Novogodišnji Pogled

Broj 149, prosinac 2022.
ISSN 1848-2171

U projektu Pogum (Hrabrost) glavni ciljevi su jačanje kompetencija poduzetništva i poticanje fleksibilnog prijelaza između obrazovanja i okoliša u osnovnim školama. Andreja Kocjan je željela da učenici shvate kako je moguće na maštovit način ponovo upotrijebiti otpadnu ambalažu te na taj način potaknuti kritičko razmišljanje, kreativnost i održivi razvoj kod učenika. Više…

Učitelji u školama rade sa širokom spektrom različitih učenika koji imaju različite potrebe. U članku Dolores Štembergar možete saznati neke činjenice o ADHD-u i primjere iz prakse koje smo odradili s učenikom na individualnim satovima dodatne stručne pomoći. Više…

Sportske aktivnosti i pravilna prehrana vrlo su važni u životu mlade osobe. Donata Tomažič je željela potaknuti neaktivne pojedince na sportske aktivnosti. Pročitajte što su zaključci provedene ankete. Više…

Vlasta Čukur kaže kako u glavama suvremenog čovjeka raste svijest da zaštita okoliša nije samo hir, već i nužnost. Vrijeme je da učenici nadograde i shvate znanje koje smo im mi učitelji i roditelji već prenijeli.“Planet Zemlja može računati na nas”, to je zavjet koji su učenici dali na kraju sadnje drva. Više…

Međugeneracijska druženja iznimno su važna kako za starije tako i za mlade jer potiču izmjenu iskustava i mladenačku razigranost. Irena Herlih kaže kako je bit povezivanja dobri međuljudski odnosi i ostvarenje međugeneracijske solidarnosti. Više…

Katarina Vinšek smatra kako je potrebno više vremena posvetiti upoznavanju učenika s karakteristikama i načinom života sojeničara koji su živjeli na području blizu škole, pa je tu svrhu provela razredni projekt. Više…

U školi prije pet godina započeli su predpismenim vještinama u prva četiri mjeseca prvog razreda. Učenici razvijaju vještine prije opismenjavanja kroz različite vježbe, a Katja Gracar opisala je kako se učenici osposobljavaju za ove vještine i koja pomagala koriste. Više…

Marija Bratonja je provela aktivnosti Hackathon i Student Camp u sklopu IN EDU projekta Inkluzivne zajednice kroz EDUkaciju medijske pismenosti i kritičkog razmišljanja, a učenici su stekli nova znanja i vještine vezane uz medijsku i informacijsku pismenost te kritičko razmišljanje koji će im pomoći u daljnjem školovanju. Više…

Rad u kombiniranom odjelu posebno je izazovan, pa je obrada lektire bio prava avantura koja je zamišljena kao zajednički projekt Marijane Kune, školske knjižničarke i Željke Krizmanić, učiteljice razredne nastave. Cilj projekta bio je obraditi književno djelo na učenicima zanimljiv način, povezati ga sa svim nastavnim predmetima u trećem i prvom razredu, koristiti vizualne predloške, digitalne alate i medijske sadržaje te provesti vrednovanje zadovoljstva učenika. Više…

U svom članku, Stanka Vogrinec želi skrenuti pozornost na važnost urednih bilježnica, posebno na važnost urednih bilješki. Napominje da je jedan od važnih čimbenika koji utječu na bolje i brže znanje uredna bilježnica, stoga je jedan od naših prioriteta poticanje učenika na jasne i čitke zabilješke. Više…

Martina Križman Tavčar na svjetski dan Zemlje je osvijestila učenike da je planet na kojem živimo jedinstven i zato ga treba čuvati i štititi te da moraju nastojati odvojeno prikupljati i pravilno zbrinjavati što više različitih vrsta otpada, posebice jer su vrijedan izvor sirovina koje mogu cirkulirati u prerađenim proizvodima u više proizvoda. Više…

S plesom se susrećemo kao djeca, kada svojim pokretima izražavamo nešto što osjećamo, vidimo ili mislimo. Mateja Lesničar nam je opisala kako ples u području predškolskog odgoja podrazumijeva izražavanje kroz pokret i stvaranje kroz pokret, stoga potaknimo djecu na ples. Više…

Projekt Smiješak, snima se! Mala škola filma integriran je u dijelove nastavnoga plana hrvatskoga jezika u 6. razredu i u godišnji plan rada Filmske družine ZAG, ispričala nam je Melita Horvatek Forjan. Ciljevi projekta su usvajanje temeljnih tehničkih vještina za snimanje kvalitetne fotografije i kratkoga filma, poticanje kreativnoga izražavanja učenika kroz medij filma i fotografije te razvoj filmske pismenosti i medijske kulture. Više…

Nina Bitežnik tijekom svoj profesionalnog razvoja imala je priliku promatrati djecu kako uče pojam simetrije. Prije nego što je djecu upoznala sa terminom simetrija dobila je vrlo zanimljive odgovore. Više…

U izvannastavnoj aktivnosti Simona Lobnik djeci nudi mogućnost aktivnog istraživanja kroz različite eksperimente što kod učenika izaziva uzbuđenje i potiču želju za daljnjim istraživanjem. Na taj se način dosadna predavanja o zakonima prirode pretvaraju u uzbudljivu istraživačku avanturu, igru i zadovoljstvo jednim uspješnim eksperimentom koji obogaćuje djetetovo znanje. Više…

Petra Žirovnik Grudnik traži vezu između boja interijera učionica i učenja, kako boje utječu na proces učenja, kako se utjecaj boja razlikuje u različitim dobnim grupama i kako je moguće koristiti odgovarajuće boje u različitim područjima u školi. Više…

Predmet Društvo jedan je od nastavnih predmeta, a cilj Tine Rezar je saznati što se učenicima u predmetu Društvo sviđa, a što ne; koje im se teme sviđaju, koje nastavne metode su im draže od drugih i koja nastavna pomagala najradije koriste. Više…

Motiviranje učenika za pisanje na stranom jeziku može predstavljati veliki izazov za nastavnika. Valentina Batagelj uz pomoć online programa Animated Drawings pretočili su tekst o svojoj izmišljenoj čudnoj obitelji u animaciju. Proces je kombinirao različite vještine, od pisanja, crtanja, animiranja i u završnoj fazi predstavljanja njihove izmišljene neobične obitelji pred razredom. Više…

Gordana Lohajner

Linearne jednadžbe u osnovnoj školi

Sanja Janeš

Uvodno razmatranje i pitanja

Napravite pokus. U određenom vremenskom razdoblju pitajte ljude kojima ste okruženi dva pitanja:

1. Volite li matematiku?
2. Koji dio matematike koji ste učili vas je usmjerio da ju volite/ne volite?

Za pretpostaviti je da će među mnogim odgovorima vrlo često biti spomenuti razlomci, ¨iksevi¨, ¨slova¨, jednadžbe. S razlomcima je imao problema i slavni Leonardo da Vinci, odjeljak 4. Leonardova matematika prije susreta s Paciolijem

Razlomcima ćemo se pozabaviti u nekom drugom dijelu, a sad ćemo se pozabaviti jednadžbama. Odnosno kako poučavamo i zašto učenici imaju poteškoća s jednadžbama.

Kad u članku spomenemo imenicu jednadžba, nećemo podrazumijevati samo algebarski zapis jednadžbom, na primjer, već na jednadžbu kao koncept odnosno obuhvatit ćemo sve, ili gotovo sve, što možemo povezati s algebarskim pojmom jednadžbe.

Slika 1. Pojmovi vezani uz jednadžbe

Ključni pojmovi: matematika, ishodi poučavanja, metode, linearne jednadžbe.

Kako bismo učenike uspješno podučavali bilo koji koncept važno je odrediti:

• Ishode poučavanja – kurikulumom su nam zadani odgojno – obrazovni ishodi, a mi moramo valjano odrediti ishode aktivnosti kroz koje ostvarujemo ishode i koje možemo vrednovati.
• Pristupe i metode vrednovanja usvojenosti ishoda.
• Metode poučavanja – u nastavi Matematike koristiti valjane matematičke metode koje opisujemo matematičkim jezikom, komuniciramo matematiku u pisanom i usmenom obliku.
• Strategije poučavanja – zajedno s učenicima otkrivati različite matematički i logički ispravne, strategije i procedure koje mogu primijeniti u učenju.
• Pri poučavanju težiti razumijevanju koncepta, a tek onda primjenu procedure. To se slaže i s dimenzijama znanja:

Slika 2. Dimenzije znanja

Problem

Poučavamo jednadžbe kroz cijelo školovanje, a učenici teško ostvaruju ishod Rješava (linearnu) jednadžbu. Jednadžbe doživljavaju kao nepotrebnu i nepremostivu prepreku. Događa se da u 7. razredu ne znaju riješiti elementarne oblike linearnih jednadžbi proizašle iz nekih fizikalnih problema, na primjer:

Rješavanje jednadžbi je važno za razvijanje matematičke pismenosti. Isto tako je izuzetno važno zapisivanje jednadžbi proizašlih iz zadatka riječima i problemske situacije. Kroz zadatke riječima i zapisa situacije u njima jednadžbom učenike pripremamo za zapisivanje problemske situacije jednadžbom proizašle iz problema. Uočava se da je učenicima podjednako teško, postaviti jednadžbu koja proizlazi iz neke situacije iz koje treba naći rješenje i riješiti tu jednadžbu.

U ovom članku, najviše ćemo se baviti samom procedurom rješavanja linearnih jednadžbi odnosno pristupu poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi u osnovnoj školi.

Hipoteza

Iako se s jednadžbama susreću od prvog razreda osnovne škole učenici na kraju osnovnoškolskog obrazovanja imaju problem sa samostalnim i uspješnim rješavanjem (linearne) jednadžbe.

Istraživanje

Od kud možemo krenuti u analizi i istraživanju?

Razmotrimo:

• Kako pristupamo poučavanju jednadžbi?
• Kakvo je predznanje učenika?
• Kako je rješavanje jednadžbi sadržano u udžbenicima?
• Koliko često kroz aktivnosti koristimo rješavanje jednadžbi?
• Koliki je udio problemskih situacija, u aktivnostima, koje učenici rješavaju postavljanjem i rješavanjem jednadžbe?

Pristup poučavanju

Učenici se s jednadžbom susreću kasnije nego s rješavanjem problemske situacije. Već u predškolskom dobu rješavaju, konkretima, jednostavan problem tipa:

Ako imaš tri bombona, koliko ti ih još treba dati da ih imaš ukupno pet?

Kako djeca rješavaju takav konkretan problem? Kojom procedurom? Kojom računskom operacijom? Kojim strategijama?

Slika 3. Prikaz crtežom kao strategije

Mi ne znamo kako u predškolskim ustanovama pristupaju takvim konceptima. Ono što se može pronaći na mrežnim stranicama vrtića je da se koriste već i brojke, znakovi za računske operacije (zbrajanje i oduzimanje), znak jednakosti, znakovi veće od i manje od. Kakva je interpretacija, nije opisano.

Od 1. do 4. razreda osnovne škole

Odgojno-obrazovni ishodi u 1. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

Izvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Dodatni kod ishoda (MAT OŠ B.1.1) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja).

Naravno da učenici, niti učitelji, ne koriste termin jednadžba, već jednakost. Prikaz problemske situacije crtežom pomaže razumijevanju odnosa u jednakosti pa ju treba koristiti, kad god je moguće, bez obzira na uzrast.

Važno je napomenuti kako bi svaki problemski zadatak prije nego se prijeđe na formalni zapis trebao biti popraćen slikovnim prikazom. Strategija slikovnog prikaza pomaže učenicima da shvate proceduru formalnog zapisa.

Tekstualni zadatak za 1. razred osnovne škole koji spada pod jednadžbe može glasiti:

Primjer 1.

• Koji broj uvećan za jedan daje pet?
• Za koliko treba uvećati jedan da bismo dobili pet?
• Ana ima jednu kunu. Čokolada košta 5 kuna. Koliko joj kuna nedostaje da bi mogla kupiti čokoladu?

Slika 4. Slikovni prikaz

Primjer 2.

• Za koliko je devet veći od pet?
• Ana ima devet kuna. Koliko smije potrošiti kako bi joj ostalo pet kuna?
• Za koliko treba umanjiti broj devet kako bismo dobili broj 5?

Slika 5. Slikovni prikaz

Primjer 3. (Zadatak riječima iz udžbenika za 1. razred osnovne škole; traži se i zapis i izračun.)

Za koliko je razlika brojeva 12 i 7 manja od 10?

Slika 6. Slikovni prikaz

Važno je spomenuti i pristup poučavanju veza računskih operacija pomoću osam jednakosti. Kroz taj pristup se učenicima približava:

• Povezivanje računskih radnji istog stupnja.
• Otkrivanje nepoznatog člana jednakosti.
• Prihvaćanje značenja i važnosti znaka jednakosti.
• Uočavanja asocijativnosti zbrajanja i ne asocijativnosti oduzimanja.

Primjer 4. Osam jednakosti za zbrajanje i oduzimanje:

Kako zorno, crtežom, učenicima prikazati osam jednakosti pokazano je u videu osam jednakosti.

Odgojno-obrazovni ishodi u 2. i 3. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

Izvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Već u drugom razredu se pojavljuje ishod koji sadrži koncept jednadžbe.

Koja je razlika između situacije da se u ishodu 1. razreda osnovne škole spominje određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja i isticanja samog ishoda kao u 2. razredu?

Sintagma određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja nalazi se u napomenama, smjernicama za osmišljavanje aktivnosti na satu, nije niti u razradi niti u razinama. Dakle rezultati rada učenika u takvim aktivnostima ne bi se smjeli vrednovati, ali je preporučeno da učenici istražuju takve koncepte radi razvijanja matematičke pismenosti te logičkog povezivanja.

Međutim, čim postoji odgojno-obrazovni ishod, to znači da se rezultati aktivnosti s ishodima aktivnosti proizašli iz odgojno-obrazovni ishoda, mogu i trebaju vrednovati.

Ishodi vezani uz rješavanje jednadžbi postoje i u 3. i 4. razredu osnovne škole.

Izvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

I ti ishodi se mogu, i trebaju, ostvarivati zajedno s drugim ishodima iz različitih domena te na taj način osigurati kontinuitet učenja jednadžbi kroz cijelu godinu.

5. razred

U 5. razredu osnovne škole koncept jednadžbe se može ostvariti kroz nekoliko ishoda. Odaberimo dva koja su najistaknutija prvi je iz domene Algebra, a drugi iz domene Mjera. Osnovni ciljevi ostvarivanja ovih ishoda su uvođenje nepoznanice u zapis jednadžbe, rješavanje jednadžbe vezom računskih operacija i provjera rješenja jednadžbe.

Izvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Ne postoji recept koji bi učitelju garantirao uspjeh u ostvarenju ishoda:

1. pridruživanje nepoznanice nepoznatoj vrijednosti iz problema
2. zapis problemske situacije jednadžbom

Uvođenje prikaza nepoznanice slovom može se napraviti odmah, na početku petoga razreda u sklopu ishoda vezanih uz:

• skup prirodnih brojeva
  ili
• skupovi točaka u ravnini

Može se započeti s jednostavnim zadatkom riječima i brojevima s kojima ne mogu računati napamet. Svakako prije računanja treba učenike potaknuti da procjenjuju iznos rješenja.

Primjer 5. Ana je uštedjela 1 857 kuna. Bicikl koji želi kupiti košta 2 799 kn. Koliko joj novca nedostaje?

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako:

Učenici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje.
Ani nedostaju 942 kune.
Provjera će vjerojatno izostati.

U problemu s geometrijskim kontekstom. Učenici su se u četvrtom razredu osnovne škole susreli s konstrukcijom jednakostraničnoga i jednakokračnoga trokuta te računanjem njihovih opsega. Tako da im ta znanja treba samo osvježiti u petom razredu.

Primjer 6. Opseg jednostraničnoga trokuta iznosi 921 cm. Odredite duljinu stranice trokuta (izuzetno je važno uz zadatak nacrtati skicu, priložiti sliku kako bi se kasnije lakše uvela nepoznanica).

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako:

Učenici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje. 
Duljina stranice jednakokračnog trokuta iznosi 307 cm.
Provjera će vjerojatno izostati.

Slika 7. Prikaz trokuta uz Primjer 6

Želimo li jednadžbu moramo uvesti pojam nepoznanice. Raspraviti s učenicima.
Što je u zadatku nepoznato? Kako ćemo označiti nepoznato?
Što jednadžba jest?
Što znači riješiti jednadžbu?
Kako provjeriti jesmo li dobro riješili zadatak, jednadžbu?

Ovo su izuzetno važna pitanja i  koraci koji se neki puta preskaču u procesu učenja i poučavanja, a posljedica je nerazumijevanje koncepta jednadžbe.

1. Prikaz problema s kupnjom bicikla

Prije samog postavljanja jednadžbe poželjno je crtežom prikazati problemsku situaciju. Iako izgleda da je svejedno kakav prikaz se koristi, možda je desni prikaz učenicima vjerodostojniji.

   ili   
Slika 8. Prikaz problema 1             Slika 9. Prikaz problema 2

Nakon prikaza i nakon diskusije treba učenicima ponuditi da samostalno zapišu prikazano na slici. Vjerojatno je da će barem jedan učenik samostalno zapisati:  

Ako je moguće, učenika pozvati da sam zapiše i obrazloži što je i zašto zapisao.
Konstatirati da je zapis jednadžba s nepoznanicom i povezati problemsku situaciju sa zapisom jednadžbe.

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe. Raspraviti što je zadano (pribrojnik i zbroj) i što je nepoznato (drugi pribrojnik).
Kako izračunati nepoznati pribrojnik?
Vezom računskih operacija.

2. Prikaz problema s opsegom jednakostraničnoga trokuta

Probleme u geometriji koji se tiču otkrivanja mjerivih svojstava najbolje je prikazati u geometrijskom kontekstu.
Svakako prije rješavanja ponuditi sliku koja zorno prikazuje značenje opsega. Do izraza za opseg treba doći postupno. Doslovno pratiti značenje opsega, zbroj duljina stranica. Kako su stranice jednakostraničnoga trokuta jednakih duljina, što kraće zapisujemo . Ne bi trebalo preskakati korake kako bi učenici što bolje prihvatili novi koncept, u ovom slučaju zapis problema jednadžbom. Neki učenici će možda zadržati zapis zbroja duljina stranica kao prvi korak. Ne treba ih u tome sprečavati već uputiti i na kraći zapis.

Slika 10. Prikaz opsega trokuta

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe.
Raspraviti što je zadano (jedan faktor i umnožak) i što je nepoznato (drugi faktor).
Kako izračunati nepoznati faktor?
Vezom računskih operacija.

Svakako napraviti provjeru. Provjera je korak koji se u procesu učenja i poučavanja pravilu izostavlja. Razlog izostavljanja je pravdano nedostatkom vremena, ali je provjera korak koji je jednako važan kao i rješavanje jednadžbe. Dakle, nije cilj samo riješiti jednadžbu već i provjeriti ispravnost rješenja.

Zapravo nema smisla u 5., 6. i 7. razredu rješavati „glomazne“ jednadžbe tipa:

već umjereno složene jednadžbe koje proizlaze iz zadatka riječima ili iz problemskog zadatka kod kojih će učenik razumjeti što radi i biti u stanju provjeriti ispravnost postupka i rješenja.

Radeći provjeru učenik će lakše razumjeti značenje vrijednosti nepoznanice kao rješenja jednadžbe. Učenik zapravo vrši supstituciju, zamjenu.

Provjera:

Postupak provjere učenicima je izazov i zapravo podrazumijeva korake:

1. Pretpostavka- pretpostavlja da je ispravno riješena jednadžba, da je vrijednost nepoznanice ispravna.
2. Provjera pretpostavke – zamjenjuje nepoznanicu njezinom vrijednosti.
3. Potvrda pretpostavke

• ukoliko na kraju dobije identitet zaključuje da je ispravno riješio jednadžbu.
• ukoliko na kraju ne dobije identitet zaključuje da nije ispravno riješio jednadžbu.

Slika 11. Prikaz procesa rješavanja jednadžbi

I malo složenije jednadžbe mogu rješavati vezom računskih operacija.

Primjer koji slijedi, otkrivanje duljine jedne od stranica pravokutnika ako je zadan opseg i duljina druge stranice, učenici rješavaju u 4. razredu bez postavljanja jednadžbe, ali upravo primjenom veze računskih operacija.

Kad ih pitate kako ga rješavaju odgovor često glasi: „ Podijelim opseg s dva i oduzmem drugu stranicu.“ Znači da računaju opseg iz oblika koji mi zapravo rijetko koristimo jer se iz njega ne vidi jasno zbroj duljina stranica kao iz oblika .

Zadatak treba riješiti na oba načina. Općenito gdje god postoji rješavanje zadatka na više načina to treba iskoristiti, pokazati različite pristupe kojima se dobiva isti rezultat, rješenje. Učenici pri samostalnom rješavanju takvih zadataka odabiru način koji njima najviše odgovara.

Primjer 7. Opseg pravokutnika iznosi 56.8 cm. Duljina jedne stranice iznosi 12.7. Odredi duljinu druge stranice. Rješenje zapiši jednadžbom.

Slika 12. Pravokutnika

1. način

Provjera:

2. način

Provjera:

Primjer 8: Opseg jednakokračnog trokuta iznosi a duljina osnovice . Odredite duljinu kraka tog jednakokračnog trokuta.

Provjera:

6. razred

Općenito govoreći vezom računskih operacija elegantno je rješavati jednadžbe kod kojih su nepoznanice grupirane na jednoj strani. U 5. razredu niti ne treba rješavati drugačije.

Ishod koji u šestom razredu opisuje rješavanje jednadžbi je:

Izvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Naravno da se taj ishod ne ostvaruje samostalno već je vezan i uz druge ishode:

MAT OŠ A.6.7. Računa s cijelim brojevima., MAT OŠ A.6.5. Računa s nenegativnim racionalnim brojevima., MAT OŠ D.6.2. Računa i primjenjuje opseg i površinu trokuta i četverokuta te mjeru kuta.

Ponavljanje ishoda zajedno s drugim ishodima osigurava konstanto „življenje“ s jednadžbama kroz godinu te očekivanu bolju usvojenost.

U šestom je razredu potrebno napraviti pomak ka rješavanju jednadžbi koje imaju nepoznanice i konstante s obje strane znaka jednakosti. Smatra se da na najnižoj razini učenik rješava jednadžbe takve težine da ih, još uvijek, rješava vezom računskih operacija. No već na dobroj razini učenik rješava jednadžbe koje se rješavaju primjenom ekvivalencije.

Naravno da se i kod takvih jednadžbi može primijeniti veza računskih operacija, no matematički je korisnije primijeniti rješavanje takvih jednadžbi primjenom ekvivalencije koja proizlazi iz tvrdnji:

• Jednadžbe su ekvivalentne samo kad imaju potpuno iste korijene.
• Dodavanje ili oduzimanje istog broja ili izraza na obje strane jednadžbe daje ekvivalentnu jednadžbu.
• Množenje ili dijeljenje obje strane jednadžbe istim brojem koji nije nula daje ekvivalentnu jednadžbu.

Na žalost, jedan snažan i dobar matematički koncept ekvivalencije, izgubio je bitku s nematematičkom procedurom „prebacivanja“ koji je postao svakodnevica u poučavanju rješavanja jednadžbi već u šestom razredu. Posljedice toga su dalekosežne:

• učenici ne razumiju što rade, bave se „prebacivanjem“
• nakon nekog vremena samo se prisjećaju postupka pa se „prebacivanje“ događa i kod jednadžbi oblika , također mijenjaju i predznake
• u srednjoj školi pri pojednostavljivanju ili preoblikovanju algebarskih izraza koristi se koncept ekvivalencije koji učenici nisu usvojili u osnovnoj školi iz jednostavnog razloga, nisu ga ni koristili, te ne mogu pratiti pojednostavljivanje niti preoblikovanje

Postupak prebacivanja je zapravo skraćeni put, manjkave ekvivalencije koji učenicima ne treba pokazivati. Izuzetak je ako neki učenik uoči i samostalno počne koristiti rezultate „prebacivanja“ , tada on to i razumije.

Dakle potrebno je samo zadržati put rješavanja ekvivalencijom. Neki će smatrati da on oduzima previše vremena, no bitnije je razumijevanje i pridržavanje matematičkih procedura. Jedino što će se dogoditi jest da učenik neće riješiti deset zadataka već osam što nije gubitak ako učenik radi s razumijevanjem. Za primjenu strategije „prebacivanjem“ ima vremena, kad se stekne određena matematička zrelost.

Primjer 9.

Slika 13. Prikaz postupka rješavanja jednadžbe ekvivalencijom

Primjer 10.

7. i 8. razred

Bavljenje jednadžbama u kontekstu rješavanja problema i zadataka riječima te postupcima, procedurama, za određivanje nepoznatih veličina nastavlja se i u 7. i 8. razredu.

Slika 14. Prikaz vertikale vezane uz rješavanje jednadžbe

Ishodi direktno vezani uz jednadžbe pripadaju domeni Algebra i funkcije ali se mogu i trebaju ostvarivati zajedno s ishodima u ostalim domenama: Brojevi, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.

Digitalni alati za rješavanje jednadžbi

Postoje dobri digitalni alati koje možemo koristiti za učenje i poučavanje rješavanje jednadžbi primjenjujući ekvivalenciju.

Danas su digitalna pomagala za rješavanje jednadžbi ono što je nekad bilo džepno računalo, na pravi način iskorišteno može biti velika pomoć u učenju i poučavanju.

OneNote

U OneNote aplikaciji možete zapisati linearnu jednadžbu korištenjem tipkovnice, dobiti rješenje te korake rješavanja primjenom ekvivalencije kako je prikazano u videu na poveznici https://youtu.be/nPl8hfNTnHc.

Graspable Math

Odlična aplikacija za učenje i poučavanje rješavanja, linearnih i inih, jednadžbi. Nalazi se na poveznici GM Canvas (graspablemath.com) . Zbog svojih mogućnosti odlična za snimanje videolekcija. Primjena ekvivalencije se odlično uklapa jer aplikacija ima mogućnost animacije procesa pojednostavljivanja jednadžbi.

Osnovni naputci o radu u Graspable Math dani su u videu na poveznici https://youtu.be/dp53QP3HpeU .

PhotoMath

Je aplikacija koju su osmislili i dalje unaprjeđuju hrvatski stručnjaci. Više o njoj možete saznati na navedenoj poveznici.

Photomath – alat koji matematiku čini jednostavnom – E-laboratorij (carnet.hr)

Zaključci

Ishodi vezani uz rješavanje linearnih jednadžbi ostvaruju se cijelu osnovnu školu i kroz godine učenja se usložnjavaju. No uspješnost u ostvarenju tih ishoda je manjkava s obzirom na duljinu učenja. Razloge tome treba tražiti u:

1. pristupu poučavanju, metodici

Ako razmotrimo najčešći pristup poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi, strategijom „prebacivanja“ nepoznanica i slobodnih koeficijenata, možemo naslutiti da učenici zapravo ne razumiju što rade stoga i brzo zaborave. Strategija „prebacivanja“ im je nametnuta, nisu ju sami otkrili stoga ju ubrzo krivo interpretiraju („prebacuju“ i ono što se ne može „prebaciti“, zaboravljaju promijeniti predznak …). Potrebno je što dulje primjenjivati rješavanje linearne jednadžbe zakonima ekvivalencije, a ako neki učenik uoči prečace, neka ih koristi, ali ne treba ih generalno primjenjivati na cijelu populaciju. Ne treba forsirati dugačke i kompliciranje jednadžbe, s više zagrada, već poučavanje usmjeriti na razumijevanje postupka te obaveznu provjeru ispravnosti rješenja.

U sedmom i osmom razredu nastavlja se ostvarivanje ishoda vezanih uz rješavanje jednadžbi u različitim kontekstima, a sve na principu ekvivalencije pri njihovu rješavanju.

2. učestalosti primjene koncepta jednadžbi kroz godine učenja

Trajnost znanja ovisi o razumijevanju onoga što se uči i o učestalosti primjene jednom naučenog. Znanja koja ne primjenjujemo vrlo brzo izgubimo. Glavni uzrok učeničkog neznanja ili gubitka znanja je neprimjenjivanje naučenih koncepata. Ako se jednadžbe uče i primjenjuju u samo jednom razredu na samo jednom konceptu ne možemo računati na trajnost znanja o njihovu rješavanju. Kako su jednadžbe zapisi problemskih situacija prirodno je da ih se koristi u različitim područjima, domenama, učenja: Brojevima, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci. U svakom od njih nailazimo na jednadžbe odnosno linearne jednadžbe. Zato ishod vezan u rješavanje jednadžbi treba stalno ispreplitati s ostalim ishodima. Na primjer pri planiranju ostvarenja ishoda vezanih uz geometriju prirodno je da primjenjujemo ishode iz domene Mjerenje, Algebra i funkcije i Brojevi.

Kako kurikulum propisuje ishode, a ne sadržaje vrlo je lako u svakom sadržaju pronaći mjesto za jednadžbe, za ostvarivanje ishoda vezanih uz jednadžbe, rješavanje problema ili zadataka riječima. Ishode je puno lakše kombinirati nego propisane sadržaje. Ishode možemo ostvarivati više puta kroz godinu učenja. Također sam kurikulum je osmišljen tako da se koncepti usložnjavaju kroz godine učenja. Takav primjer usložnjavanja je prikazan na Slici 14.

Primjer 11. Ishod vezan uz jednadžbe i rješavanje jednadžbi te njihovu primjenu za rješavanje problema ili zadataka riječima možemo vezati uz ishode:

• kojima se ostvaruje računanje u bilo kojem skupu brojeva
• određivanje mjerivih svojstava geometrijskih likova i tijela
• konstrukcije likova i skupova točaka zadanih pod nekim uvjetima koji zahtijevaju računanje nekih mjerivih svojstava

Primjer 12.

Primjer zadatka: Zadan je pravokutnik sa stranicama duljine i . Za koliko se promjeni površina pravokutnika ako mu jednu stranicu smanjimo za cm. Postavi jednadžbu i odgovori na pitanje. Konstruiraj oba pravokutnika.

Ispreplićući različite koncepte osigurat ćemo trajnost usvojenih ishoda i znanja te produbiti razumijevanje. Na taj način ćemo i podići razinu znanja učenika.

Refleksija

Za kraj je potrebno napraviti osvrt na vlastiti rad i poučavanje rješavanja jednadžbi. Pokušajmo odgovoriti na pitanja:

• Jeste li zadovoljni razinom uspješnosti vaših učenika u rješavanju jednadžbi?
• Kojom strategijom poučavate vaše učenike rješavati jednadžbe?
• Što biste mogli promijeniti u svom pristupu poučavanja?
• Smatrate li da je važnije da učenik zna riješiti jednadžbu (pošto danas postoje digitalni alati koji to mogu riješiti umjesto njih) ili postaviti jednadžbu proizašlu iz problema?
• Na koje probleme nailazite pri poučavanju učenika u rješavanju jednadžbi?
• Možete li sa sigurnošću reći da ste ostvarili ishod vezan uz rješavanje jednadžbi?

Izvori:
Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Primer eksperimentalnega pouka – študija primera

Nataša Meh Peer

Uvod

V šolskem letu 2017/18 sem poučevala slovenski jezik v izjemnem 4. letniku, kjer se dijaki izobražujejo v programu tehnik mehatronike. V razredu je bilo 26 dijakov, katerih sposobnosti in delovna vnema ter pozitivna klima razreda, so bile visoko nad ostalimi razredi.

Kurikul sem že v prvem letniku individualizirala in prilagodila dijakom glede na njihove sposobnosti in tako smo skozi leta postopoma, z različnimi sodobnimi metodami pristopali k učnim vsebinam.

Namen članka je skozi praktične izkušnje prikazati delo v razredu, kjer so dijaki z boljšimi sposobnostmi in predznanjem in predstaviti učiteljem, kako popestriti pouk in dijakom ponuditi boljšo učno izkušnjo, z novimi, izvirnimi učnimi metodami.

Šolski razred

Morda je prav, da najprej definiramo pojem šolski razred/razredna skupnost (govorimo razredu v srednji šoli) ni naključno oblikovan, saj so prav vsi mladostniki, ki so del razredne skupnosti del širšega zgodovinskega trenutka in dogajanja, prostora v katerem so se znašli …

Šolski razred je torej skupina mladostnikov iste starosti, z enakim/podobnim predznanjem, za katero veljajo enaki izobraževalni in vzgojni cilji.[1] Seveda ne smemo pozabiti, da ti mladostniki hodijo na isto šolo. Na šole pa lahko gledamo kot na organizacije[2] ali kot na skupnosti. V kolikor nam šole predstavljajo zgolj organizacije, potem govorimo predvsem o administrativnih vidikih, kadar pa jih razumemo kot skupine, kar počnemo v primeru ERŠ, potem opazujemo vrednote in zato pripisujemo globji pomen čustvom, pripadnosti, povezanosti, solidarnosti, sodelovanju … Ob tem je potrebno poudariti, da v sodobnem času stremimo k šolam − skupnostim, saj na tak način gojimo bolj podporne medosebne odnose, ki spodbujajo poštenje,[3] skrb za druge in osebno odgovornost.

Drugo, kar jih spet določa v točno določeno skupino je generacija, ki ji pripadajo. Ta generacija jim narekuje pravila oblačenja, besedišče ipd., vendar jih ne ločuje kulturno in etnično. Tretja determinanta, v katero razredno skupnost bo vključen mladostnik, je, kaj je v interesu njegove »klape«. Četrta determinanta pri določanju mladostnikov v razredno skupnost so njihovi poklicni interesi, zaradi katerih izberejo točno določeno šolo.

Skupina dijakov v razredu se je torej znašla skupaj, ker so bili tako razporejeni, kot tudi zato ker so se sami odločili in izbrali ravno ta izobraževalni program, in prav to šolo. Za njih je pomembno, kako bodo med sabo sodelovali in če sploh bodo, kako se bodo povezali v skupine in na podlagi česa bodo skupine oblikovali.

Torej, če izhajam pri svojem pouku iz sodobne reformirane šole, o kateri govorim, potem strnem glavna načela reformske pedagogike v naslednje točke:[4]

• otrok naj se razvija svobodno, naravno, nuditi mu je potrebno možnost za samoiniciativnost ter izražanje sebe
• otrokove interese je potrebno zadovoljiti, mu omogočiti direktne in indirektne stike z okoljem z uporabo izkušenjskega učenja
• učitelj naj usmerja otrokovo aktivnost, naj ga spodbuja k uporabi svojih čutil, naj otroka spodbuja k opazovanju in presojanju ter naj ga predvsem nauči, kako uporabiti različne vire znanja, kot so različne življenjske dejavnosti ter knjige
• učitelji morajo poznati otrokov psihični razvoj, da mu lahko prilagodijo vsebine in metode dela; pri ocenjevanju pa je ključen otrokov fizični, umski in moralni napredek
• velik poudarek je na telesni vzgoji ter higieni; v skladu s tem se zahteva tudi boljše materialne pogoje za delo: večje, bolj svetle in zračne prostore
• ključno je sodelovanje med šolo in domom z namenom, da učitelji in starši v sodelovanju delajo v dobrobit otroka
• šole naj preizkušajo nove pedagoške ideje.

Pomembno pa je, da se zavedamo, da je zelo pomemben faktor, kako bodo dijaki v razredu sodelovali in se povezovali, kakšna je bila njihova socializacija. Vendar otroci v svoji socializaciji niso pasivni opazovalci in izvrševalci pravil, ampak sami sooblikujejo svojo socializacijo. Pri tem je pomembno, da je socializacija interakcija z okolico, kamor uvrščamo starše. Za to tako imenovano primarno socializacijo so značilni osebni, intimni in pristni odnosi. Tukaj si otrok pridobiva prve vzorce, izkušnje vedenja in temeljna družbena pravila.

Sekundarna socializacija pomeni stik s sovrstniki, pri čemer posameznik spozna različne vrednote, norme in se lahko odločuje o njihovem sprejemanju. Za predstavljen članek je pomembna tako primarna kot sekundarna socializacija, saj kot pravi Ingold:[5] »Socializacija je interakcija z okolico in izkušnje posameznika skozi učni proces.« Saj so se v razredu o katerem teče beseda znašli mladostniki s podobno primarno socializacijo (podobne vrednote, delovne navade, učenje …). Nazadnje se v obdobju adolescence posameznik sreča še s terciarno socializacijo, ki je v resnici priprava na vloge, ki jih bo odigral skozi življenje.

Če izhajam iz psihologije, potem primarno razumem, da se določene kulturne informacije, predvsem o spretnostih prenašajo znotraj generacij (torej znotraj družinskega kroga) in to lahko razumemo kot socialno učenje. In razred, v katerem sem preizkusila drugačne poti do znanja, se lahko skoraj teoretično opredeli kot primeren za eksperimentiranje, kar bo prikazano v naslednjem poglavju.

Delo v razredu

Z dijaki sem pripravila 4 zanimive šolske ure, pri katerih smo združili kar nekaj vsebin in jih med sabo prepletli in povezali, da smo prišli do zaključnega, željenega učinka.

1. ŠOLSKA URA

Pri obravnavi zgodovine jezika, sem dijake glede na učno obliko razporedila po skupinah (po 4 ali 5),[6] kjer so s pomočjo učbenika in delovnega zvezka samostojno obravnavali snov. V učbeniku za 4. letnik so pri zgodovini jezika predvsem fotografije aktualnih besedil, knjig iz določenega obdobja zgodovine jezika in vprašanja, ki vodijo k razmišljanju. Dijakom sem dala nalogo, naj si ogledajo besedila, jih preberejo in razmislijo o njih ter odgovorijo na nekaj izbranih vprašanj, ki so pod vsakim besedilom v učbeniku.

V zaključku so imeli navodilo, naj se dobro pripravijo, na zagovor, zakaj menijo, da je ravno njihovo obdobje, avtorji, dela največ doprineslo k razvoju slovenskega jezika, saj bodo o svojih prepričanjih argumentirano govorili na okrogli mizi.

2. ŠOLSKA URA

Okrogla miza pa je bila izbrana besedilna vrsta, o kateri smo se poučili pri naslednji uri. Spoznali smo (nekaj osnov sem predstavila frontalno, sicer pa so delali v dvojicah) njene značilnosti, kako poteka, kdo jo vodi, katere so teme obravnave in za domačo zadolžitev so morali preveriti, katere okrogle mize obravnavajo na naši televiziji.

3. ŠOLSKA URA

Naslednjo učno uro smo obravnavali besedilno vrsto zapisnik (nekaj osnov sem spet predstavila frontalno, sicer pa so delali v dvojicah), kjer smo poudarili bistvo njegovega tridelnega oblikovanja in objektivnosti. Za domačo nalogo so morali zapisati zapisnik zadnje razredne ure.

Slika 1. Fotografija iz učbenika za 4. letnik

Tako smo v 3 urah spoznali vsaka skupina svoje poglavje iz zgodovine jezika, besedilni vrsti okrogla miza in zapisnik in čakala nas je še sama izvedba okrogle mize v razredu.

4. ŠOLSKA URA

Najprej smo pripravili razred, da smo se posedli okrog miz v krogu. Vsaka skupina je morala sodelovati v celoti (ne le predstavnik – ob vsakem novem vprašanju moderatorja je moral odgovoriti drug član skupine). Izbrali smo moderatorja, kateremu sem pripravila 3 ključna vprašanja:

1. Utemeljite, zakaj je ravno vaše obdobje zgodovine jezika najbolj zaslužno za razvoj slovenskega jezika.
2. Predlagajte in utemeljite, zakaj je ravno vaš predstavnik obdobja najbolj zaslužen za razvoj slovenskega jezika.
3. Glede na predstavljene in argumentirane predloge, se zedinimo, katero obdobje in predstavnik sta najbolj zaslužna za razvoj slovenskega jezika.

Razred smo preuredili v soočenje ob okrogli mizi in s pomočjo moderatorja vroče razpravljali. Ob tem je iz vsake skupine en dijak pisal zapisnik o dogajanju. Na koncu smo zapisnike primerjali.

Ugotovitve

S pomočjo teorije o tem, kdo so mladostniki, ki se naključno ali pa tudi ne, kot smo ugotovili znajdejo v razredu, kako vplivajo na medsebojne odnose, kako sodelujejo, sem pomagala odstreti tančico skrivnosti, zakaj je bila prav ta razred tako izjemen. Prav tako pa sem s pomočjo predstavljene teorije reformske pedagogike, tem reformam tudi sama poskušala vdahniti vsebino in jih preizkusiti v razredu. Prav tako pa je bila tudi teorija socializacije ključna pri tem, da imajo dijaki v tem razredu veliko skupnih točk. In glede na to, da ugotavljamo, da je frontalni pouk »pase« in se učitelji trudimo, da bi dijakom približali učno snov, jo popestrili, naredili zanimivo, moram zapisati, da nam je to v teh 4. urah odlično uspelo.

Razlogi pa so naslednji:

Dijaki imajo radi delo v skupinah, s čimer smo začeli prvo uro. Skupaj so raziskovali obdobje zgodovine slovenskega jezika, za katero sem jih zadolžila in si o njem ustvarili svojo sliko, saj so vedeli, da bodo na koncu morali argumentirati in predstaviti svoje obdobje.

Druga ura, ki je bila namenjena raziskovanju besedilne vrste okrogla miza, je bilo delo v dvojicah, ker med seboj radi sodelujejo, jim je bilo zelo zanimivo. Sveda sem jim osnovne zakonitosti pomagala poiskati.

Tretja ura, kjer smo se spoznali z besedilno vrsto zapisnik, smo spet spoznali skozi moj kratek vpogled in samostojno delo v dvojicah.

Četrta ura pa je bila spet izstop iz ustaljenega, že dekonstrukcija prostora je bila izziv. Dijaki so resno vzeli svoje argumentacije. Njihova lastna vloga v procesu učenja je bila pomembna. Za svoje argumente so se pripravili in trudili so se prepričati ostale, da imajo prav. Ob tem pa so spoznali še, kako nastaja zapisnik.

Takšna obravnava učne snovi zahteva inovativnost učitelja in veliko dodatne priprave za učitelja. Se pa izkaže za izjemno zanimivo učno izkušnjo, tako za dijake kot za učitelja samega. Kajti že sama dekonstrukcija običajnega učnega prostora za šolskimi klopmi v skupine in ob okroglo mizo je dodatna motivacija dijakom, da se potrudijo, ker se dogaja.

Literatura

1. Ingold, T. (2007): »The Social Child«, v: Fogel A., King, B., Shanker, S. ur., Human Development in the Twenty-First Century. A Dynamic Systems Approach to the Life Sciences, Cambridge University Press.
2. Mikek, K. (2015): Organizacijska kultura in klima v šoli, Doktorska disertacija. PEF v Ljubljani.
3. Ule, M.; Miheljak, V. (1995): Prihodnost mladine, Ljubljana, DZS.
4. Žlebnik, L. (1978): Obča zgodovina pedagogike, Ljubljana, DZS.

---

[1] Ule, 1988.
[2] Sergiovanni, Starratt. 1993. (v Mikek 2015.)
[3] Schaps, 2003. (v Mikek 2015)
[4] Žlebnik, 1978.
[5] Ingold, 2007.
[6] Delo v skupinah: cilji: aktivno sodelovanje, predstavitev lastnih izkušenj, ozaveščanje že znanih stvari in razvijanje sposobnosti samostojnega obravnavanja informacij in reševanja problemov. Skupine sestavljamo naključno, ker je pri novih skupinah v začetni fazi značilna izrazita potreba po stikih in spoznavanju drug drugega. Naključne skupine imajo to prednost, da izničijo že pridobljene vzorce dela v paru ali v skupini. Napoved teme oz. vsebinske delovne naloge pred oblikovanjem skupine ima določene prednosti. Če se najprej napove oblikovanje, se pozornost dijakov usmeri na to. Ko sestavimo skupine, razdelimo delo.

Methodensammlung – Lernen mit Bewegung

Mojca Pacek

Zahlreiche Untersuchungen beweisen, dass Schüler ausdauernder, gründlicher und begeisterter lernen, wenn sie ihren Körper mit allen seinen Sinnen dabei einsetzen können. 

Das auf diese Weise Gelernte bleibt auch besser im Gedächtnis. Wenn Schüler sich in Unterricht bewegen, tun sie nicht nur ihrem Körper Gutes, sondern auch ihren Lernleistungen. Wer sich bewegt, aktiviert die motorischen Zentren seines Gehirns.

Im Folgenden werden Methoden dargestellt, die beim Sprachunterricht als auch bei den anderen Schulfächern verwendet werden können. Die Methoden wirken besonders motivierend auf die Schüler.

Tabu-Spiel

Ziel: mit Wortkarten (und Bildkarten – auf der Rückseite steht die Lösung bzw. Übersetzung) Wortschatz erklären, lernen, wiederholen.
Ablauf: Paare finden, im Kreis neue Wörter mit der Erklärung wiederholen, nächste Stunde ein Quiz.
Differenzierung und Individualisierung: die stärkeren Schüler sagen die neuen Wörter, die schwächeren lernen von den stärkeren.

Satzpuzzle

Ziel: über die Satzstruktur nachdenken.
Aublauf: aus Wortkarten einen Satz bilden (auf dem Tisch, an der Tafel).
Diff. und Individ.: die schwächeren Schüler lernen von den stärkeren.

Selbstkorrektur – Lösung auf der Rückseite

Ziel: verschiedene Übungen machen.
Ablauf: In Paaren üben. Ein Schüler steht vor der Wand, hinter ihm an der Wand hängt ein Übungsblatt mit den Lösungen. In der Hand hat er ein Übungsblatt ohne Lösungen und übt. Der Schüler, der ihm gegenüber steht, korrigiert ihn mithilfe des Übungsblattes an der Wand.
Differ. und Individ.: der stärkere und der schwächere Schüler bilden ein Paar. Zuerst löst die Übung der stärkere Schüler.

Kugellager

Ziel: einen Text mehrmals wiederholen (z.B. sich vorstellen, Person/Wohnung/Familie/Hobby usw. beschreiben, über Tagesablauf erzählen).
Ablauf: Die Schüler stellen sich in einem Innen- und Außenkreis auf. Zuerst gibt der Innenkreis Informationen, der Außenkreis hört aufmerksam zu. Dann dreht sich einer der beiden Kreise weiter. Nun berichtet der Außenkreis dem Innenkreis. Dann wiederholt sich das Verfahren.

Knickblatt

Ziel: verschiedene Übungen lösen.
Ablauf: In Paaren üben. Papier knicken, an der linken Seite steht die Aufgabe, an der rechten Seite steht die Lösung.
Differ. und Individ.: der stärkere und der schwächere Schüler bilden ein Paar. Zuerst löst die Übung der stärkere Schüler. ODER: Differenzierte Übungsblätter.

Klassenspaziergang

Ziel: Wörter/bestimmte Informationen lernen, frei sprechen.
Ablauf: Man spaziert in der Klasse und zeigt den anderen Schülern die Karte. Auf der Karte ist die Aufgabe, auf der Rückseite ist die Lösung. Man fragt die Anderen und korrigiert sie.
Differ. und Individ.: auch die schwächeren Schüler können (durch die Lösung auf der Rückseite) die stärkeren Schüler korrigieren.

Gruppenpuzzle/Wirbelgruppe

Ziel: ein Thema bearbeiten (Text lesen und wichtige Informationen finden).
Ablauf: In einer Gruppe bearbeitet man ein Thema und als Expert geht man in neue Gruppe, die Verfassung stellt man den anderen vor.

Stummes Assoziogramm

Ziel: Assoziationen schreiben und die der anderen kommentieren.
Ablauf: Die Schüler teilen sich in mehrere Gruppen auf. Jede Gruppe bekommt ein Blatt mit dem Stichwort und schreibt Assoziationen und Kommentare dazu. Im Uhrzeigerkreis “reisen” die Blätter von einer Gruppe zur anderen Gruppe.
Individualisierung: Wenn man keine Assoziation hat, braucht man sie nicht schreiben.

Satzanfänge/Thesen

Ziel: Wortschatz/Inhalt wiederholen.
Ablauf: Lehrer sagt die Frage oder beginnt einen Satz, die Schüler schreiben ihre Antwort oder beenden den Satz.

z.B.: Mein Zimmer ist …

In der Freizeit …

Der bewegte Satz

Ziel: über die Satzstruktur nachdenken.
Ablauf: Jeder hat einen Teil (ein Wort) und positioniert sich so, dass man den korrekten Satz bildet.

Wechselspiele

Ziel: Wortschatz, Strukturen wiederholen (in Paaren üben)
Ablauf: einer fragt, der andere antwortet, oder einer beschreibt, der andere korrigiert … (Materiallien aus dem “Wechselspiele”)

Würfeln (mit Spielbrett)

Ziel: Wortschatz, Strukturen wiederholen.
Ablauf: Man spielt in der Gruppe (4 Spieler). Man würfelt und löst die Aufgabe. Wenn die Antwort nicht korrekt ist, geht man zurück auf Start. Wer zuerst ans Ende kommt, der gewinnt.
Differ. und Individ.: ein Korrekturblatt für die schwächeren Schüler.

Aspekte memorieren

Ziel: den Text lesen, wichtige Informationen finden, merken, diktieren und schreiben (in Paaren üben).
Ablauf: Man läuft zum Blatt, das an der Wand hängt, und liest den Text oder die Wörter 1 oder 2 Minuten. Dann läuft man zum Tisch und diktiert die Wörter oder die wichtigsten Informationen dem Partner.
Differ. und Individ.: der stärkere und der schwächere Schüler bilden ein Paar. Der stärkere Schüler merkt die Sätze, der schwächere schreibt.
ODER: Differenzierte Texte

Laufdiktat

Ziel: Sätze merken und schreiben (in Paaren).
Ablauf: Man läuft zum Blatt, das an der Wand hängt, und merkt sich die Sätze. Dann läuft man zum Tisch und diktiert die Sätze dem Parter (oder schreibt man die Sätze allein). Dann wiederholt sich das Verfahren.
Differ. und Individ.: der stärkere und der schwächere Schüler bilden ein Paar. Der stärkere Schüler merkt sich die Sätze, der schwächere schreibt.
ODER: Differenzierte Texte

Echo-Spiel

Ziel: zum Aufwärmen und Wiederholen (Dialoge – im Geschäft, im Restaurant, im Hotel, auf dem Bahnhof, Orientierung auf der Straße).

Ablauf: Die Schüler teilen sich in vier Gruppen, jede Gruppe geht in eine Ecke. Der Lehrer sagt einen Satz und die Gruppen wiederholen als Echo (zuerst die 1., dann die 2. usw.). So kann man Dialoge üben.

Stationenlernen

Ziel: die Übungen selbst auswählen und sie lösen.
Ablauf: einzelne Stationen werden aufgebaut, die dem Schüler selbstständiges Arbeiten ermöglichen.
Differ. und Individ.: Pflicht- und Wahlstationen. Jeder Schüler ist so intensiv tätig, wie er im Moment vermag.

Quellen:

1. Die Methoden. Am Deutschkurs im Goethe-Institut (Deutsch für Lehrer) in Franfkurt/Main von Andrea Westphal vorgestellt.
2. Besser lernen mit Bewegung, 5. 2. 2018

3. Lernen: Mit Bewegung geht’s leichter, 25. 2. 2018

Oblikovanje pojma število

Diana Dobovšek

Uvod

Otrok se v vsakodnevnem življenju že zelo zgodaj srečuje z matematiko in štetjem, saj ima pregled nad igračami, vsakdanjimi predmeti, oblačili, ki jih meri, primerja, prešteva, razvršča, jih poimenuje in se o njih pogovarja. Pojem število na začetku vedno povezuje z različnimi stvarmi, ki ga obkrožajo. Števila količinsko določajo reči, kot so teža, čas, starost, datum in otroci so nad njimi navdušeni. Že pred vstopom v šolo poznajo veliko besed s katerimi poimenujejo stvari, ki jih uporabljajo pri igri. S tem, ko se igrajo različne igre (na primer trgovino), na svoj način razvrščajo stvari v skupine in veliko otrok prinese v šolo zelo dobro podlago, na kateri kasneje gradijo pojem število. Kljub temu, pa otroka števil ne moremo naučiti, ampak jih mora doumeti, jih ob različnih dejavnostih popredmetiti.

Dojemanje pojma število

»Človeška družba uporablja števila, zato je nujno, da tudi otrok spozna pojem število. Vse kar obstaja in vse kar nas obdaja, ima neko značilnost, velikost, je merljivo in določeno z razsežnostma kraj in čas. Velikost se izraža z ustrezno mero in število je najpogosteje kvantitativna značilnost, ki jo poznamo.«

(M. Kavkler, 1990)

Čim nižje so intelektualne sposobnosti, tem več je težav pri dojemanju pojma število. Imajo jih tudi normalno inteligentni otroci, vzroki pa so različni (na primer pomanjkanje spodbud, diskalkulija …). Otroci z diskalkulijo imajo velike težave pri dojemanju pojma število. Težko preidejo s konkretnejše ravni dojemanja na abstraktnejšo. Ponavadi potrebujejo neko materialno oporo (preglednice, prste), poudarek pa mora biti na dejavnostih s predmeti. Pri uporabi predmetov je potrebno upoštevati postopnost. Sprva so najprimernejši predmeti iz narave (kamenčki, kocke, fižolčki, prsti …), nato preglednice, številčni trakovi in šele nazadnje abstraktni simboli – števila. Otroka števil ne moremo naučiti, ampak jih mora doumeti in jih ob različnih dejavnostih popredmetiti.

Za dejavnosti, pri katerih bodo otroci predmete razvrščali, je potrebno porabiti precej časa. Predmete lahko razvrščajo po neki lastnosti (barvi, velikosti, uporabnosti), po velikosti (od najmanjšega do največjega in obratno), v skupine z določenim številom elementov (tudi pri igrah: otrok vrže kocko s pikami in nastavi toliko predmetov, koliko pik je vrgel, ali tolikokrat poskoči, zaploska, steče okrog stola …).

Pomembne so tudi vaje, ki pripomorejo, da otrok dojame, zakaj se ohrani količina, kljub prostorskim in drugim spremembam.

Primeri:

1. Otrok nastavlja določeno število elementov (na primer tri krožce) v mrežo, a pri tem išče vedno drugačne možnosti za razvrščanje:

2. Otroci nastavljajo enako količino različno velikih predmetov in ugotavljajo enakost:

3. S primerjavo dveh skupin elementov (na primer stolpičev kock) in z ugotavljanjem količinskih razlik, odvzemanjem ali dopolnjevanjem zaradi izenačevanja skupin, utrjujemo pojmovanje in razlikovanje dela od celote.

Otrok ugotovi, v katerem stolpu je več kock. Potem lahko z dodajanjem ali odvzemanjem kock stolpa izenači.

Količine najlažje ponazorimo v manjšem številskem obsegu, saj lahko uporabimo različne predmete iz okolja, na primer igrače, kocke in podobno. Pomembno je, da otrok uporablja čim več različnih predmetov ( M. Kavkler, 1990).

Na katerih mestih ima otrok pri šolski matematiki težave: 

Na prehodu od konkretnega k formalnemu matematičnemu jeziku.

Otrok v vsakdanjem življenju uporablja števila v nekem smiselnem kontekstu, tako da z njimi poimenuje npr. ulice, avtobuse, stanovanja … Pozna jih tudi v izštevankah, pesmicah, ko šteje stopnice, ali pa ko pri oblačenju šteje oblačila. Zna že tudi razlikovati količino predmetov (npr. 6 bonbonov ≠ 9 čokolad). Prvi miselni preskok, ki ga mora otrok narediti v šoli, je prevod formalnega matematičnega jezika k vsakdanji rabi jezika. Npr. otrok mora razumeti povezavo med vprašanjem »Koliko je tri plus sedem?« in »Imaš dva piškota in šest koles. Koliko je vseh skupaj?« Še vedno pa lahko otrok ne dojame povezave med vprašanji in sklepa na različne odgovore. V tem primeru Manfredova (1999) svetuje, da otrok čim več vadi in abstraktnim vprašanjem pripisujemo velik pomen. Najlažje to naredimo s prstki na otrokovih rokah – so konkretni in vedno so skupaj z otrokom. Ko si otrok že samostojno pri računanju pomaga s prstki, to pomeni že prvi korak k premostitvi razhajanja nevsebinskih od vsebinskih vprašanj (Manfreda, str. 137).

Prehod od konkretnega k simbolnemu.

Otroku je potrebno pri uvajanju matematičnih simbolov pokazati smiselnost tega početja. Manfredova (1999) navaja primer dveh dejavnosti, kako bi otrokom približali matematično simboliko:

• Otrokom pokažemo 4 enake škatle in pred njimi vanje spustimo nič, eno, dve in tri kocke. Nato škatle premešamo in vprašamo v kateri škatli se nahajata dve kocki. Namen te dejavnosti je, da otrok spozna, da zgolj z ugibanjem ne moremo natančno napovedati prave rešitve. Tudi možnost odpiranja škatel obstaja, vendar se želimo temu izogniti. Tako lahko otrokom sami predlagamo, da se spomnijo načina kako bi lahko prepoznavali škatle, lahko pa že kar takoj uvedemo magične številke, s katerimi si bomo olajšali prepoznavanje škatel.
• Otrokom pokažemo npr. 3 škatle v katerih so ena, dve in tri kocke. Škatle tudi ustrezno oštevilčimo. Otrokom povemo zgodbico o škratih, ki domujejo vsak v eni škatli. Ponoči, ko jih noben ne vidi nekaj počnejo s škatlami. Otroke prosimo naj zamižijo in takrat iz prve škatle odvzamemo eno kocko, drugo škatlo pustimo nedotaknjeno in iz tretji škatli dodamo še eno kocko. Škatlam lahko spremenimo že takoj številke, tako da dodamo listek s +1 in z -1, lahko pa tudi nato skupaj z otroki ustrezno označimo škatle.

Otroci se morajo naučiti šteti, vendar je pogosto težko oceniti njihovo napredovanje. Npr. veliko otrok zna šteti do dvajset, pa niti ne vedo kaj počnejo oz. kaj to pomeni v praksi. Za njih je to samo še ena pesmica. Zato je pomembno, da medtem ko otrok šteje, tudi fizično prelaga npr. kocke, da si, ko reče 10, to tudi vizualno predstavlja. Čez čas se bodo otroci že sami naučili grupirano šteti (Marttens, 1987).

Različne dejavnosti

Merttens (1987) predlaga naslednje dejavnosti:

Liha in soda števila

Otroci postavljajo kocke v dve vrsti hkrati in jih štejejo in opazujejo kakšne oblike nastajajo. Ko nastane izboklina in kocka nima para, pobarvajo – liho število, ko pa imajo vse kocke svoj par – sodo število.

Sestavljanje kvadratov

Otroci sestavljajo kocke v kvadrate. Na začetku lahko sestavljajo odprte kvadrate, nato pa še zaprte, tako da dodajo enako število vrst. Zapisujejo si število kock v kvadratih in koliko kock omejuje kvadrat. Tako spoznajo števila, ki nastanejo pri tvorjenju kvadratov.

Sestavljanje trikotnikov

Otroci na podoben način, kot so že sestavljali kvadrate, sestavljajo trikotniške oblike s pomočjo žogic. Tako spoznajo števila, ki so značilna pri tvorjenju trikotnikov.

• Lahko pa jih tudi prosimo, da iz kock tvorijo pravokotne trikotniške oblike (število kock mora biti enako številu žogic).

– Spodbudimo jih, da dobljene oblike med seboj sestavljajo v kvadrate. Kmalu bodo ugotovili, da so ponovno dobili števila, ki so značilna pri tvorjenju kvadratov.

Opazovanje kvadatov

Za otroke je tudi zanimivo, da opazujejo razlike med potrebnimi kockami za izgradnjo kvadrata. Najlažje to naredijo tako, da ga oblikujejo v L-oblikah. Ena L-oblika je enake barve. Prav hitro bodo ugotovili, da je L-oblika sestavljena iz lihega števila, če pa jih med seboj seštejejo pa dobijo sodo število.

Poslušajmo števila

Pomembno je, da otrok poleg vidnega in tipnega čutila, pri osvajanju pojma število, uporablja vsa čutila tudi sluh, saj si le tako lažje vtisne v spomin.

Zamislila sem si delovni list z navodilom: POZORNO POSLUŠAJ IN PREŠTEJ RAZLIČNE GLASOVE. NARIŠI TOLIKO PIK ALI ČRTIC, KOLIKOR GLASOV SI SLIŠAL/A. LAHKO ZAPIŠEŠ TUDI S ŠTEVILOM.

Po Bessingerjevi (2005) so primerni tudi naslednji primeri:

Gosenica mica

Učni cilj: Razvrščanje števil.

V igri lahko sodelujejo trije otroci. Kose gosenice položijo tako, da je stran s pikami obrnjena navzgor. Prvi igralec v skupini vrže kocko s pikami in na glas prešteje koliko pik vidi. Če ne dobi »1«, kocko meče drugi otrok in nato naslednji, dokler nekdo ne vrže »1«. Ta otrok nato poišče kos z eno piko in prične zlagati sestavljanko. Z igrico nadaljujejo, dokler ni pravilno zloženih vseh šest kosov. Otroci, ki ne mečejo kocke, naj preverjajo, ali je tisti, ki je vrgel kocko, izbral pravi kos sestavljanke. Učenci sestavljanko nato razdrejo, jo obrnejo na drugo stran in mečejo kocko s številkami, tako da med igrico prepoznavajo številke Pri tej dejavnosti otroci sami popravljajo svoje napake, saj je kose mogoče sestaviti le na en način.

Domine s števili

Učni cilj: Samostojno branje različnih znanih besed in števil.

Igra poteka tako:

V igri lahko sodelujejo največ štirje igralci. Vsak dobi 7 kartic. Tisti, ki dobi kartico s praznimi polji jo položi na sredino. Prvi igralec pogleda, če ima ustrezno kartico; če jo ima jo položi tako, da se prazni mesti ujemata. Vsakič, ko igralec položi novo kartico na mizo, mora povedati kateri dve številki sta na njej. Če igralec nima ustrezne kartice, ne igra. Na vrsti je naslednji igralec. Igra se nadaljuje toliko časa, dokler niso vse kartice pravilno položene.

Ribolov

Učni cilj: Otrok preko igre prepoznava količine in števila od 1 do 10 in jih razvršča v pravilnem vrstnem redu.

Igralec z ribiško palico v morju lovi ribice. Ko eno ulovi, na njej prešteje pikice in ribico nato priredi ustreznemu kartončku na številčni vrsti. Igra je primerna za utrjevanje števil, hkrati pa si otrok tudi razvija motorične sposobnosti.

Potka iz številk

Učni cilj: Natančno sledenje določeni poti. Oblikovanje predstav o odnosu med števili.

V igri lahko sodelujejo štirje igralci. Otroci s figurico prehodijo potko od številke ena do številke deset in pri tem izgovarjajo številko, na kateri so. Ko se te potke številk navadi, naj skoči na številko, ki mu jo določi nekdo drug, bodisi nazaj ali naprej. Na ta način bodo otroci dobili jasno predstavo o odnosu med števili. Različica te igre je lahko tudi, da številke napišemo na večje kose kartona, vsako na svojega in jih položimo na tla. Namesto figuric se po potki sprehajajo otroci sami.

Sestavljanke s števili

Učni cilj: Prepoznavanje številk, besed in vsot od 1 do 10.

Pri igri lahko sodelujeta dva otroka, ki dele kartončkov pomešata in razvrstita na mizo s pravo stranjo navzgor. En otrok izbere kartonček in naglas prešteje število slikic na njem, drugi pa poišče ustrezno polovico s pravilno številko in besedo, nato pa naj se zamenjata. Sestavljanke je mogoče sestaviti samo na en način in otroka bosta vedela, ali sta izbrala pravilen kos ali ne. Ko so vse sestavljanke dokončane, jih razvrstijo po pravilnem vrstnem redu.

Razvrščanje igrač

Učni cilj: Razumevanje odnosa med števili in dejanskimi količinami.

V igri lahko sodeluje deset igralcev. Vsak od desetih igralcev dobi eno od škatel, označenih s številkami od 1 do 5. Nato poiščejo toliko igrač in jih dajo v škatlo, da bo številka na škatli ustrezala številu igrač v škatli. Ko to naredijo pa morajo poiskati v skupini otroka, ki ima v škatli enako število igrač.

Zaključek

Na začetku so številke za vsakega otroka abstrakten pojem, kljub temu da se jih začnejo zavedati in uporabljati že zelo zgodaj. Kot sem že v uvodu zapisala, otroka števil ne moremo naučiti, ampak jih mora doumeti skozi različne dejavnosti. Mnogi otroci, pa tudi nekateri odrasli, ki imajo slabe izkušnje z matematiko, se izogibajo vsemu, kar je povezano s števili. Otrokom moramo števila predstaviti na tak način, da se zavejo, da je »igranje« s števili lahko zabavno in da najdejo smiselnost v matematiki. Pri tem pa nam vsekakor zelo pomagajo dejavnosti, ki pa jih moramo natančno, smotrno izbrati. Tako bodo otroci pridobili veselje do uporabe številk, obenem pa bodo tudi razumeli, kaj števila predstavljajo. Če in ko bomo otrokom predstavili števila na tak način, potem ni bojazni pred matematičnim neuspehom v šoli.

Literatura

1. Bessinger, L. (2005) Dejavnosti s števili. Radovljica: Didakta.
2. Ferbar, J. (1990) Štetje. Novo mesto: Pedagoška obzorja.
3. Kavkler, M. (1990) Pomoč otoku pri matematiki. Ljubljana: Svetovalni center za otroke, mladostnike in starše.
4. Manfreda, V. (1999) O težavah otrok pri pridobivanju pojma število ter razumevanju seštevanja in odštevanja, Matematika v šoli 7, str. 135–146.
5. Merttens, R. (1987) Teaching Primary Maths. London: Hodder & Stoughton.
6. Williams, E. in Shuard, H. (1986) Primary Mathematics Today. London: Longman.

Hrvatske nastavnice u učionici budućnosti u Briselu

Daniela Usmiani

Pet dana (9. -13.10.2017.) nastavnice Daniela Usmiani iz Srednje škole Bedekovčina i Dubravka Granulić iz OŠ Budaševo – Topolovac – Gušće ​provele su u okviru eTwinning mobilnosti Agencije za mobilnost i programe EU u Briselu. Učestvovale su na seminaru Future Classroom Lab organiziranom od strane Europian Scoolnet-a, organizacije koja povezuju mrežu Ministarstava obrazovanja u zemljama Europe i glavna joj je zadaća promicanje inovativnih metoda u obrazovanju.

Tijekom tečaja nastavnici osvještavaju važnost programiranja i računalnog razmišljanja u današnjem društvu i obrazovanju.

Seminar je organiziran od strane European Schoolnet organizacije koja povezuje 31 europsko ministarstvo obrazovanje čiji je cilj donositi inovacije u poučavanje ključnim nositeljima obrazovanja: školama, nastavnicima, ministarstvima, istraživačima.

Tijekom Future Classroom Lab  seminara upoznali smo se s nizom IT alata: Kodu, Scratch, App Inventor, PocketCode,Minecraft, Twine. Imali smo prilike testirati osnovne naredbe i kreirati jednostavnije aplikacije.

Najbučnije je bilo na radionici Lego Mindstroms&WeDo gdje smo radeći u timovima programirali robota da hoda unaprijed utvrđenom stazom.

Zadnji dan imali smo prilike pokazati svoje znanje u Heckathonu – opet smo radeći timski kreirali vlastitu aplikaciju koristeći neki od naučenih alata. 

Vrlo interesantno i korisno bilo je predavanje o kvaliteti eTwinning projekata, gdje smo učili metode kako unaprijediti i učiniti kvalitetnijim sam projekt.

Najvrijednija je od svega bila mogućnost komuniciranja s kolegama iz drugim zemalja, razmjena iskustava i zajednički rad te se nadam da će iz tog druženja izniknuti novi,kvalitetni eTwinning projekti.

Našlo se i  malo vremena za obilazak Brisela, njegovog velebnog trga Grand Place-a  okruženog impozantnim građevinama. Otišle smo i pogledati jedan od simbola grada – fontanu Manneken Pis – dječaka koji piški i za kojeg se čak i šiju odijela. Vidjele smo i opipale brončanu statuu Everarda ’t Serclaesa, koji se opirao okupaciji Flamanaca (1388.), i koji je ubijen upravo na trgu. Vjeruje se da dodirivanje njegovih nogu i ruku donosi sreću.

Uspjele smo na kratko razgledati  interaktivni muzej Parlamentarijum u kojem je na dinamičan i interaktivan način prikazana povijest Europe.

Također, uspjele smo razgledati svjetski poznat Atomijum, 103 m visoko struktura izgrađena sa Svjetsku izložbu 1958. Godine koja je danas najveća atrakcija Brisela, kao i prošetati se Mini Europom gdje se može vidjeti preko 350 europskih znamenitosti umanjenih  25 puta, otvorenog 1989. godine.

Brzo je proteklo 5 dana u dinamičnom okruženju s puno rada i učenja i svakako preporučujemo svim nastavnicima seminar, kao i eTwinning mobilnosti kao mogućnost kao mogućnost kvalitetnog stručnog usavršavanja.