je zadano (pribrojnik i zbroj) i što je nepoznato (drugi pribrojnik).
Kako izračunati nepoznati pribrojnik?
Vezom računskih operacija.

image

2. Prikaz problema s opsegom jednakostraničnoga trokuta

Probleme u geometriji koji se tiču otkrivanja mjerivih svojstava najbolje je prikazati u geometrijskom kontekstu.
Svakako prije rješavanja ponuditi sliku koja zorno prikazuje značenje opsega. Do izraza za opseg treba doći postupno. Doslovno pratiti značenje opsega, zbroj duljina stranica. Kako su stranice jednakostraničnoga trokuta jednakih duljina, što kraće zapisujemo . Ne bi trebalo preskakati korake kako bi učenici što bolje prihvatili novi koncept, u ovom slučaju zapis problema jednadžbom. Neki učenici će možda zadržati zapis zbroja duljina stranica kao prvi korak. Ne treba ih u tome sprečavati već uputiti i na kraći zapis.

Slika10

Slika 10. Prikaz opsega trokuta

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe.
Raspraviti što je zadano (jedan faktor i umnožak) i što je nepoznato (drugi faktor).
Kako izračunati nepoznati faktor?
Vezom računskih operacija.

image

Svakako napraviti provjeru. Provjera je korak koji se u procesu učenja i poučavanja pravilu izostavlja. Razlog izostavljanja je pravdano nedostatkom vremena, ali je provjera korak koji je jednako važan kao i rješavanje jednadžbe. Dakle, nije cilj samo riješiti jednadžbu već i provjeriti ispravnost rješenja.

Zapravo nema smisla u 5., 6. i 7. razredu rješavati „glomazne“ jednadžbe tipa:

image

već umjereno složene jednadžbe koje proizlaze iz zadatka riječima ili iz problemskog zadatka kod kojih će učenik razumjeti što radi i biti u stanju provjeriti ispravnost postupka i rješenja.

Radeći provjeru učenik će lakše razumjeti značenje vrijednosti nepoznanice kao rješenja jednadžbe. Učenik zapravo vrši supstituciju, zamjenu.

Provjera:

image

Postupak provjere učenicima je izazov i zapravo podrazumijeva korake:

1. Pretpostavka- pretpostavlja da je ispravno riješena jednadžba, da je vrijednost nepoznanice ispravna.
2. Provjera pretpostavke – zamjenjuje nepoznanicu njezinom vrijednosSlika11ti.
3. Potvrda pretpostavke

  • ukoliko na kraju dobije identitet zaključuje da je ispravno riješio jednadžbu.
  • ukoliko na kraju ne dobije identitet zaključuje da nije ispravno riješio jednadžbu.

Slika 11. Prikaz procesa rješavanja jednadžbi

I malo složenije jednadžbe mogu rješavati vezom računskih operacija.

Primjer koji slijedi, otkrivanje duljine jedne od stranica pravokutnika ako je zadan opseg i duljina druge stranice, učenici rješavaju u 4. razredu bez postavljanja jednadžbe, ali upravo primjenom veze računskih operacija.

Kad ih pitate kako ga rješavaju odgovor često glasi: „ Podijelim opseg s dva i oduzmem drugu stranicu.“ Znači da računaju opseg iz oblika koji mi zapravo rijetko koristimo jer se iz njega ne vidi jasno zbroj duljina stranica kao iz oblika .

Zadatak treba riješiti na oba načina. Općenito gdje god postoji rješavanje zadatka na više načina to treba iskoristiti, pokazati različite pristupe kojima se dobiva isti rezultat, rješenje. Učenici pri samostalnom rješavanju takvih zadataka odabiru način koji njima najviše odgovara.

Primjer 7.Slika12 Opseg pravokutnika iznosi 56.8 cm. Duljina jedne stranice iznosi 12.7. Odredi duljinu druge stranice. Rješenje zapiši jednadžbom.

Slika 12. Pravokutnika

1. način

image

Provjera:

image

2. način

image

Provjera:

image

Primjer 8: Opseg jednakokračnog trokuta iznosi image a duljina osnovice . Odredite duljinu kraka tog jednakokračnog trokuta.

image

Provjera:

image

6. razred

Općenito govoreći vezom računskih operacija elegantno je rješavati jednadžbe kod kojih su nepoznanice grupirane na jednoj strani. U 5. razredu niti ne treba rješavati drugačije.

Ishod koji u šestom razredu opisuje rješavanje jednadžbi je:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Naravno da se taj ishod ne ostvaruje samostalno već je vezan i uz druge ishode:

MAT OŠ A.6.7. Računa s cijelim brojevima., MAT OŠ A.6.5. Računa s nenegativnim racionalnim brojevima., MAT OŠ D.6.2. Računa i primjenjuje opseg i površinu trokuta i četverokuta te mjeru kuta.

Ponavljanje ishoda zajedno s drugim ishodima osigurava konstanto „življenje“ s jednadžbama kroz godinu te očekivanu bolju usvojenost.

U šestom je razredu potrebno napraviti pomak ka rješavanju jednadžbi koje imaju nepoznanice i konstante s obje strane znaka jednakosti. Smatra se da na najnižoj razini učenik rješava jednadžbe takve težine da ih, još uvijek, rješava vezom računskih operacija. No već na dobroj razini učenik rješava jednadžbe koje se rješavaju primjenom ekvivalencije.

Naravno da se i kod takvih jednadžbi može primijeniti veza računskih operacija, no matematički je korisnije primijeniti rješavanje takvih jednadžbi primjenom ekvivalencije koja proizlazi iz tvrdnji:

  • Jednadžbe su ekvivalentne samo kad imaju potpuno iste korijene.
  • Dodavanje ili oduzimanje istog broja ili izraza na obje strane jednadžbe daje ekvivalentnu jednadžbu.
  • Množenje ili dijeljenje obje strane jednadžbe istim brojem koji nije nula daje ekvivalentnu jednadžbu.

Na žalost, jedan snažan i dobar matematički koncept ekvivalencije, izgubio je bitku s nematematičkom procedurom „prebacivanja“ koji je postao svakodnevica u poučavanju rješavanja jednadžbi već u šestom razredu. Posljedice toga su dalekosežne:

  • učenici ne razumiju što rade, bave se „prebacivanjem“
  • nakon nekog vremena samo se prisjećaju postupka pa se „prebacivanje“ događa i kod jednadžbi oblika , također mijenjaju i predznake
  • u srednjoj školi pri pojednostavljivanju ili preoblikovanju algebarskih izraza koristi se koncept ekvivalencije koji učenici nisu usvojili u osnovnoj školi iz jednostavnog razloga, nisu ga ni koristili, te ne mogu pratiti pojednostavljivanje niti preoblikovanje

Postupak prebacivanja je zapravo skraćeni put, manjkave ekvivalencije koji učenicima ne treba pokazivati. Izuzetak je ako neki učenik uoči i samostalno počne koristiti rezultate „prebacivanja“ , tada on to i razumije.

Dakle potrebno je samo zadržati put rješavanja ekvivalencijom. Neki će smatrati da on oduzima previše vremena, no bitnije je razumijevanje i pridržavanje matematičkih procedura. Jedino što će se dogoditi jest da učenik neće riješiti deset zadataka već osam što nije gubitak ako učenik radi s razumijevanjem. Za primjenu strategije „prebacivanjem“ ima vremena, kad se stekne određena matematička zrelost.

Primjer 9.

Slika13Slika 13. Prikaz postupka rješavanja jednadžbe ekvivalencijom

Primjer 10.

image

7. i 8. razred

Bavljenje jednadžbama u kontekstu rješavanja problema i zadataka riječima te postupcima, procedurama, za određivanje nepoznatih veličina nastavlja se i u 7. i 8. razredu.

Slika14Slika 14. Prikaz vertikale vezane uz rješavanje jednadžbe

Ishodi direktno vezani uz jednadžbe pripadaju domeni Algebra i funkcije ali se mogu i trebaju ostvarivati zajedno s ishodima u ostalim domenama: Brojevi, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.

Digitalni alati za rješavanje jednadžbi

Postoje dobri digitalni alati koje možemo koristiti za učenje i poučavanje rješavanje jednadžbi primjenjujući ekvivalenciju.

Danas su digitalna pomagala za rješavanje jednadžbi ono što je nekad bilo džepno računalo, na pravi način iskorišteno može biti velika pomoć u učenju i poučavanju.

OneNote

U OneNote aplikaciji možete zapisati linearnu jednadžbu korištenjem tipkovnice, dobiti rješenje te korake rješavanja primjenom ekvivalencije kako je prikazano u videu na poveznici https://youtu.be/nPl8hfNTnHc.

Graspable Math

Odlična aplikacija za učenje i poučavanje rješavanja, linearnih i inih, jednadžbi. Nalazi se na poveznici GM Canvas (graspablemath.com) . Zbog svojih mogućnosti odlična za snimanje videolekcija. Primjena ekvivalencije se odlično uklapa jer aplikacija ima mogućnost animacije procesa pojednostavljivanja jednadžbi.

Osnovni naputci o radu u Graspable Math dani su u videu na poveznici https://youtu.be/dp53QP3HpeU .

PhotoMath

Je aplikacija koju su osmislili i dalje unaprjeđuju hrvatski stručnjaci. Više o njoj možete saznati na navedenoj poveznici.

Photomath – alat koji matematiku čini jednostavnom – E-laboratorij (carnet.hr)

Zaključci

Ishodi vezani uz rješavanje linearnih jednadžbi ostvaruju se cijelu osnovnu školu i kroz godine učenja se usložnjavaju. No uspješnost u ostvarenju tih ishoda je manjkava s obzirom na duljinu učenja. Razloge tome treba tražiti u:

1. pristupu poučavanju, metodici

Ako razmotrimo najčešći pristup poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi, strategijom „prebacivanja“ nepoznanica i slobodnih koeficijenata, možemo naslutiti da učenici zapravo ne razumiju što rade stoga i brzo zaborave. Strategija „prebacivanja“ im je nametnuta, nisu ju sami otkrili stoga ju ubrzo krivo interpretiraju („prebacuju“ i ono što se ne može „prebaciti“, zaboravljaju promijeniti predznak …). Potrebno je što dulje primjenjivati rješavanje linearne jednadžbe zakonima ekvivalencije, a ako neki učenik uoči prečace, neka ih koristi, ali ne treba ih generalno primjenjivati na cijelu populaciju. Ne treba forsirati dugačke i kompliciranje jednadžbe, s više zagrada, već poučavanje usmjeriti na razumijevanje postupka te obaveznu provjeru ispravnosti rješenja.

U sedmom i osmom razredu nastavlja se ostvarivanje ishoda vezanih uz rješavanje jednadžbi u različitim kontekstima, a sve na principu ekvivalencije pri njihovu rješavanju.

2. učestalosti primjene koncepta jednadžbi kroz godine učenja

Trajnost znanja ovisi o razumijevanju onoga što se uči i o učestalosti primjene jednom naučenog. Znanja koja ne primjenjujemo vrlo brzo izgubimo. Glavni uzrok učeničkog neznanja ili gubitka znanja je neprimjenjivanje naučenih koncepata. Ako se jednadžbe uče i primjenjuju u samo jednom razredu na samo jednom konceptu ne možemo računati na trajnost znanja o njihovu rješavanju. Kako su jednadžbe zapisi problemskih situacija prirodno je da ih se koristi u različitim područjima, domenama, učenja: Brojevima, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci. U svakom od njih nailazimo na jednadžbe odnosno linearne jednadžbe. Zato ishod vezan u rješavanje jednadžbi treba stalno ispreplitati s ostalim ishodima. Na primjer pri planiranju ostvarenja ishoda vezanih uz geometriju prirodno je da primjenjujemo ishode iz domene Mjerenje, Algebra i funkcije i Brojevi.

Kako kurikulum propisuje ishode, a ne sadržaje vrlo je lako u svakom sadržaju pronaći mjesto za jednadžbe, za ostvarivanje ishoda vezanih uz jednadžbe, rješavanje problema ili zadataka riječima. Ishode je puno lakše kombinirati nego propisane sadržaje. Ishode možemo ostvarivati više puta kroz godinu učenja. Također sam kurikulum je osmišljen tako da se koncepti usložnjavaju kroz godine učenja. Takav primjer usložnjavanja je prikazan na Slici 14.

Primjer 11. Ishod vezan uz jednadžbe i rješavanje jednadžbi te njihovu primjenu za rješavanje problema ili zadataka riječima možemo vezati uz ishode:

  • kojima se ostvaruje računanje u bilo kojem skupu brojeva
  • određivanje mjerivih svojstava geometrijskih likova i tijela
  • konstrukcije likova i skupova točaka zadanih pod nekim uvjetima koji zahtijevaju računanje nekih mjerivih svojstava

Primjer 12.

image

Primjer zadatka: Zadan je pravokutnik sa stranicama duljine i . Za koliko se promjeni površina pravokutnika ako mu jednu stranicu smanjimo za cm. Postavi jednadžbu i odgovori na pitanje. Konstruiraj oba pravokutnika.

Ispreplićući različite koncepte osigurat ćemo trajnost usvojenih ishoda i znanja te produbiti razumijevanje. Na taj način ćemo i podići razinu znanja učenika.

Refleksija

Za kraj je potrebno napraviti osvrt na vlastiti rad i poučavanje rješavanja jednadžbi. Pokušajmo odgovoriti na pitanja:

  • Jeste li zadovoljni razinom uspješnosti vaših učenika u rješavanju jednadžbi?
  • Kojom strategijom poučavate vaše učenike rješavati jednadžbe?
  • Što biste mogli promijeniti u svom pristupu poučavanja?
  • Smatrate li da je važnije da učenik zna riješiti jednadžbu (pošto danas postoje digitalni alati koji to mogu riješiti umjesto njih) ili postaviti jednadžbu proizašlu iz problema?
  • Na koje probleme nailazite pri poučavanju učenika u rješavanju jednadžbi?
  • Možete li sa sigurnošću reći da ste ostvarili ishod vezan uz rješavanje jednadžbi?

Izvori:
Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Planiranje poučavanja na daljinu i kurikulumsko planiranje

sanja_janes

Sanja Janeš

Učenje i poučavanje na daljinu nije se često prakticiralo na našim područjima. U rijetkim se situacijama odvijalo s učenicima koji nisu mogli pohađati nastavu u školi ili kojoj drugoj obrazovnoj ustanovi. Međutim, svatko tko se bavi poučavanjem svjestan je da za učenje i poučavanje nisu potrebni zidovi – za tu tvrdnju ne treba znanstveni dokaz. Dovoljno je promatrati dijete kako uči od dana kad se rodi i koliko vještina i znanja stječe da bi mogao živjeti svoj život. Za učenje i poučavanje u prvom redu potrebna je želja za znanjem, rješavanjem problema, volja, odgovornost prema sebi, znatiželja…

Problem

Pri prelasku na učenje i poučavanje na daljinu u vrijeme epidemije COVID-19 pojavili su se problemi za koje nismo bili spremni jer smo naučeni u učenju i poučavanju imati:

  • izravni vizualni kontakt u realnom vremenu
  • izravni auditivni kontakt u realnom vremenu
  • interakciju učenika u skupini – rasprave, suradnja
  • interakciju učenika s učiteljem, pogledom, gestom, mimikom
  • davanje povratne informacije pogledom, gestom, mimikom.

Prelaskom u virtualni svijet sve je to naizgled nestalo. Bila je potrebna prilagodba učenja i poučavanja kako bi proces i dalje bio učinkovit i svrsishodan.

Učitelji i učenici brzo su shvatili da im tehnologija može omogućiti sve to, no ne na isti način i istim intenzitetom, ali svakako prilagodbom pristupa.

Međutim, za svaku prilagodbu treba vremena, a u ovoj promjeni preko noći vremena za prilagodbu nije bilo. Zbog toga je nastala situacija u kojoj su učenici, učitelji i roditelji postali frustrirani.

Zajednički nazivnik njihove frustracije bio je vrijeme, odnosno nedostatak vremena za proces i učenja i poučavanja.

Analiza

Važan uzrok tome je što se prijelazom na učenje i poučavanje na daljinu nije promijenio način planiranja učenja i poučavanja.

1. Većina učitelja još uvijek planira na način kao da rade po planu i programu.

Plan i program vrlo je kruto i nefleksibilno polazište realizacije učenja i poučavanja usmjereno isključivo na sadržaj. Traži stalno “trčanje” kroz sadržaje bez obzira na uspješnost učenja i poučavanja.

2. Učenje i poučavanje planira se uzastopce dan po dan.

Učitelj treba planirati lekcije za dan koji mu slijedi, a istovremeno davati povratne informacije učenicima o tek odrađenoj lekciji.

Učenik treba iz dana u dan izvršavati sve zadaće iz svih predmeta kao da je bio fizički na satu što mu je omogućavalo da u realnom vremenu razjasni sve nedoumice. Nedostaje mu vremena za samostalno proučavanje elemenata koji mu nisu razumljivi i još mora izvršiti zadatak.

Roditelj želi pomoći učeniku, uza sve svoje obveze, i pri tome ne može procijeniti koja vrsta pomoći mu treba i koliko je pomoći potrebno, a da nije previše i da ta zadaća bude učenikov, a ne roditeljev uradak.

3. Vrednovanje predstavlja poseban problem jer se u virtualnom okružju zapravo sastoji od mnoštva povratnih informacija svakom učeniku ponaosob. Način provjere znanja u okružju koje nije fizičko također zahtjeva promjenu pristupa.

Većina učitelja, učenika, pa i roditelja, usmjereni su na brojčanu ocjenu kao jedinu relevantnu povratnu informaciju o rezultatima i uspješnosti učenja. Još k tome u nekim predmetima kao što je matematika, najviše se cijeni ocjena iz pisane provjere u strogo kontroliranim uvjetima i strogo individualizirana.

Moguća rješenja

1. Kurikulumsko planiranje

Osnova je kurikulumskoga planiranja godišnji izvedbeni kurikulum. Njime učitelj planira teme kroz koje će ostvarivati zadane odgojno-obrazovne ishode. Pri tom planiranju važno je obuhvatiti sve ishode koji trebaju biti ostvareni na kraju godine učenja. Velika je prednost kurikulumskoga pristupa planiranju da se ishodi mogu ponavljati, različito kombinirati, premještati. Neki su ishodi, npr. u matematici takvi da se ponavljaju iz godine u godinu učenja te se usložnjavaju. Zašto je to važno? Ako učenik ne uspije usvojiti neki ishod na razini s kojom je zadovoljan, ima se priliku poboljšati u narednoj godini učenja.

Zašto je ovo obilježje planiranja dobra za planiranje nastave na daljinu?

Omogućuje:

  • fleksibilnost planiranja
  • ponavljanje ishoda koje nismo uspjeli ostvariti, a učenici usvojiti
  • rad na projektima i istraživanjima
  • mijenjanje tema/sadržaja prema potrebi.

2. Planiranje za razdoblje od tjedan do dva tjedna.

Planiranje učeničkih aktivnosti za dulje razdoblje zahtjeva određeno iskustvo. Opseg produljenja ovisi i o tjednoj satnici nekog predmeta. Što je tjedna satnica veća, to je teže planirati na dulje vrijeme. Primjerice, za 4 sata moguće je dobro planirati učeničke aktivnosti za cijeli tjedan. Shodno tome, predmeti s 2 sata tjedno mogu unaprijed planirati učeničke aktivnosti za dvotjednu realizaciju. Planiranje aktivnosti na bazi tjedan i dva tjedna, a ne dana ili sat po sat, rasterećuju i učenika i učitelja.

Kako rasterećuje učitelja?

  • stvara širu sliku, koncepciju onoga što želi postići u nekom razdoblju
  • lakše analizira realizaciju i planira nadopune za sljedeće razdoblje
  • integrira sadržaje i isprepliće ishode
  • oslobađa si vrijeme za davanje povratne informacije učenicima
  • daje kvalitetnije povratne informacije učeniku i olakšava si praćenje učenikova rada
  • nakon dva ciklusa po dva tjedna može provesti i vrednovanje naučenog
  • lakše organizira vrijeme učenicima, a i sebi , za komunikaciju unutar dva tjedna
  • ne mora biti dostupan 24 sata jer će u 2 tjedna uspjeti raspodijeliti opterećenje.

Kako rasterećuje učenika?

  • učenik je upoznat sa time što će u narednom razdoblju učiti – ima cjelovitiju sliku koncepta
  • samostalno organizira vrijeme učenja
  • pridržava se organiziranog vremena za konzultacija s učiteljem i dobivanje povratnih informacija
  • lakše reorganizira učenje na osnovu povratnih informacija
  • postaje samostalniji i preuzima odgovornost za vlastiti učenje i organizaciju učenja.

3. Vrednovanje

Primjena tri pristupa vrednovanju: vrednovanja za učenje, vrednovanja kao učenje i prilagodba načina vrednovanja naučenog.

U svakoj svojoj povratnoj informaciji učenicima učitelj provodi vrednovanje za učenje koje je u ovim uvjetima intenzivnije nego u nastavi u razredu. U fizičkom razredu učitelj često daje općenite povratne informacije, a u virtualnom razredu povratne informacije su fokusirane i individualizirane.

Za vrednovanje složenijih zadataka koje učenici rješavaju tijekom duljeg razdoblja rubrika za vrednovanje omogućit će im samostalan rad i jasno postavljene uvjete uspješnosti realizacije.

Vrednovanje kao učenje ostvaruje se kroz organizaciju rada učenika na zajedničkim projektima i predstavljanju rezultata. Prilika je to da učenici međusobno vrednuju svoje uratke.

Provjera vrednovanja naučenog izravno će se oslanjati na vrednovanje za učenje koje je učitelj provodio. Kod vrednovanje naučenog na daljinu učitelji su bili zabrinuti radi vjerodostojnosti rezultata jer nemaju kontrolu nad procesom učenikova rada pri vrednovanju. Zato su rezultati vrednovanja za učenje dragocjeni i implementiraju se u vrednovanje naučenoga. Vrednovanje naučenog se može provesti na način da učenici imaju istu bazu pitanja, ali im se ona ne prikazuju istovremeno, već ih sustav nasumično raspodijeli. Tako nešto besplatno omogućava, na primjer, Loomen.

Vremensko ograničenje pri takvim provjerama zapravo umanjuje vjerodostojnost naučenog jer su neki učenici jednostavno sporiji ili u čitanju ili u procesuiranju i provođenju procedura za rješavanje zadataka, što ne znači da nisu usvojili ishode. No kako zbog toga učenici ne bi bili oštećeni, praćenje kroz vrednovanje za učenje može biti od velike pomoći.

Primjeri planiranja aktivnosti za dulje razdoblje

clip_image0021. Primjer – zadatak

  • 5. razred
  • jedna aktivnost u tjedan dana – 4 nastavna sata

Projektni zadatak: Voda i matematika – vrednovanje naučenog

Prije izvršavanja zadatka učitelj s učenicima ponavlja pojam postotka.

Odgojno obrazovni ishodi:

MAT OŠ A.5.3. Povezuje i primjenjuje različite prikaze razlomaka.
MAT OŠ C.5.2.Opisuje i crta /konstruira geometrijske likove te stvara motive koristeći se njima.
MAT OŠ E.5.1. Barata podacima prikazanim na različite načine.

Ishodi aktivnosti:

  • Učenik prikazuje postotke na modelu.
  • Za prikaz crta pravokutni ili krug.
  • Tumači prikaze koristeći se matematičkim jezikom.
  • Donosi zaključke na osnovi prikaza.

Cilj: Izrada prezentacije o raspodjeli vode na Zemlji. Predstavljanje uratka videokonferencijom.

Vrednovanje naučenog

tablica

Element vrednovanja: matematička komunikacija

Rubrika:
Ako nije zadovoljen niti jedan kriterij po pojedinoj sastavnici, učenik za tu sastavnicu dobiva 0 bodova.

Odličan: 9-8 bodova
Vrlo dobar: 7-6 bodova
Dobar: 5-4 bodova
Dovoljan: 3 boda

Vrednovanje kao učenje: Učenici se vrednuju međusobno. Može se u suradnji s njima napraviti lista procjene po koji će vrednovati kolege.

Aktivnosti:

Učenici na osnovu podataka iz udžbenika Geografije za 5. razred dobiju zadatke koje moraju riješiti.

  • 71 % Zemljine površine, zauzima voda
  • Slana voda čini 97.5 %, a slatka 2.5 %.
  • Udio slatke vode u ledenjacima i ledenom pokrovu je oko 69 %,  podzemlju je  oko 30 %, a površinske vode oko 1 %. 
  • Ljudsko tijelo sastoji se od oko 60 % vode

Učenici dobiju i dodatne materijale za proučavanje u obliku videa na poveznici https://bit.ly/raspodjelavode.

  • Prikaži odnos vode i kopna na Zemlji.
  • Prikaži odnos slane i slatke vode na Zemlji.
  • Prikaži udio slatke vode u ledenjacima i ledenom pokrovu, podzemlju i na površini.
  • Prikaži udio vode u ljudskom tijelu.
  • Prikaži udio slatke vode u ukupnoj količini vode na Zemlji.
  • Obrazloži svaki od prikaza koristeći matematički jezik.
  • Izvedi zaključke iz prikaza.

Također odgovaraju na pitanja:

    • Kako je primjerenije nazvati Zemlju, plavi planet ili vodeni planet?
    • Što mislite o udjelu slatke vode na Zemlji?
    • Jeste li mislili da je tako malo slatke vode na Zemlji?
    • Imaju li svi ljudi jednak pristup pitkoj vodi?
    • Kako biste vi u budućnosti pokušali zaštititi pitku vodu od zagađenja?

Prikaz rezultata

  • Rezultate prikazuju:

    Na plakatu
    Videozapisom
    U nekom alatu računalne prezentacije – PowerPoint, Sway, OneNote,…

    • Osim zadataka s koriste dijelove priče o vodi koji su te se najviše dojmili.
    • Rezultat svog rada predstavlja svojim kolegama putem videokonferencije.

    2. Primjer

    • 7. razred
    • Planiranje aktivnosti za tjedan dana – 4 nastavna sata

    Odgojno-obrazovni ishodi

    MAT OŠ A.7.1.
    MAT OŠ D.7.6.Računa postotak i primjenjuje postotni račun.
    MAT OŠ A.7.5.Primjenjuje računanje s racionalnim brojevima.
    MAT OŠ B.7.2.Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu
    MAT OŠ D.7.3. Odabire strategije za računanje opsega i površine mnogokuta.
    MAT OŠ D.7.5.Odabire i preračunava odgovarajuće mjerne jedinice.
    MAT OŠ D.7.2. U koordinatnome sustavu u ravnini crta točke s racionalnim koordinatama i stvara motive koristeći se njima.

    Ishodi aktivnosti

    • Prepoznaje, opisuje, povezuje i računa elemente postotnoga računa: postotak, postotni iznos i osnovnu vrijednost u problemskoj situaciji
    • Primjenjuje postotni račun pri rješavanju problema iz stvarnoga života te za rješavanje matematičkih problema
    • Računa površinu geometrijskog lika u kontekstu postotnog računa
    • Računa opseg geometrijskog lika u kontekstu postotnog računa
    • Grafički rješava matematičke probleme.

    Vrednovanje za učenje

    Rubrika za vrednovanje aktivnosti

    tablica1

    Aktivnosti:

    1.sat/1.dan

    Putem prezentacije ponoviti s učenicima

    • Što je postotak?
    • Kako ga izračunavamo?
    • Što je postotni iznos?
    • Što je osnovna vrijednost?

    Umjesto prezentacije učitelj može sam napraviti videolekciju ili se koristiti videolekcijom s weba. Tu videolekciju podijeliti s učenicima kako bi se mogli podsjetiti i pomoći tijekom rješavanja aktivnosti ili zadataka. U videu treba obrazložiti/ponoviti izračuni sve tri veličine kako bi ga učenici mogli pogledati kad im ustreba.

    Unutar prezentacije primjeri zadataka koje učitelj zajedno s učenicima rješava, raspravljaju o rješenjima…

    • Podjela zadataka za iduća tri sata u digitalnom obliku.
    • Jasno učenicima obrazložiti uvjete i daljnji tijek rada:

        – 2. i 3. sat rješavaju zadatke
        – Savjetovati ih da ne rješavaju sve zadatke u jednom danu, već da si raspodijele vrijeme.
        – Obrazložiti da prvo moraju riješiti zadatke s prvog listića, a tek onda prijeći na zadatke drugog.
        – Savjetovati ih da se obrate učitelju za pomoć pri rješavanju. Učitelj prati napredak svojih učenika.
        – Predstaviti raspored konzultacija s učiteljem. Učenici sami odabiru vrijeme u pripremljenoj tablici.
        – Dopustiti im uporabu džepnog računala, ali istaknuti da postupak moraju imati zapisan. Također i obrazloženja, gdje se traže.
        – Obavijestiti ih da će 4. sat imati provjeru naučenog prema danoj rubrici ( ta provjera će biti vrednovanje za učenje)
        – Predstavljanje i dijeljenje analitičke rubrike

    Primjeri aktivnosti:

    Jednostavnije aktivnosti, na priloženoj prvoj poveznici, učenici prvo trebaju riješiti i predati riješeno.
    https://bit.ly/primjeri_aktivnosti1

    Nakon što riješe te zadatke mogu prijeći na rješavanje zadataka na drugom listiću.
    https://bit.ly/primjri_aktivnosti2

    Napomene: povezanost ishoda aktivnosti i zadataka.

    clip_image002[1]Na poveznicama su zadaci s jasno istaknutim ishodima aktivnosti vezanim uz njih. Na taj način se stiče važnost planiranja slijedom kurikulumskoga kruga. Sve započinje određivanjem ishoda, planiranjem vrednovanja ostvarenosti ishoda (rubrika), odabir metoda i strategija, sadržaja i aktivnosti, te na kraju provedba i refleksija. Oba primjera su koncipirana upravo tako da prate kurikulumski krug. https://bit.ly/ishodi_aktivnosti1
    https://bit.ly/ishodi_aktivnosti2

    2.Sat/2. dan
    3.sat/3.dan

    Konzultacije s učenicima prema rasporedu. Davanje povratne informacije, pisano ili usmeno. Ako je neki učenik sve napravio već prvi dan, dat će mu se neki zahtjevniji zadatak do kraja ciklusa. Ako je neki učenik izostao s konzultacija to se bilježi i obavještava stručna služba.

    4.sat/4.dan

    1. mogućnost:

    Učitelj i učenici na videokonferenciji zajednički analiziraju zadatke koje su samostalno rješavali. Učitelj svakom učeniku na osnovu priložene rubrike daje usmenu ili pisanu povratnu informaciju. Kad mu je rubrika na raspolaganju, učitelj svakom učeniku može označiti opisnicu koja je vezana uz učenikov napredak. Takav način povratne informacije učenik sprema u svojoj bilježnici ili e-bilježnici. Povratnu informaciju, pisanu pomoću opisnica rubrike, bilo bi dobro zapisati i u bilješke u dnevnik.

    2. Mogućnost:

    Kratka online pisana provjera koja se ne vrednuje ocjenom već povratnom informacijom (vrednovanje za učenje) pomoću prethodno, na prvom satu, podijeljene rubrike. Zadatci ne trebaju biti slični, dapače različiti, ali moraju zadovoljavati zadane ishode te pratiti zahtjeve rubrike. Način davanja povratne informacije je isti kao u 1. mogućnosti.

    3. Mogućnost:

    Ako su ovi sati završni dio teme, moguće je rubriku prilagoditi da služi za vrednovanje naučenog. Tada se razine ostvarenosti kriterija pretvore u bodove i napravi ocjenska skala (kao u prvom primjeru).

    Element vrednovanja će učitelj sam isplanirati pri izradi pisane provjere.

    Koji su pozitivni učinci nastave na daljinu?

    • Vrednovanje za učenje postaje izuzetno važan dio procesa vrednovanja, a samim time i kvaliteta vrednovanja naučenog će biti bolja.
    • Individualizacija nastave, učenja i poučavanja.
    • Osamostaljivanje učenika u procesu učenja, osnaživanje samovrednovanja, vrednovanja kao učenje
    • Razvijanje kompetencije učenja kako učiti, razvijanje metakognicije
    • Poticanje suradničkog učenja, a sami time i suradničkog vrednovanja, vrednovanja kao učenje
    • Jačanje digitalnih kompetencija