Mathematics is a game


Tina Kovačič


In this article, I explored child’s mathematical thinking. I presented the development of this kind of thinking and the child’s play. Mathematical literacy is a part of a child since his birth. He slowly realizes that there are many things that can be counted or arranged by property. The child is in the prenumerical phase at that point. He likes to handle specific objects and discovers the world through them. He helps himself with graphic representations and also uses symbols. Around at the age of five the child already counts. All this happens in a mathematically stimulating environment prepared by the teacher in the kindergarten. She carefully equips the corners with interesting toys and places math in spontaneous or guided activities through the day. At the same time, she never forgets the child’s developmental stage, his abilities and, last but not least,his desires.

Key words: preschool child, mathematics, prenumerical period, development of counting.


The baby is like na unlisted sheet of paper at birth. He can develop his skills in a sufficiently stimulating environment. We adults are the ones who can strongly influence what the child will develop with appropriate stimulations. The stimulus isn’t necessarily the best toy or didactic aid, it is enough that the activity is adjusted in such a way to stimulate constructive thought processes in the child. Therefore, I can firmly say that the environment plays a very big role in a child’s learning. However, an important factor – heredity – cannot be ignored. ”What a child brings into the world” is the steel foundation on which a child builds his knowledge and develops his abilities. Mathematical abilities are classified as cognitive abilities which a child in the kindergarten will actively acquire through play and use them on a daily basis in school, and they will condition the child’s learning success. Therefore, it’s very important to pay attention to the development of mathematical thinking and problem solving in preschool.

Mathematical thinking in preschool and tools to encourage its development

Several different experts have studied the development of mathematical thinking in a child over the years. Piaget claims that a child trains this kind of thinking only through active handling of objects, that is, through research. He says we need to allow the child’s thinking to develop spontaneously and we have to wait. Bruner says it isn’t necessary to wait for the child ‘s readiness, but we can influence his development earlier and thus accelerate it. Vygotsky claims that teaching a child should be a step ahead of his stage of development. So, the child’s mathematical tasks shouldn’t be too easy and yet not too difficult, but in the area of his development (Lipovec and Antolin Drešar, 2019).

Mathematical contents in kindergarten are involved in planned and spontaneous activities. We first introduce them in activities based on a specific level, such as sorting cubes, differentation by size, observing shapes in place, playing shop…We increase the level of learning mathematics to a pictorial level, where we use various pictures, drawings, signs…Before entering school, we can already use symbolic level of learning. When there is a graphic representation of a certain number, for example, two drawn strawberries, we give the child a symbol of number 2 (Bohinc, 2014).

The child goes first through the prenumerical period phase. He observes, sorts and edits. He must acquire numerical concepts realted to quantity, develop relationships between the concepts of numbers and place mathematical thinking in different aspects Slika1of everyday life (Lipovec and Antolin Drešar, 2019). The forerunner of counting is therefore the perception of mathematics and numbers in specific situations. The child doesn’t count yet, but he perceives syllabels in the word, ticking the clock, notices that many things can be counted, such as, days of the week, months, fingers… (Ferbar, 1990).
Picture 1. Classifying by size

The child arranges and sorts very early. He first arranges the scattered things in the bin, later he sorts them according to a certain property. Therefore, the child urgently needs a crefully designed place that draws him to this type of activity. There have to be pots, boxes, shelves, drawers available…Such an environment is much more transparent Slika2and motivating for the child. The child can upgrade his knowledge of sorting and arranging through graphic representations (Kroflič idr, 2001).

Picture 2: Recording the presence of the children (the child is in kindergrten/ the child isn’t in kindergarten)

Slika3One of the interesting areas of mathematics is also geometry. There are many objects in the playroom, that remnid us of bodies and figures, such as clock on the wall, a calendar, cubes, different shapes of tables (Kroflič idr, 2001).

Picture 3. Sorting figures

Slika4The child needs the name of an individual group of objects, only then he will be able to compare and classify them. The activities of specific handling of objects can be taken to an even higher level and thus define their position (Kroflič idr, 2001).

Picture 4. Arranging coloured balls into sequences

The child doesn’t learn words to describe situations spontaneously, he needs someone to be his role model. When a child is looking for a certain toy, let’s not just say ”it’s there”. Let’s define its position with ”left of the table”, ”next to the table”, ”at the table”…The child learns to perceive perspective and orientation in space. When learning to measure, we offer the toddler various substances, such as sand, water, plasticine, salt dough…In this way, he will find out that all these things can be measured and also counted (Kroflič idr, 2001).

Different experts have researched how the concept of couSlika5nting develops in a child. When the child counts things, he first uses his fingers, because they are always available. They also count objects by touching them (Manfreda Kolar, 2006).

Picture 5: Placemats in handbags marked with figures (eg: square – square table)

Only when the following four principles are fullfilled in a child, we can say that the process of correct counting has been established. This happens to a child at the age of five.

  • When counting, the toddler doesn’t omit any numbers. The child is aware if this principle before the age of 3.
  • The child always counts in the same order. 3Slika6-years-olds also have this ability.
  • The child realizes that the number he pronounces is a property of the set.
  • He is aware that the sequence of counted elements doesn’t change the final number of the set. The child becomes aware of the latter principle at about the age of five (Ferbar, 1990).

Picture 6. Counting autumn leaves


If we want to offer a child the best we can, we must first understand his development, his needs, identify strengths and weakness and build on them. Kindergarten education is child-centered education. It is necessary first to established a genuine personal contact with the toddler and gain his trust. Only then he wil be ready for work. He needs to be motivated through the game to think mathematically. A well-designed environment – a playroom that offers a variety of game options,is very important in promoting mathematical thinking. There must be different construction toys, puzzles, picture dominoes, board games…Personally, I have got a lot of ideas for making my own mathematical aids using various sources. However, learning and playing doesn’t end in the playroom. It’s also necessary to explore the outer world with the child. It offers us endless ideas for connecting mathematical content with the environment. Together with the child we can count cars, observe colours in nature, connect traffic signs with figures, determine the symmetry of butterfly wings, pay attention to the sequences of days of the week and months of the year… We can prepare the child for tomorrow. We give him interesting games he is experiencing today and connecting with the memories he got yesterday.


  1. Bohinc, A. (2014). Matematično znanje predšolskih otrok pred vstopom v šolo. Diplomsko delo, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.
  2. Ferbar, Janez. (1990). Štetje. Novo mesto: Pedagoška obzorja.
  3. Lipovec, A., in Antolin Drešar, D. (2019) Matematika v predšolskem obdobju. Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
  4. Kroflič, R., Marjanovič Umek, L., Videmšek, M., Kovač, M., Kranjc, S., Saksida, I., idr. (2001). Otrok v vrtcu: Priročnik h kurikulu za vrtce. Ljubljana: Obzorja.
  5. Manfreda Kolar, V. (2006). Razvoj pojma število pri predšolskem otroku. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.


Zašto upotrebljavati prirodna sredstva za čišćenje?

Igor Pangrčič


Projekt ATS STEM jest međunarodni projekt koji smo provodili dvije školske godine s učenicima 6. i 8. razreda u Osnovnoj školi Frana Metelka Škocjan. Cilj projekta bio je doznati kako formativno razvijati poprečne vještine učenika s pomoću informacijske i komunikacijske tehnologije. Svrha projekta jest istražiti mogućnosti formativnog praćenja / vrednovanja transverzalnih vještina ili STEM kompetencija digitalnim alatima u području znanosti, tehnologije i matematike. STEM – znanost, tehnologija, inženjerstvo, matematika – engleska je kratica koja u našem slučaju znači osnovnoškolska interdisciplinarna povezanost prirodoslovnih predmeta. Možete pristupiti krovnoj mrežnoj stranici projekta ATS STEM na

Ključne riječi: STEM, znanost, tehnologija, inženjering, matematika, formativno praćenje.

slika1Slika 1. Prezentacija projekta.
U jednoj od aktivnosti u trajanju od pet školskih sati učenici su utvrdili koju je vrstu sredstva za čišćenje bolje upotrebljavati: prirodno ili umjetno. Učenike smo osvijestili da sa svakom bočicom kemikalija koju ne kupe vode brigu o svojem zdravlju i zdravlju svojih vršnjaka jer im te tvari mogu biti posebno štetne. Suvremeni domovi puni su otrovnih proizvoda koji zagađuju okoliš, iako bi nam trebali olakšati svakodnevni život. U SAD-u, na primjer, svaka treća osoba pati od alergija, astme, bronhitisa… Ti se problemi također mogu spriječiti smanjenjem količine sintetičkih kemikalija u kućnom okružju. Deterdženti mogu sadržavati mnoge opasne kemikalije koje se obično uopće ne spominju na naljepnicama. Kako štitite svoju obitelj od štetnih učinaka? Jedan od najjednostavnijih načina jest prestati upotrebljavati sredstva za čišćenje koja se kupuju u trgovini i početi stvarati vlastita. Većina sastojaka za sredstva za čišćenje doma nalazi se u kuhinji.

slika2Na slici je popis svakodnevnih ekoloških sastojaka koji se mogu upotrebljavati sami ili u kombinaciji.
Slika 2. Ekološki prihvatljivi sastojci

Prije nego što počnemo pripremati prirodna sredstva za čišćenje, moramo pripremiti kvalitetne boce ili boce s raspršivačem koje se mogu rabiti više puta. Mora se paziti da svi domaći pripravci budu dobro označeni kako se ne bi međusobno miješali. Sva sredstva za čišćenje (napravljena kod kuće ili kupljena) i sastojci za čišćenje trebaju se čuvati na sigurnom, od djece i kućnih ljubimcima, po mogućnosti u zaključanim ormarićima ili visoko na polici. Rezultati domaćih mješavina mogu biti različiti pa se ne može jamčiti 100 % sigurnost i učinkovitost. Prije uporabe svako se sredstvo za čišćenje mora ispitati na maloj površini. Uvijek treba biti oprezan pri uporabi novih proizvoda.

Na tehničkom danu sudjelovala su tri učitelja, učiteljica biologije, učiteljica kemije i ja kao matematičar i informatičar. Moj je zadatak bio upoznati studente s procesom izračunavanja količina koje su nam potrebne za pripremu univerzalnog sredstva za čišćenje. Sa studentima smo prvo ponovili pretvorbu jedinica, a zatim sam učenicima objasnio proporcionalnost između slika3dviju veličina, koja im je pomogla da ponovno izračunaju količine koje je trebalo izračunati. Pitanje koje smo postavili bilo je koliko će octa i sode biti upotrijebljeno za 0,5 l otopine.

Slika 3. Kalkulacija za 0,5 l otopine

Učenici su poslije u skupinama ponovno izračunali što se više isplati te su izrslika4adili prezentacije u PowerPointu u koje su uključili podatke koje su neovisno pronašli na internetu. Doneseni su sljedeći zaključci:

Slika 4. Cjenik sastojaka za univerzalno sredstvo za čišćenje

Učenici su morali usporediti performanse prirodnog sredstva za čišćenje s slika5kupljenim sredstvom za čišćenje Stelex. Bili su podijeljeni u četiri skupine, a svaka skupina dobila je svoje područje za čišćenje. Svaka je skupina očistila svoju površinu.

Slika 5. Različite površine za čišćenje

Rezultati su sažeti u tablici:

slika6Slika 6. Rezultati


Učenici rado sudjeluju u danima aktivnosti i drugim aktivnostima vezanim za projekt ATS STEM, gdje svojom suradnjom, inovativnošću i kreativnošću te kritičkim idejama, fleksibilnošću, funkcionalnošću i marljivošću pridonose poboljšanju životnih uvjeta i održivom razvoju. Pritom učenici postaju svjesni da je njihova uloga u tome vrlo važna jer je prenose u kućno okružje među prijatelje, rodbinu, susjede i vršnjake. S projektima u kojima stavljamo učenika u prvi plan i njegove aspekte rješavanja problema nastavit ćemo u našoj školi i u budućnosti te pokušati pobuditi interes za prirodoslovne predmete.


Podučavanje poligona

u danu aktivnosti


Alenka Maksimović


Kurikulum matematike je vrlo opsežan u Sloveniji. Ako želimo obraditi cijelo gradivo, moramo jako žuriti, zato je vrlo korisno ako se barem dio gradiva može obraditi u okviru dana aktivnosti. Zato u našoj školi, Osnovnoj školi Simona Jenka Kranja, obrađujemo poligone u sklopu tehničkog dana.

Ključne riječi: poligoni, matematika, tehnički dan.


Poligoni (četverokuti, šesterokuti, šesterokuti…) prisutni su svugdje u prirodi. Kod matematike se s njima u Sloveniji susrećemo u 8. razredu. Materijal za učenje poligona može se obraditi na kraju, sredinom ili na početku školske godine, jer se ovaj skup ne odnosi mnogo na ostatak gradiva 8. razreda. Za poučavanje poligona možemo provesti 12 ili samo 5 sati, ovisno koliko vremena imamo na raspolaganju. U 8. razredu kurikulum matematike je preopširan. Rasprava o materijalu za učenje poligona u okviru dana aktivnosti vrlo je dobrodošla.

Dan aktivnosti »Poligoni« održan je u našoj školi prvi put u školskoj godini 2019./2020. Tako smo u jednom danu, odnosno u pet školskih sati, obradili skup poligona. Budući da su učenici lijepo surađivali i jer na ovaj način možemo lakše obraditi cjelokupno gradivo kurikuluma, odlučili smo nastaviti s provedbom. Prošle, pretprošle i ove školske godine dan aktivnosti. Poligoni održan je u školi uživo, no mogao se provesti i na daljinu.

1. Priprema na dan aktivnosti

Kao organizatorica dana aktivnosti poligona prvo sam pripremila plan za taj dan, odnosno ono što trebamo naučiti djecu na današnji dan, u pet školskih sati. Tako sam dao prednost onome što je važnije, a što manje u ovom skupu. Sadržaj sam podijelio u 5 dijelova, odnosno 5 školskih sati:

  • Poligon (što je poligon)
  • Dijagonale poligona
  • Kutovi poligona
  • Pravilni poligon
  • Opseg i površina poligona

BSlika1udući da sam htjela da ovaj dan izgleda malo drugačije kako učenici ne bi imali osjećaj da je samo 5 sati matematike, prvo sam pripremila što ljepše radne listove za ovaj dan.

Slika 1. Radni listovi

Radni listovi nalaze se na osam stranica. Listove sam učenicima ispisala i spojila prije početka. To je ujedno i jedini materijal koji učenicima treba na taj dan. U školu trebaju ponijeti samo papuče, geotrokut, šestar, olovke i mapu ili fascikl, gdje na kraju ubacuju radne listove.

Trebalo mi je puno vremena za izradu radnih listova. No, time nisu završene pripreme za taj dan. Također je bilo potrebno napraviti plan, dogovoriti se s kolegama što će svatko naučiti. Budući da smo jako velika osnovna Slika2škola, nije bilo problema s kadrovima.

Prve godine podijelila sam učenike u 7 grupa, pa mi je trebalo 7 učitelja matematike.

Slika 2. Plan provedbe dana aktivnosti u školskoj godini 2019/2020.

Druge godine proveli smo tehnički dan u dva dana, prvi dan za 6 grupa učenika i drugi dan za preostale 4 grupe učenika.

Slika3Slika 3. Plan provedbe dana aktivnosti u školskoj 2020/2021.

Slika4Ove godine, međutim, naša škola ima manje osmaša, pa smo imali 5 skupina osmaša i tako je 5 učitelja matematike bilo dovoljno.

Slika 4. Plan provedbe dana aktivnosti u školskoj godini 2021/2022.

2. Izvedba dana aktivnosti

Za provedbu dana aktivnosti, u našem slučaju tehničkog dana, potrebno nam je barem onoliko učitelja koliko ima grupa učenika.

Budući da redoslijed nastave ne mora biti ujednačen, moguće je provesti dan na način da svaki učitelj ima svoju temu i objasni gradivo jednoj skupini učenika ujutro, a drugoj skupini učenika u kraj dana. Vidi sliku 4, kada sam započela temu Opseg i površina poligona u skupini Č 1. sata, a završila s 5. satom u skupini D. Tog dana, dan aktivnosti proveden je uz pomoć 5 učitelja matematike, svaki sa svojom temom i prezentirajući ovu temu na svih 5 sati nastave, svaki sat drugoj skuSlika5pini učenika.

Svaki se učitelj priprema za svoju lekciju. Tijekom sata objašnjava gradivo zadane lekcije i pomaže učenicima u rješavanju nastavnog lista. Učitelji su izradili prezentacije u tu svrhu, ili su neke prikladne prezentacije već dostupne na internetu. Sve sam prezentacije korištene tog dana objavila u internetskoj tj. mrežnoj učionici kako bi ih učenici imali na raspolaganju tijekom cijele godine.

Slika 5. Mrežna učionica za učenike


Ne mogu reći da su učenici oduševljeni zbog takvog dana aktivnosti u kojem imaju 5 sati matematike, ali definitivno mogu izdržati svih 5 sati. Na taj dan se učenici puno nauče, nauče se sve o poligonima koliko im je potrebno da nauče o njima u osnovnoj školi.


  1. Berk, J., & Draksler, J., & Robič, M. (20O4). Skrivnosti števil in oblik. Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole, 140-159, Rokus, Ljubljana.
  2. Končan, T., & Moderc, V., & Strojan, R. (2016). Skrivnosti števil in oblik. Samostojni delovni zvezek za matematiko v 8. razredu osnovne šole, 4. del, 5-54, Rokus, Ljubljana.
  3. Program osnovna šola. Matematika. Učni načrt (2011). Dostopno na: (3.10.2021).

Lego kocke u nastavi


Neža Zakrajšek


Igra je ugodna aktivnost djece, koja jača i nagrađuje samu sebe. Kroz igru djeca upoznaju sebe, svijet i uče. Nije fokusirana samo na igračke, već i na druge žive i neživi predmete u djetetovoj okolini, kao i predmete, koje dijete može samo zamisliti i predmete koje ne može posebno zamisliti. Od početka života dijete samo preuzima aktivnosti, koje postaju sve sustavnije i kreativnije, odnosno sve sličnije poslu.

Ključne riječi: lego kocke, fina motorička sposobnost, matematika, jezik.

Igra utječe na fizički rast djeteta, razvoj njegove inteligencije, stjecanje iskustva i znanja, djetetov emocionalni život i njegov razvoj u društveno biće. Kada se dijete igra, vježba, jača mišiće i živčani sustav, stječe razne vještine, uči o svojim sposobnostima. Kroz igru dijete uči i o fizičkom okruženju i pravilima, koja u njemu vladaju. Na temelju svog iskustva stvara stavove, uči razmišljati i pokušava riješiti probleme s kojima se suočava. Dijete se preko igre poistovjećuje s različitim ulogama, koje uočava kod odraslih. U isto vrijeme, dijete u igri razvija svoje funkcije u najširem smislu riječi, a istovremeno stječe novo iskustvo. Ti su procesi međusobno povezani u djetetovom karakteru i utječu jedni na druge. Naročito ne smijemo zanemariti igru ​​za razvoj djetetove mašte (Merčnik, 2008).

U igri, dijete je uključeno sa cijelom svojom osobnosti. Dječje igre nisu samo mehanička imitacija, već i dječja potraga, u kojoj se utvrđuje njegova osobnost. Budući da igra daje učinkovit utjecaj na mentalni razvoj djeteta, nije preporučljivo nametnuti igre, koje su neadekvatne za takav razvoj ili igre koje čak prenaprežu njegove mentalne mogućnosti. Dijete se u igri mora osjećati opušteno, slobodno, jer samo slobodna aktivnost omogućuje dječju radost i promiče njegov mentalni razvoj. Slobodna igra podiže djetetovo samopouzdanje.

Konstrukcijska igra je igra u kojoj dijete povezuje, sastavlja određene predmete u cjelinu (npr. sastavljanje kocka). Predstavlja veliki udio igre predškolske djece. Temeljna promjena, koja se razvojem pojavljuje u konstrukcijskoj je planiranje. Dijete unaprijed govori što će i kako izvesti (Žnidaršič, 2013.).

Od samog početka, zajednička igra je asocijativna, što znači da se djeca igraju zajedno, ali nemaju zajednički cilj u igri, a onda postaje sve više i više kooperativnija. U suradničkoj igri, djeca teže istom cilju, dok rješavaju svoje razlike. Ova vrsta igre zahtijeva određeni stupanj emocionalne i društvene zrelosti djeteta, budući da dijete mora uskladiti svoje postupke s ponašanjem vršnjaka u igri i napraviti određene kompromise (Žnidaršič, 2013).

Konstrukcijskim materijalom podržavamo izravan razvoj mašte, finu motoriku, domišljatost, prostornu orijentaciju, neizravnu percepciju boja, brojeva…

Lego kockice mogu se koristiti u 1. razredu u slovenskom jeziku, matematici, učenju o okolišu, glazbenoj umjetnosti i drugim područjima učenja. Mogu se koristiti u različitim fazama učenja.

Na slovenskom jeziku, lego kocke se već koriste u fazi razvoja vještina predpismenosti, kada djeca okvirno razvijaju fine motoričke sposobnosti. Također se mogu koristiti u razvoju glasovne svijesti (Slika 1_Razvoj glasovne svijestianaliza riječi na slogove ili glasove), a kasnije i u tvorbi rečenica. Učenik može odabrati određeni broj kockica, a zatim od njih formirati rečenicu ili čak cijelu priču. Lego kocke omogućuju nam puno individualizacije i diferencijacije.

Slika 1. Razvoj glasovne svijesti

U matematici, lego kocke su korisne u sortiranju, razvoju numeričkih prikaza (jedinice, desetke), računanju i dijeljenju cjelina.

Slika 2_VzorcimaSlika 3_ Odnosi veličine
Slika 2. Uzorci                          Slika 3 Odnosi veličine
Slika 4 _RačunanjeSlika 5_Dijeljenju cjelina
Slika 4. Računanje                      Slika 5. Dijeljenju cjelina
Slika 6_Simetrija
Slika 6. Simetrija

Kada učimo o okolišu, lego kocke možemo koristiti u tematskim odjeljcima o orijentaciji, različitim načinima predstavljanja zemljopisnog okoliša, svojstvima materije, kretanju. Mogu se uključiti u procese uređivanja, slaganja, sortiranja, mjerenja standardnim jedinicama i uređivanja podacima.

U stvaranju s lego kockicama ostvaruju se širi ciljevi nastave u prvom odgojno-obrazovnom razdoblju, posebno u komunikaciji i odnosu između učenika i nastavnika, znatiželji, razvoj radnih navika, kreativnost, eksperimentiranje, obzirnost, solidarnost, privrženost, ručne vještine i pozitivna slika o sebi.

Lego kockice su vrlo koristan i poučan didaktički alat s kojim se djeca susreću u predškolskoj dobi i prate ih kasnije u osnovnoj školi. U radu s lego kockicama učenici razvijaju mnoge vještine, a upravo u prvom razdoblju trijade jačaju socijalne kontakte i međusobnu suradnju, što će ih pratiti kroz cijelo razdoblje školovanja, kao i kasnije u životu.


  1. Grginič, M. (2009). Kako do pismenosti v razredu osnovne šole? Priročnik za učitelje. Mengeš: Izolit.
  2. Kolar, M. idr. (2011). Učni načrt za spoznavanje okolja. Dostopno 25. 7. 2021 na
  3. Merčnik, T. (2008). Igra. Ljubljana: Vrtec Andersen.
  4. Poznanovič Jezeršek, M. … (2018). Učni načrt za slovenščino. Dostopno 23. 7. 2021 na
  5. Žnidaršič, S. (2013). Otrokova igra. Dostopno 15. 7. 2021 na
  6. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt za matematiko. Dostopno 1. 8. 2021 na

Digitalna osposobljenost učitelja

u epidemiji


Mateja Repovž Lisec


Obrazovanje na daljinu se vrlo usklađeno odvijalo u Osnovnoj školi Tržišče. Rezultati su pokazali da su učitelji i učenici bili svakodnevno u kontaktu ili barem dva ili više puta na tjedan putem videokonferencija ili uputa za usmjeravanje preko mrežne nastave. Pri korištenju digitalnom tehnologijom, učitelji su ponajviše napredovali na svim područjima digitalnih kompetencija te imaju vještine potrebne za upotrebu različitih internetskih alata. Učitelji smatraju da će i u poučavanju u školi zadržati neke od pristupa poučavanja.

Ključne riječi: poučavanja, informacijsko-komunikacijska tehnologija, profesionalni razvoj, nastava na daljinu

1. Uvod

Raširenost virusa COVID-19 i proglašenje epidemije je po cijelom svijetu prouzročilo masivno zatvaranje škola, kako u prvom tako i u drugom valu epidemije. S obzirom na trenutno stanje digitalne osposobljenosti učitelja i opremljenost škola digitalnom tehnologijom, škole su se morale snaći preko noći, a sve to utjecalo je na učinkovitu domišljatost učitelja i prilagodbu stanju u kojem smo se našli.

U zadatku sam proučila digitalnu osposobljenost učitelja Osnovne škole Tržišče u obrazovanju na daljinu te na koji način i koliko često su učitelji uspostavljali kontakt s učenicima. Rezultati istraživanja pružili su uvid u upotrebu internetskog alata od strane učitelja, a posebno osposobljenost za rukovanje različitim internetskim alatima u Osnovnoj školi Tržišče.

2. Prezentacija prikupljenih podataka o primjeru iz prakse

Osnovna škola Tržišče manja je škola u Općini Sevnica. Škola ima 122 učenika i 17 učitelja. Svi učitelji u školi imaju računala u učionicama te interaktivne ploče koje se upotrebljavaju u nastavi u razredu. Na taj način svakodnevno i u nastavi u razredu privikavamo učenike na upotrebu različitih internetskih okruženja, kao i na upotrebu različitih aplikacija u računalnoj učionici koja ima 25 računala.

Svi učitelji i učenici Osnovne škole Tržišče dobili su odgovarajuća računala i kamere, a isto tako, svima smo također osigurali modeme za nesmetano obrazovanje na daljinu. Vodstvo je također osiguralo odgovarajuću tehničku podršku učiteljima i učenicima.

Na razini škole dogovorili smo jedinstveni komunikacijski kanal podučavanja na daljinu od 1. do 5. razreda te od 6. do 9. razreda. Od 1. do 5. razreda u obrazovanju na daljinu upotrebljavali smo internetsko okruženje Google Classroom, a videokonferencije smo obavljali preko sustava za videokonferencije Zoom. Od 6. do 9. razreda sve aktivnosti obavljali smo preko internetskog okruženja za učenje MS Teams.

Pored jedinstvenog sustava obrazovanja, uskladili smo i raspored sati te ga prilagodili tako da smo uveli blok-satove. Time smo htjeli izbjeći situaciju u kojoj bi učenici u rasporedu sati imali previše različitih predmeta u jednom danu. Vodstvo škole je učitelje koji provode nastavu u odjelima produženog boravka preraspodijelilo tako da su podučavali učenike s poteškoćama u učenju.

3. Rezultati i rasprava

Podaci su prikupljeni putem upitnika. U tu svrhu pripremila sam već postojeći upitnik kojeg su autori Rupnik Vec i drugi (2020) upotrijebili u istraživanju naziva Analiza obrazovanja na daljinu za vrijeme prvog vala epidemije COVID-19 u Sloveniji 2020. godine (Analiza izobraževanja na daljavo v času prvega vala epidemije covida-19 v Sloveniji v letu 2020).

3.1. Uspostavljanje kontakata s učenicima

Većina učitelja razredne nastave (71 %) je u radu na daljinu kombinirao izvođenje nastave putem videokonferencije i usmjeravanje učenja preko pisanih uputa i aktivnosti u Google Classroomu, dok je većina predmetnih učitelja (70 %) nastavu izvodila tako da su s učenicima uspostavili kontakt putem videokonferencija (MS Teams). Nijedan od učitelja nije samo prosljeđivao pisane upute učenicima za samostalan rad putem elektroničke pošte. Tako su učitelji razredne nastave (57 %), kao i predmetni učitelji (90 %) na tjednoj razini najčešće upotrebljavali videokonferencije preko Zooma ili MS Teamsa za uspostavljanje kontakta s učenicima, dok je otprilike jedna trećina učitelja razredne nastave najčešće pružala upute i aktivnosti pomoću internetskog okruženja za učenje Google Classroom.

Čak 86 % učitelja razredne nastave bilo je u svakodnevnom kontaktu s većinom učenika, a većina predmetnih učitelja (70 %) je s većinom učenika bila u kontaktu dva ili tri puta na tjedan. Smatram da je to posljedica činjenice da predmetni učitelji prema rasporedu sati imaju manje sati s učenicima za pojedinačne predmete. Kao primjer mogu navesti prirodne znanosti koje su prema rasporedu sati samo dva ili tri puta na tjedan te je stoga učiteljica prirodnih znanosti bila u kontaktu s učenicima samo dva ili tri puta na tjedan, budući da tako zahtijeva priroda posla. Na razini razreda, učitelji iz odjela produženog boravka koji su za vrijeme epidemije preuzeli rad s učenicima koji imaju poteškoće u učenju susretali su se s pojedinim učenicima dva ili tri puta na tjedan. Razumljivo je da su predmetni učitelji, kao učitelji predmetne nastave, bili manje u kontaktu sa svim učenicima, budući da je svaki učitelj podučavao samo nekoliko sati na tjedan po predmetu, a istovremeno je do toga došlo također zbog reorganizacije rasporeda sati.

3.2. Osposobljenost učitelja

Sljedeći odjeljak odnosio se na osposobljenost učitelja na području digitalne tehnologije u nastavi na daljinu. Pitanja su bila usmjerena na traženje odgovora na kojim područjima digitalnih kompetencija su učitelji napredovali za vrijeme obrazovanja na daljinu te koliko su digitalno pismeni.

41 % učitelja izjavilo je da su znatno napredovali u upotrebi digitalne tehnologije pri aktivnom uključivanju učenika, 41 % učitelja da su jako napredovali u odabiru različitih digitalnih izvora za podučavanje i učenje, a 41 % učitelja je umjereno napredovalo u upotrebi digitalne tehnologije za povratne informacije učenicima. Učitelji su manje napredovali u upotrebi digitalne tehnologije za poboljšanje komuniciranja s učenicima, suradnicima i roditeljima, u upotrebi tehnologije za diferencijaciju i individualizaciju, u izradi i reprodukciji digitalnih izvora u svrhe podučavanja te u upotrebi digitalne tehnologije za poboljšanje sudjelovanja učenika. Najmanje su napredovali u upotrebi digitalne tehnologije za formativno i sumativno vrednovanje te u poštivanju sigurnosti i zaštite na internetu.

Smatram da su učitelji bili primorani usavršiti znanje na području upotrebe digitalne tehnologije i uspostavljanja komunikacije s učenicima te su na tim područjima također najviše napredovali. S obzirom na to da su učitelji očekivali da će se škole ubrzo otvoriti, potrebne ocjene dobili su tijekom nastave u razredu, stoga se učitelji nisu osposobili na tom području. U skladu s preporukama za ocjenjivanje znanja u osnovnim školama, iz ZRSŠ-a su naglasili da učitelji ocjenjuju znanje koje je na odgovarajući način obrađeno, utvrđeno te također provjereno pomoću različitih načina i metoda. Neki učitelji su također svu utvrđenu materiju ocjenjivali usmeno putem videokonferencija, uzimajući u obzir da je znanje prethodno ponovljeno, utvrđeno i provjereno. Jesu li učitelji ocjenjivali stečeno znanje ili ne ovisilo je o odluci pojedinog učitelja i razreda.

4. Zaključci

U današnje vrijeme, učitelji moraju sva stečena znanja smisleno uključiti u nastavu i poticati učenike na aktivno sudjelovanje i na daljinu. Podučavanje ne smije biti monotono, stoga učitelji moraju objašnjavanje preko videokonferencija ili u internetskim okruženjima obogatiti interaktivnim elementima koji će učenike dodatno motivirati u njihovom radu.

Snažno se preporučuje imati ujednačenu upotrebu okruženja za učenje i videokonferencija u školi, a što se ustanovilo kroz epidemiju. Učitelji trebaju isprobati različite načine metode rada s učenicima. Kao što svaki učitelj, tako i svaka grupa, razred različito funkcionira u razredu i u nastavi na daljinu. Učitelji trebaju izabrati one internetske alate koji odgovaraju njihovim vještinama te si trebaju omogućiti vlastiti tempo praćenja promjena, u skladu sa svojim mogućnostima i interesom. Mogu isprobati koristiti različite internetske alate i tako oduševiti svoje učenike, a isto tako mogu dijeliti svoja znanja sa suradnicima u timu i u školi.

5. Literatura

  1. Rupnik Vec, T. i drugi (2020). Analiza izobraževanja na daljavo v času prvega vala epidemije covida-19 v Sloveniji. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za školstvo. Dostupno na adresi, 24. 4. 2021.

Konstruktivističko poučavanje



Alenka Plevnik


Učitelji u školi ne težimo samo k tome da bi učenicima predali čim više znanja i informacija, već k tome da je to pridobiveno znanje kvalitetno i prije svega upotrebljivo. Zbog toga je zadatak suvremenog učitelja, da u poplavi informacija i podataka kritično presudi što je ono važno za gradnju kvalitetnog i upotrebljivog znanja kod učenika.

Konstruktivizmom se bavio još i Piaget, koji kaže, da ljudi svjesno stvaraju znanje. To znači, da svoje znanje dobivamo na temelju iskustava. Kod konstruktivizma je naglasak na dobivanju znanja kao posljedice mentalne aktivnosti kroz vlastita iskustva. Konstruktivizam zagovara tezu, da znanje ne možemo nekome dati, već da ga moramo sami s vlastitom mentalnom aktivnošću izgraditi i oblikovati (Buh, 2015).

Ključni pojmovi: konstruktivizam, matematika, učitelj, učenje.


Teachers at school try not only to pass onto students as much knowledge and information as possible, but in particular to ensure the knowledge obtained is solid and useful. Therefore, the task of the teacher today in our society, flooded with a wealth of information, is to demonstrate critical judgement in choosing what is essential for building up quality knowledge that can be applied.

Constructivism is a field of study explored already by Piaget who said that knowledge is actively created, meaning that it is gained through experience. Constructivism stresses the importance of gaining knowledge through thinking activity triggered by our own experience. It sets off with a premise that knowledge cannot be given to anyone, but that it should be built up and formed by one’s own thinking activity. (Buh, 2015).

Key words: constructivism, mathematics, teacher, studying.

1. Uvod

Konstruktivistično zasnovana nastava je usredotočena na učenika, na njegovo prethodno znanje, iskustva i mentalne strukture. Učenik je aktivan sudionik učenog procesa te je odgovoran za svoja znanja i iskustva. Kod konstruktivizma ne postoji klasičan prijenos znanja od učitelja do učenika, već je važna poticajna okolina, koju osmišljava i priprema učitelj. Ta okolina učeniku omogućuje samostalno prikupljanje znanja (Buh, 2015).

2. Konstruktivizam

Konstruktivizam zagovara kvalitetno pridobiveno znanje, što znači, da je bolje, da dijete poznaje manju količinu korisnih podataka i znanja, nego veću, koju vrlo brzo izgubi odnosno zaboravi (Marentič-Požarnik, 2004). Jedna od strategija učenja, koju predlažu konstruktivisti je neprestano pokretanje kognitivnog sukoba. Pokrećemo ga sa smislenim postavljanjem pitanja ili sa sociokognitivnim konfliktom. Učenici prognoziraju rezultate koji u krajnosti mogu biti suprotni njihovim prognozama. Tako nastaje konflikt između učenikove pojmovne strukture i rezultata eksperimenta što potiče izazove za razmišljanje. Na taj način učenici osjete potrebu za širenjem svoga znanja (Žakelj, 2003).

Sam konstruktivni sukob, koji izazovemo kod učenika nije dovoljan, ako znanje u nastavku posreduje učitelj. Učenici s vlastitom mentalnom aktivnošću, sa samostalnim otkrivanjem, odnosno sa odgovarajućim vodstvom od strane učitelja, samostalno dolaze do rezultata i bogate vlastita poimanja. (Žakelj, 2003).

Cilj konstruktivizma je bolja kvaliteta znanja svih sudionika u procesu učenja. Znanje ne znači samo znati, već i razumjeti, kritički procijeniti te znati upotrebljavati pridobiveno. Konstruktivistični didaktični model treba aktivnog učitelja s aktivnim načinom poučavanja. Najvažnija nit vodilja je, da dijete gradi svoje znanje s vlastitim iskustvima, ali također je važna i okolina za učenje (Buh, 2015).

2.1. Faze poučavanja kod konstruktivizma

Kod konstruktivizma je temelj učenikovo predznanje i njegova iskustva. Takvo se poučavanje odvija u sljedećim fazama:

  • Otkrivanje već postojećih djetetovih ideja, na temelju kojih učitelj odabire ciljeve, temu, sadržaje.
  • Planiranje aktivnosti i iskustava, koje će djetetu pomoći oblikovati i nadograditi znanje.
  • Promjena prvotnih djetetovih zamisli. Dijete promjenu osvijesti i utvrdi nova usvojena znanja (Slomšek, 2009).

2.2. Uloga učenika i učitelja kod konstruktivističke nastave

U prvom planu konstruktivističkog modela je interaktivni odnos između učitelja i učenika. Učitelj vodi i usmjerava učenika na putu do postizanja postavljenih ciljeva. Učitelj priprema situacije, u kojima učenici sa svojom vlastitom mentalnom aktivnošću grade znanje. Zadatak učitelja je, da stvori uvijete uz koje može doći do učenja i u kojima će učenik oblikovati znanje. Glavni zadatak učitelja je da pripremom konkretnih aktivnosti zaintrigira učenike, da postanu aktivni (Velikonja, 2004).

Kod takvog načina poučavanja moraju učenik i učitelj imati povjerljiv odnos kao partneri. Takav način poučavanja od učitelja zahtjeva više priprema, znanja, kreativnosti, prilagodljivosti, otvorenosti i sposobnost probuđivanja zanimanja i entuzijazma (Buh, 2015).

Konstruktivistični način poučavanja temelji se na zajedničkom radu učenika i odraslih. Učiteljeva uloga je, da učeniku pruža potporu i potiče ga na razmišljanje. Učenici izvode aktivnosti, učitelj promatra iz pozadine, ali je uvijek tu na raspolaganju, ako učenici trebaju pomoć.

2.3. Metode konstruktivističkog poučavanja

Kod konstruktivističkog poučavanja ne možemo govoriti o tipičnim konstruktivističkim metodama. Primjerene su sve metode, ako te kod učenika potiču razmišljanje, nove spoznaje, proširuju interese i šire horizonte. Metode konstruktivističkog poučavanja su:

  • projektna nastava,
  • igra uloga,
  • suradničko učenje,
  • terenski rad,
  • problemska nastava. (Marentič-Požarnik, 2008).

2.3.1. Projektna nastava

Ovaj način rada povezuje učiteljevo nastavno vodstvo i uključuje samostalan rad učenika. Učitelj ima ulogu inicijatora, suputnika, pomoćnikSlika 1a i vodi aktivnosti učenika, učenici su glumci i preuzimaju odgovornost za svoj rad. Kod ove metode dolazi do povezivanja znanja pridobivenog na nastavi, sposobnosti i spretnosti sa znanjima, koje učenici pridobivaju sa iskustvima. (Klun, 2015).

Slika 1. Projektna nastava

2.3.2. Igra uloga i simulacija

Učenje se kod ove metode odvija s aktivnim uključivanjem pojedinaca u proces mišljenja, doživljenja, djelovanja i vrednovanja. Učenje proizlazi iz učenikovih iskustava i njegovog prethodnog znanja (Klun, 2015).

Slika 3Ovom metodom učenici rješavaju konkretne probleme u zamišljenim životnim situacijama. Uče kako se ponašati u nepredvidivim situacijama, kad je teoriju potrebno upotrijebiti u praksi.

Slika 2. Igra uloga – trgovina

2.3.3. Suradničko učenje

O suradničkom učenju govorimo kada učenici rade u manjim skupinama s namjerom, da bi se dosegnuo zajednički cilj. Učenici dobivaju od svojih vršnjaka važne informacije, uzorke, strategije (postupke) rješavanja i načine razmišljanja. (Marentič-požarnik, 2000).

Takvo učenje utječe na poboljšanje školskih postignuća, socijalni i emocionalni razvoj pojedinca, pomoć vršnjaka, veću unutarnju motivaciju, manjak straha i bolju razrednu klimu. (Peklaj, 2001).

Slika 2Slika 3. Suradničko učenje

2.3.4. Terenska nastava

Terenska nastava je metoda, koja je učenicima veoma zanimljiva, aktivira njihove mentalne procese i omoguća neposredan dodir s problemima i pojavama. Učenje se odvija u stvarnom, realnom okruženju i potiče sudjelovanje. Ovdje pripada i promatranje različitih pojava u prirodi, mjerenje različitih vrijednosti, fotografiranje i prikupljanje različitih podataka. (Radanovič, 2009).

2.3.5. Problemska nastava

Kod problemske nastave dolazi do neposrednog vođenog učenja, kojeg čine neposredne i posredne problemske situacije. U središtu je učenik, do novih spoznaja Slika 4dolazi traženjem, razmišljanjem, argumentiranjem, provjeravanjem. Problemska nastava je najkreativnija kada učenici sami traže načine i postupke rješavanja. Kod problemske nastave se razvija posebna vrsta mišljenja – kreativno mišljenje. (Strmčnik, 1992).

Slika 4. Problemska nastava

3. Zaključak

Činjenica je, kako je već i spomenuto u tekstu, da je nastavni plan i program zasnovan na način koji od učitelja zahtjeva, da učenicima posreduje čim veću količinu informacija. Pitanje koje se postavlja je, je li smo kao učitelji sposobni prijeći tu granicu i sa svojom autonomnom prosudbom odvojiti važno od manje važnog, potražiti suštinu i djeci omogućiti gradnju od temelja, da postanu snažni i čvrsti? Mnogi učitelji se na to još nisu odvažili, međutim ima ih dosta koji su hrabro zakoračili na put konstruktivističkog poučavanja. Tradicionalni način poučavanja će i dalje biti prisutan, ali ako ćemo u njega uključivati elemente konstruktivizma, neće biti i dalje tako krut i usmjeren samo na sadržaj koji treba obraditi.

4. Literatura

  1. Buh, D. (2015). Konstruktivistični prostop pri poučevanju temperature in toplote v 5. razredu OŠ. [Magistrsko delo]. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.
  2. Klun, N. (2015). Projektno delo pri pouku matematike. Didakta. 25(184), 36-37.
  3. Marentič-Požarnik, B. (2000). Psihologija učenja in pouka. Andragoška Spoznanja 6(4), 150-152.
  4. Marentič-Požarnik, B. (2008). Konstruktivizem na poti od teorije spoznanja do vplivanja na pedagoško razmišljanje, raziskovanje in učno prakso. Sodobna pedagogika 59(4), 28-51.
  5. Peklaj, C. (2001). Sodelovalno učenje ali Kdaj več glav več ve. Ljubljana, DZS.
  6. Radanovič, A. (2009). Terensko delo pri pouku družbe. [Diplomsko delo]. Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
  7. Slomšek, U. (2009). Primeri konstruktivističnega poučevanja pri predmetu spoznavanje okolja. [Diplomsko delo]. Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
  8. Strmčnik, F. (1992). Problemski pouk v teoriji in praksi. Didakta, Ljubljana.
  9. Velikonja, M. (2004). Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. AS Andragoška spoznanja, 10(3), str. 66-67.
  10. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko. Ljubljana: ZRSŠ.

Samovrednovanje u nastavi matematike


Sanja Janeš

Samovrednovanje i samoregulacija učenja su dio kompetencije Učiti kako učiti. Važne su jer osnažuju stav prema vlastitom učenju, sposobnostima i napretku. Samovrednovanje je kompetencija koju treba učiti, njegovati i razvijati od kad čovjek počinje učiti. Samoregulacija učenja je posljedica kvalitetnog samovrednovanja vlastitog učenja i znanja. Proces samovrednovanja ne može se odvojiti od procesa učenja i zato je sasvim prirodno ga poticati tijekom nastavnog procesa. Učitelj treba potaknuti učenike na samovrednovanje i samoregulaciju učenja kroz aktivnosti koje im pripremi za nastavu. U nastavku članka opisana je jednostavna organizacija aktivnosti koja potiče samovrednovanje i samoregulaciju učenja.

Ključne riječi: samovrednovanje, samoregulacija, matematika, tablica.

Aktivnost je provedena u 8. razredu osnovne škole pri realizaciji odgojno-obrazovnih ishoda:

  • MAT OŠ B.8.4. Rješava i primjenjuje sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama.
  • MAT OŠ B.8.1. Računa s algebarskim izrazima u R.
  • MAT OŠ B.8.3. Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Očekivanja međupredmetne teme Učiti kako učiti:

  • uku B.3.1. Planiranje – Uz povremenu podršku učenik samostalno određuje ciljeve učenja, odabire strategije učenja i planira učenje.
  • uku B.3.2. Praćenje – Uz povremeni poticaj i samostalno učenik prati učinkovitost učenja i svoje napredovanje tijekom učenja.
  • uku B.3.3. Prilagodba učenja – Učenik regulira svoje učenje mijenjanjem plana ili pristupa učenju, samostalno ili uz poticaj učitelja.
  • uku B.3.4. Samovrednovanje/ samoprocjena – Učenik samovrednuje proces učenja i svoje rezultate, procjenjuje ostvareni napredak te na temelju toga planira buduće učenje.

Ishodi aktivnosti su:

  • Rješava sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama metodom suspstitucije.
  • Rješava sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama metodom suprotnih koeficijenata.
  • Provjerava točnost i smislenost rješenja
  • Kreira sustav ustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama proizašao iz zadatka riječima
  • Rješava problemsku situaciju kreiranjem sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama i rješava ju.


Učenici su tijekom cijelog procesa učenja i poučavanja bili upoznati s kriterijima vrednovanja kroz rubriku u kojoj su sastavnice odabrane prema postavljenim ishodima aktivnosti. Time se proces vrednovanja, a i samovrednovanja, postavlja potpuno transparentno. Postavljanje kriterija pred sam proces učenja i poučavanja je odličan vodič učenicima za vlastito učenje i napredovanje kroz učenje. Praćenjem vlastitog uspjeha i napretka njihova motivacija za učenjem raste i postaju sigurniji u vlastite sposobnosti. Ovakvu rubriku lako je pretvoriti u rubriku za vrednovanje za učenje izmjenom kriterija ostvarenosti ishoda u:

  • izvrsno, vrlo dobro, dobro, zadovoljavajuće.
  • u potpunosti i samostalno, u potpunosti uz povremenu učiteljevu pomoć, djelomično uz povremenu učiteljevu pomoć, potrebna je stalna podrška.

A ako se želi oblikovati rubrika za vrednovanje kao učenje, u opisnicama se stavi izričaj u prvom licu jednine, na primjer: Samostalno i točno rješavam sustav metodom supstitucije.

Kriterije ostvarenosti se može preurediti i na tri razine i opisati, na primjer: u potpunosti, djelomično, potrebna pomoć.

Tablica 1. Rubrika Rješavanje sustava linearnih jednadžbi image

Pristupi vrednovanju:

  • Vrednovanje za učenje. Samovrednovanje. Svaki učenik dobiva tablicu u kojoj bilježi koliko je zadataka iz koje skupine riješio i napravio provjeru.
  • Vrednovanje za učenje. Učitelj na kraju sata provjerava usklađenost uratka u bilježnici i bilježenih rezultata. Upisuje bilješke u imenik.
  • Vrednovanje naučenog. Ukoliko učitelj zapazi dobar napredak kod pojedinog učenika može ga vrednovati i sumativno.

Tablica 2. Tablica za samovrednovanjeSlika1 Tablica za samovrednovanje

Slika2 Prikaz organizacije radaSlika 1. Prikaz organizacije rada

Vrijeme realizacije: dva školska sata

Učitelj u razredu organizira centre na kojima su pripremljeni zadatci po zahtjevnosti i to jasno komunicira s učenicima. Obrazlaže učenicima kakvi su zadatci i što se od njih, kao rješavača očekuje. Također im se obrazlaže da ne moraju rješavati sve zadatke već ako misle da ih znaju riješiti napuštaju taj centar i prelaze na sljedeći na kojem su zadatci zahtjevniji. Zadržavaju se na centru onoliko koliko sami procjenjuju da im je dosta te da su spremni prijeći na težu razinu. Taj korak odluke je samovrednovanje i samoregulacija. Također im je dozvoljeno da si međusobno pomažu u rješavanju.

Uočeno je da neki učenici kad su pogledali skupinu najjednostavnijih zadataka nisu niti sjeli rješavati ih jer su procijenili da mogu krenuti na sljedeću skupinu, težih. Neki učenici su se sa skupine težih zadataka vraćali na lakšu skupinu.

Uspješan proces učenja je isprepleten stalnim samovrednovanjem. Samovrednovanje pomaže unaprjeđenju procesa učenja, razvijanju vlastitih strategija i svako daljnje učenje čini lakšim te omogućuje napredak. Njegovanjem samovrednovanja i samoregulacije vlastitog učenja osnažuje se kompetencija učiti kako učiti te podiže spremnost osobe brzom učenju novih znanja, sadržaja i kompetencija. Transparentnost unaprijed postavljenih ciljeva i ishoda učenja te kriterija vrednovanja usmjerava proces učenja i motivira praćenjem vlastitog napretka.


  1. Kurikulum međupredmetne teme Učiti kako učiti za osnovne i srednje škole, Pristupljeno 4. siječnja, Kurikulum medupredmetne teme Uciti kako uciti za osnovne i srednje skole.pdf (,
  2. Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne škole i gimnazije i Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2, Pristupljeno 4. siječnja 2022. Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne skole i gimnazije i Matematika za srednje strukovne skole na razini 4.2..pdf (

Formativno praćenje u matematici


Anja Hamruš


U članku je predstavljen praktičan primjer iz nastave matematike u 2.razredu (utvrđivanje znanja) u kojem je testiran svaki pojedini element formativnog praćenja.

Na satovima utvrđivanja znanja u sklopu nastavne cjeline „Prirodni brojevi do 20 i računske operacije”, učenici su radili samostalno po radnim stanicama, sami provjeravali točnost riješenih zadataka, vrednovali svoje znanje prema zadanim kriterijima, vrednovali svoj rad te si postavljali ciljeve za poboljšanje vlastitog znanja. Opisani primjer iz prakse predstavlja vlastito iskustvo uvođenja elemenata formativnog praćenja koje postaje moja vodilja u daljem radu s učenicima.

Ključni pojmovi: matematika, utvrđivanje znanja, formativno praćenje, brojevi do 20, radne stanice.


Moje prvo iskustvo s formativnim praćenjem stečeno je prije dvije godine kada smo se kao škola uključili u taj projekt. U školi smo se počeli sastajati na razini aktiva i međusobno raspravljati o primjerima dobre prakse. U školi smo organizirali mnogo međusobnih hospitacija, prisustvovali smo i na nastavi kolega u drugim školama i sudjelovali na edukacijama na temu formativnog praćenja. Studijski sastanci su me također nadahnuli i obogatili novim znanjem i idejama na tom području.

U formativnom praćenju je pet ključnih elemenata (Holcar Brunauer i dr., 2016., str. 8):

  • Svrha učenja i kriteriji uspješnosti. Učenik sudjeluje u oblikovanju ciljeva učenja i kriterija uspješnosti.
  • Dokazi. Učitelj tijekom cijelog procesa učenja omogućava učeniku pokazivanje znanja na različite načine. Dokazi o procesu učenja i znanju pohranjuju se u mapi postignuća ili drugačije.
  • Povratna informacija. Učitelj učenicima daje pravovremene povratne informacije koje učenike usmjeravanju u procesu učenja te ih potiče na davanje povratnih informacija vršnjacima u skupini.
  • Pitanja kao potpora učenju. Učitelj postavlja otvorena problemska pitanja koja potiču razmišljanje, a učenicima omogućava dovoljno vremena da odgovore na njih. Prihvaća sve odgovore i gradi znanje na netočnim i djelomičnim odgovorima.
  • Samovrednovanje, vršnjačko vrednovanje. Učenici procjenjuju svoja postignuća i postignuća svojih vršnjaka na temelju dogovorenih kriterija uspješnosti.

Kada formativno pratim, trudim se što bolje slijediti taj peti korak

Sat utvrđivanja znanja u nastavi matematike

Satovima utvrđivanja znanja željela sam postići da učenici višekratnim utvrđivanjem i samoevaluacijom rada utvrde znanje tamo gdje su uočene praznine. Svrha tog praćenja je bila, da učenici na radnim stanicama, raspoređenima po učionici, ostvare različite ciljeve. Na kraju sata dobila sam jasnu povratnu informaciju o znanju učenika te gdje i kod koga postoje kakve poteškoće u savladavanju nastavnih sadržaja.

TEMA: Prirodni brojevi do 20 i računske operacije (utvrđivanje)


Učenik zna:

  • Zapisati redoslijed brojeva.
  • Poredati brojeve po veličini.
  • Zbrajati i oduzimati u skupu prirodnih brojeva do 20 bez i s prijelazom desetice.
  • Izračunati zbroj i razliku te zapisati odnose među dobivenim rezultatima ( >, <, =).
  • Pri zbrajanju i oduzimanju pronaći član koji nedostaje.
  • Upotrijebiti računske operacije pri rješavanju zadataka riječima.
  • Upotrijebiti različite strategije pri rješavanju matematičkih problemskih zadataka.
  • Vrednovati svoj rad prema definiranim kriterijima uspješnosti
  • Osvijestiti svrhu učenja i oblikovati kriterije uspješnosti.

Uvodna aktivnost za utvrđivanje predznanja učenika

Učenici su sjedili u krugu. Postavila sam im pitanje: ”Što bi znali reći o broju 15?”

To je zadatak s velikim brojem točnih odgovora koji učenicima omogućava kreativnost, fleksibilnost u razmišljanju, dok učitelju s druge strane nudi informaciju o znanju učenika na višoj kognitivnoj razini. Učenici su iznijeli moguće odgovore:

  • Dobijemo ga ako broju 10 dodamo broj 5.
  • Dobijemo ga ako od broja 17 oduzmemo 2.
  • Sastavljen je od znamenki 1 i 5.
  • Dobijemo ga ako zbrojimo 5+5+5.
  • Sastoji se od 4 ravne i jedne zakrivljene crte.
  • Za 1 je manji od broja 16…

Najčešći odgovori temeljili su se na računskim operacijama zbrajanja i oduzimanja.

Potom smo nastavili sa sljedećom aktivnošću. Svaki učenik bacio je tri velike kocke na kojima su bile označene točke od 1 do 6. Učenik je pročitao brojeve sa triju bačenih kocaka, sastavio račun zbrajanja ili oduzimanja i izračunao ga.

Kad smo završili s obje aktivnosti, razgovarali smo o svemu što smo morali znati kako bi uspješno riješili taj zadatak. Već na prethodnim satovima smo zapisali neke od kriterija, a sada smo im dodali još nekoliko novih.

Na taj način nastali su kriteriji uspješnosti koje smo zapisali u kut ploče.


  • rasporedim brojeve od najvećeg prema najmanjem i obrnuto
  • prepoznam pravilo redoslijeda brojeva i nastavim niz
  • pravilno izračunam zbroj i razliku
  • pravilno usporedim brojeve i upotrijebim znak >, <, =
  • pročitam zadatak riječima tako da ga razumijem
  • odaberem ispravan postupak rješavanja zadataka riječima, pronađem točno rješenje i zapišem odgovor.
  • Razumijem i primijenim upute za rad

Učenici su već na tom satu razumjeli kada će biti uspješni i kako će to postići.

Rad po stanicama – dokazi i pravovremene povratne informacije učenicima

U razredu su bile postavljene radne stanice. Na svakoj stanici učenika je čekao drveni pladanj na kojem je bila bojica kojom će popraviti riješeni zadatak; listić sa zadatkom i ljepilo kojim će listić zalijepiti u bilježnicu. Pod pladnjem su se nalazila rješenja zadataka.

Ispred ploče bio je stol za samovrednovanje. Ovdje su učenike čekali samoljepljivi papirići u boji ( zeleni, narančasti i rozi). Zeleni listić će prilijepiti ako zadatak riješi potpuno točno, narančastoga ako zadatak riječi djelomično točno, a rozi listić ukoliko zadatak riješi pogrešno. Bio je pripremljen i kutak s natpisom „ Mogu više” gdje su bili zahtjevniji zadaci.

Na prvoj radnoj stanici učenici su utvrđivali znanje zbrajanja i oduzimanja u skupu prirodnih brojeva do 20, na drugoj su rješavali zadatke riječima, na trećoj uspoređivali Slika 1. Radna stanica – Izvuci jaje sa zadatkom.odnose veličina dobivenog zbroja i razlike, na četvrtoj su bili zadaci redoslijeda brojeva, gdje je učenik prepoznao pravilo o redoslijedu brojeva i nastavljao niz, a na posljednjoj stanici trebao je poredati brojeve po veličini. U učionici je bilo više radnih stanica, a na svakoj je bio jedan tip zadatka.

Slika 1. Radna stanica – Izvuci jaje sa zadatkom


Učenici su iz posude izvukli 4 jaja.

U plastičnim jajima bili su zadaci zbrajanja i oduzimanja. Učenik je zadatke prepisao u bilježnicu i izračunao ih.


Učenik je riješio jednostavan zadatak riječima.

Ivan u ladici ima 15 bilježnica. 7 ih je već ispunio. Koliko bilježnica je još ostalo neispunjeno?


ODGOVOR: ___________________________________________________________________


Učenici su morali unaprijed izračunati zadani zbroj i razliku, zatim usporediti rezultate i označiti odnos veličina sa znakom ( >, <, =).



Učenici su trebali prepoznati pravilo redoslijeda brojeva i nastaviti niz.

3, 6, 9, __________________________________

20, 16 , 12, _______________________________


Učenici su u posudici imali drvene kocke na kojima su bili napisani brojevi od 1 do 20. Izabrali su tri kocke i bacili ih. Dobivene brojeve prepisali su u bilježnicu, a potom ih zapisali rSlika 2. Radna stanica – Uspoređivanje brojeva.edom od najmanjeg prema najvećem. Zatim su bacili 4 kocke, potom 5 kocaka, 6 i 7 kocaka te su svaki put u bilježnicu prepisali dobivene brojeve i poredali ih po veličini od najmanjeg prema najvećem.

Slika 2. Radna stanica – Uspoređivanje brojeva

U kutu „ Mogu više” bili su sljedeći zadaci. clip_image002


Učenik je bacio 3 kocke, pročitao dobivene brojeve i pomoću njih sastavio što više različitih primjera zadataka te ih izračunao. Primjer: 5, 11, 2.

Primjere računa je zapisao: 11 + 2 + 5 = , 11 – 2 – 5 = , 11 – 5 + 2 = , 5 – 2 + 11 = , 2 + 5 + 11=…


Učenik je iz svake posudice izvukao 3 plastična jaja. U svakom jaju nalazili su se listići sa zadacima zbrajanja i oduzimanja s nepoznatim članom. Učenik je zadatke prepisao u bilježnicu i izračunao ih.


Učenik je na temelju poznatih podataka sastavio zadatak riječima.

Primjer: Sastavi zadatak riječima s brojem 7 i brojem 12. Zadatak zapiši u bilježnicu i riješi ga.

Učenici su unaprijed bili upoznati s radnim stanicama. Objasnila sam im tijek rada. Učenici su sami odlučili gdje će rješavati zadatke, a uz pomoć rješenja sami su ih provjeravali. Za vrijeme rješavanja zadataka pratila sam rad učenika, davala im povratne informacije ili objasnila ono što ne razumiju, ukoliko je bilo potrebno.

Samostalnom provjerom i vrednovanjem zadataka, učenike potičemo da kritički pristupaju vrednovanju vlastitog rada te postaju svjesni vlastitih pogrešaka, pogotovo kada kažu: „ Bio sam površan u prepisivanju zadatka.”, „Pogriješio sam u zadataku…” , „ Ovo još ne razumijem dovoljno.”, „ Prebrz/a sam u rješavanju zadataka i zato često pogriješim.”, „ Mijenjam znamenke pri zapisivanju.” Nakon toga su za stolom za samovrednovanje u bilježnice uz zadatak zalijepili zeleni, narančasti ili rozi samoljepljivi papirić.

Na kraju sata svakom sam učeniku dala listić s pitanjem: „ Što ću još vježbati?” Taj listić zalijepili su u bilježnicu ispod riješenih zadataka. Svaki učenik pregledao je zadatke i razmislio što mora još dodatno provježbati na jednom od sljedećih satova kako bi proširio svoje znanje u rješavanju sličnih zadataka.


Zaključni dio sata s refleksijom i evaluacijom

Na kraju sata sjeli smo u krug i razgovarali. Učenicima sam postavila sljedeća pitanja:

  • Kako ste se ocijenili?
  • Što još trebate popraviti?
  • Koliko još trebate vježbati?
  • Na kojoj radnoj stanici su bili zadaci koji su vam bili najteži?

Slika 3. Fotografija iz bilježnice učenice nakon prvog sata utvrđivanja znanja.Nakon toga su učenici pročitali svoje odgovore na pitanje „Što ću još vježbati?”

Zatim su iznijeli rezultate samovrednovanja riješenih zadataka te ispričali koji zadaci su im bili najzanimljiviji, a kod kojih su imali poteškoća prilikom rješavanja.

Slika 3. Fotografija iz bilježnice učenice nakon prvog sata utvrđivanja znanja

Slika 4. Zapis iste učenice na listić za samovrednovanje.Slika 4. Zapis iste učenice na listić za samovrednovanje

Slika 5. Fotografija iz bilježnice učenice nakon drugog sata utvrđivanja znanja.Učenici su predstavili rezultate samovrednovanja uz riješene zadatke te ispričali u kojim zadacima su bili najuspješniji, a u kojima su imali najviše poteškoća.

Slika 5. Fotografija iz bilježnice učenice nakon drugog sata utvrđivanja znanja

Nastavne sadržaje utvrđivali smo još nekoliko sati, jer mi je bilo najvažnije da na kraju prilikom evaluacije učenici sami spoznaju, da su svi proširili svoje znanje i da su se trud i rad isplatili.

U zadacima s nizovima brojeva vidljivo je da je učenica napredovala u zadacima koji su joj prilikom prvog rješavanja zadavali poteškoće. Vrednovanjem rada prepoznala je nedostatke u svom znanju, a evaluacijom, nakon što je odgovorila na pitanje: „Što ću još vježbati?”, zadala si je primjeren osobni cilj koji je i ostvarila. Smatram da će učenik, ukoliko si sam zada osobni cilj/zadatak u svrhu napretka, njemu pristupiti s još većom ozbiljnošću i izvršiti ga.

Tijekom evaluacije na sljedećim satovima rada po stanicama sa sličnim zadacima, pitala sam ih je li netko poboljšao svoje znanje u kojem od zadataka iz prethodnog tjedna.

Učenici su prilikom evaluacije na svakom satu uočavali napredak u učenju te se veselili svakom uspješno riješenom zadatku.


Tijekom sata ovakvog tipa učitelj lako primijeni svih pet koraka formativnog praćenja. Vrlo je važno zajedno s učenicima kriterije uspješnosti zapisati i staviti na vidljivo mjesto, kako bi točno znali što se od njih očekuje. Također smatram da je prilikom evaluacije važno da učenici sami, ali uz vodstvo učitelja, spoznaju što još treba vježbati i zašto te koliko im je vremena za to još potrebno.

Prilikom uvođenja elemenata ili koraka formativnog praćenja spoznala sam da se ovakav način rada jako sviđa učenicima i roditeljima. Učenici postepeno postaju svjesni što i zašto uče, u kojem su trenutku naučili nešto novo, koliko dobro čitaju, itd… Uče i navikavaju se na vrednovanje i samovrednovanje, kritičnost i samokritičnost, planiraju svoj rad…

Kod ovih učenika najveće poteškoće prepoznala sam pri oblikovanju i razumijevanju kriterija uspješnosti za što im je najviše potrebno vodstvo i pomoć učitelja. Za to mi je trebalo dosta vremena, no na kraju se isplatilo.

Svjesna sam, da je formativno praćenje dugotrajan proces o kojem još svi trebamo učiti i na njega se naviknuti. Potrebno je isprobati različite metode. Neke će biti uspješne, neke pak manje primjenjive. Na temelju dosadašnjeg iskustva spoznala sam, da svaki učitelj mora pronaći pristup koji njemu najviše odgovara te elemente formativnog praćenja uvoditi i u druge predmete. Osobno ću rad po stanicama koristiti na drugim satovima i predmetima, jer sam kod učenika primijetila veliki napredak u samostalnosti, angažiranosti u radu te praćenju vlastitog napretka u učenju.


  1. Holcar Brunauer, A. in drugi (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju – Zakaj formativno spremljati. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo.
  2. Učni načrt (2011). Program osnovna šola: matematika. Predmetna komisija Amalija Žakelj e tal. [elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo

Matematika kod najmlađe djece


Marjetka Novak


Učenici se na satima matematike susreću sa sadržajima koji su im bliski i potječu iz njihova svakodnevnog života. Matematički sadržaji djeca se susreću na svakom koraku: u školi, kada rješavaju probleme, kada idu u trgovinu, kada nailaze na probleme, kako podijeliti čokoladu na jednake dijelove, kada se orijentiraju na putovanju, pa čak i kad se igraju. Važnu ulogu u djetetovom učenju matematike igra njegovo prvo matematičko iskustvo u školi, jer ima velik utjecaj na njegov daljnji stav prema “pravoj” matematici. Preporuča se da učitelji, kada se bave matematičkim sadržajima, polaze od djetetove svakodnevice i uzimaju u obzir djetetovo iskustvo, njegovo predznanje i njegove želje. Na satima matematike dizajniramo osnovne matematičke pojmove i strukture učenika, razne oblike mišljenja i misaone procese, sposobnosti za kreativne aktivnosti, formalna znanja i vještine te im omogućujemo da nauče o praktičnoj primjenjivosti matematike. U nastavi matematike ne bavimo se samo kognitivnim područjem učenikove osobnosti, već i afektivnim i psihomotornim, jer je osnovni razlog poučavanja i učenja matematike njezin značaj u razvoju cjelokupne osobnosti učenika.

Ključne riječi: matematika, razmišljanje, nastava, razvoj.


Mlađi učenici matematike kroz igru ​​uče puno matematičkih sadržaja. Moramo im stvoriti prikladne situacije na razigran i ugodan način i pobuditi njihovu znatiželju, kreativnost, vještine i druge vrline koje će im pomoći u izračunavanju i učvršćivanju matematičkih pojmova. Kroz razne aktivnosti koje se odvijaju “izvan” školskih klupa, pomažemo povećati zanimanje i predanost učenju. Učeći kroz matematičke igre, učenici će biti više uključeni, postići će bolje rezultate i neće imati osjećaj da uče.

Središnji dio

Dječji svijet na početku škole uglavnom predstavljaju konkretne stvari, konkretne operacije. Iz tog razloga, lekcija se mora odvijati na konkretnoj, a ne apstraktnoj razini i biti jasna i razumljiva. U tom se razdoblju djeca prelaze iz predoperativne faze u konkretno, tako da moraju imati na raspolaganju puno didaktičkog materijala, igara i igračaka prilikom formuliranja matematičkih pojmova. Preporuča se imati matematički krug u svakom razredu sa svim potrebnim didaktičkim alatima (Cotič, 2001). U prvom školskom razdoblju dijete je vrlo prijemčivo za sve što se događa oko njega. Suvremeni teoretičari ističu da dijete u to vrijeme najbolje uči u prirodnom okruženju i o svemu što je povezano s prirodnim okolišem. U svakodnevnom konkretnom životu učitelj može dobiti mnogo ideja za poticanje razvoja mišljenja, govora, osjećaja i motoričkog, moralnog i socijalnog razvoja. Razdoblje između 6. i 11. godine života (ovo je rano školsko razdoblje) najuspješnije je za učenje novih obrazaca, uključujući i motoričke. Dijete to uči samo brzo i bez puno napora. Suvremena nastava matematike promiče holističko učenje lekcija, veću povezanost kognitivnog razvoja djeteta i nastave matematike, veću aktivnost učenika. Matematički sadržaj pružamo na način koji je učenicima razumljiv, jasan, zanimljiv i dolazi iz konkretnih iskustava.

Na razini osnovne škole svaki se novi matematički koncept raspravlja na sljedećim razinama (Cotič, Zurc, 2004):


  • postavljanje početne problematične situacije,
  • analiza početne problematične situacije,
  • provedba aktivnosti.


  • shematizacija aktivnosti (crtanje, skica),
  • provođenje aktivnosti u raznim drugim situacijama,
  • shematizacija aktivnosti sa sustavnim prikazima.


  • prezentacija aktivnosti u još općenitijem obliku,
  • generalizacija problema,
  • upotreba razvijenog koncepta u novoj situaciji.

Žagar (2006) piše da se razine uvijek slijede sljedećim redoslijedom: konkretnim, grafičkim i simboličkim. Matematički sadržaji s kojima se dijete susreće u prve tri godine su: geometrija i mjerenje, aritmetika i algebra i ostali sadržaji koji uključuju logiku i jezik te obradu podataka. Svaki je sadržaj specifičan sam po sebi i zahtijeva od učitelja veliku kreativnost i profesionalnost da svaki sadržaj predstavi učeniku na način koji je razumljiv, jasan, ujedno i kreativan, da privuče učenika da sudjeluje i postane aktivan član u matematici. Pritom učitelj ne smije zaboraviti da kada se bavi matematičkim sadržajima prvenstveno izlazi iz konkretnog stvarnog svijeta i iz iskustava koja su bliska učeniku. Matematički se sadržaj nadograđuje iz razreda u razred, pa je osnova od koje polazimo vrlo važna. Jer ako učenik dobro ne savlada osnovne pojmove i ne razjasni svoje ideje, to mu može stvoriti brojne poteškoće u napredovanju u matematičkom sadržaju. Svrha novog kurikuluma iz matematike nije da učenici samo uče matematiku, već da otkrivaju matematiku, razmišljaju o njoj i nadograđuju svoje znanje. Dakle, učenik više ne bi bio samo pasivni slušatelj, već aktivni sukreator vlastitog učenja (Cotič, 2001). Prema rezultatima studija, učenje pokretom uspješnije je od učenja u klasičnoj situaciji – učenju u igraonici. Postizanje učenja kroz pokret može se pripisati većoj motivaciji djece. “Teoretski koncepti i znanje koje su dodirnute osjećajima lakše je i bolje pamtiti. Mnoge kinestetske senzacije koje prate aktivnu igru ​​mogu pridonijeti uspješnijem učenju. Djeca su pažljivija i više su uključena u učenje kroz pokret. Možemo zaključiti da aktivna igra igra važnu ulogu u učenju o teorijskim pojmovima i znanju, jer omogućuje aktiviranje nekoliko osjetilnih područja i ima visoku motivacijsku vrijednost “(Andrejka Kavčič, 2005). Učenje pokretom – kreativno kretanje – u najširem smislu riječi može se definirati kao učenje pokretom. Kreativni pokret jedan je od nešto modernijih procesa učenja. Kad učenje povežemo s pokretom, osoba uči brže i učinkovitije. Pokret je izvor zadovoljstva i opuštanja, neizravno utječući na cjelokupnu sposobnost učenja jer utječe na tjelesna osjetila i osnovne sposobnosti kao što su pamćenje, percepcija, pažnja, orijentacija u prostoru i vremenu, asocijativno razmišljanje i sposobnost rješavanja problema. Matematika je stoga područje koje je izravno povezano s drugim područjima djelovanja.


Mlađi učenici moraju osjećati da je učenje matematike korisno, zabavno i ugodno. Kroz matematičku igru ​​razvijaju logično razmišljanje i prihvaćaju matematiku na drugačiji, kreativniji način. S pozitivnim iskustvima koje stječu postat će samopouzdaniji i uspješniji. Učenici slabiji od učenika također će napredovati i postizati bolje rezultate. Živahna nastava u kojoj učenici uče kreativne ciljeve kreativnim i aktivnim načinom rada, koji prebrzo prolazi.


  1. Andrejka Kavčič, R. (2005). Učenje z gibanjem pri matematiki. Priročnik gibalnih aktivnosti za učenje in poučevanje matematike v 2. razredu devetletke. Ljubljana: Društvo Bravo.
  2. Cotič, M., Felda, D., Hodnik, T. (2001). Svet matematičnih čudes 3, Kako poučevati matematiko v 3.. razredu devetletne osnovne šole. DZS, Ljubljana.
  3. Cotič, M., Zurc, J., Kozlovič Smotlak, D. (2004). Celosten pristop pri zgodnjem poučevanju –vloga gibalnih aktivnosti pri pouku matematike. Pedagoška obzorja, let. 19.
  4. Merhar, Umek, Jemec, Repnik, 2013, Didaktične igre in druge dinamične metode, Salve.
  5. Žagar, S., Geršak, V., Cotič, M. (2006). Ustvarjalni gib kot metoda poučevanja matematike. V: Zbornik izvlečkov in prispevkov / 4.mednarodni simpozij Otrok v gibanju, Portorož, Slovenija. Koper: Univerza na Primorskem, Znanstveno-raziskovalno središče.

Matematika u prirodi


Darinka Vrlinič


Odlazak iz škole učenike uvelike motivira za bavljenje novom temom ili utvrđivanje znanja. U blizini naše škole mnogo je prostora za istraživanje i učenje: voćnjak, školski vrt na visokim gredama, livada, vinograd, polje, brdo Veselica, šuma, potok Obrh. Učenici nižih razreda trebaju što više vlastitog iskustva. To pobuđuje znatiželju i želju za obavljanje aktivnosti. Znanje se produbljuje i ostaje trajno.

Učeći u prirodi, učenici stječu različite vidike, praktična znanja, treniraju orijentaciju, rješavaju probleme, utvrđuju znanja, istražuju, postavljaju pitanja, sudjeluju u skupinama i tako jačaju socijalne vještine.

Slijede praktični primjeri zadataka koji se izvode u prirodi.

Ključni pojmovi: matematika, priroda, učenje, 1. razred.

Škola u prirodi

Utjecaj prirode na čovjeka nije samo dobrobit i zdravlje. Zeleno okruženje smanjuje stres, poboljšava raspoloženje, smiruje nas i vraća k izvornosti, kontaktu s prirodom. Praćenjem i doživljavanjem šume, livade, učenicima se otvaraju nove vizije i stavovi prema prirodi. U skupinama su prisiljeni raditi zajedno, te tako razvijaju komunikacijske, socijalne i liderske vještine, sposobnost zajedničkog rada, međusobnog upoznavanja. Razvijaju kritičko mišljenje i prilagođavaju se grupi.

Zadatak učitelja također je njegovati odgovornost za prirodu, njezino očuvanje za buduće generacije i međusobne veze – ja i priroda. Samo na taj način svi ćemo moći uživati ​​u ljepotama koje nam priroda svakodnevno nudi. Učenike potičem da koriste različite perspektive za postizanje ciljeva i odluka.

Za poučavanje vani trebam pratnju jednog učitelja, što je lakše u prvom razredu jer postoje dvije učiteljice. Priprema za posao zahtijeva pronalaženje novih ideja, motivacija, igara, zagonetki ili čak priča. Planiranje nastave na otvorenom također uključuje razmatranje vremenskih uvjeta.

U prirodi – primjeri iz prakse

Prije odlaska u šumu razgovarali smo o poštivanju prirode, sigurnom kretanju cestom i stazama. Staza nas je vodila pored igrališta, školskog vrta, voćnjaka, vinograda, polja. To smo iskoristili za učvršćivanje znanja.

Učenici su rado sakupljali prirodne materijale, testirali ih, osjećali i provjeravali sve mogućnosti korištenja te ih kasnije upotrebljavali za zadatke. Odabrani zadatci trebali su učvrstiti znanje iz matematike. Upute za rad nisu se morale ponoviti nekoliko puta jer su učenici vrlo pažljivo slušali i željeli su riješiti svaki novi zadatak.

Oblikujte broj

Učenik čita napisani broj na kartonu i oblikuje ga od prirodnih materijala. Primjer: četrnaest (oblikuje brojku 14 od žireva).

Slika 1Slika 2
Slika 1, 2: Oblikuje broj


Od prirodnih materijala (npr. odljevci, štapići, lješnjaci) izmišlja slijed i nastavlja ga.

Slika 3
Slika 3. Slijed


Učenik broji: stupove na ogradi, drveće (na primjer, samo šljive) u voćnjaku, redove u vinogradu, broj stabala jabuka u jednom redu uz cestu.

Slika 4Slika 4: Broji listove

Slika i račun

Svaka grupa dobije račun ispisan na kartici. Promatrajući okoSlika 5licu škole, mora pronaći predmete koji odgovaraju računu. Opišite i recite rješenje riječima. Primjer: 1 + 1 = __ (ljuljačka: 1 ljuljačka + 1 ljuljačka = 2 ljuljačke). 6 + 6 = __ (crvene i žute točke na tlu: 6 crvenih točaka + 6 žutih točaka = 12 točaka).

Slika 5. Pronađe ljuljačke

Slika 6Pronađite broj

Svaka grupa dobije brojku zapisanu na listiću. Mora pronaći odgovarajući broj predmeta. Primjeri: 4 (navode 4 klupe ispred škole, grm ima 4 debele grane, na grančici su 4 lista), 1 (jedan orah raste u voćnjaku), 3 (3 breze u blizini škole, u 3 reda zasađene su jabuke u voćnjaku).

Slika 6. Pronađe broj 2

Postavite račun

Slika 7Račun je napisan na kartici, a učenici ga postavljaju i izračunavaju s pomoću prirodnih materijala. Primjer:    12 + 4 = __ (stave jedan češer – to je deset, i 2 lješnjaka, a na drugu hrpu stave još 4 lješnjaka).

Slika 7. Računa s pomoću prirodnih materijala

Duljina, širina, visina, debljina, dubinaSlika 8

Usporedite dva predmeta u prirodi i objasnite odgovarajućim rječnikom (hrast je viši od bagrema, deblo bukve deblje je od bagrema).

Slika 8. Lijevi grm je manji od desnog

Odnosi s veličinom

Prebrojavaju i uspoređuju brojeve i skupove s prirodnim materijalima. Primjer: s lijeve su strane 4 breze, a s desne njih 6, dakle 4 < 6 ​​(4 je manje od 6).

Slika 9Slika 10Slika 11Slika 9, 10, 11. Uspoređuje brojeve


Zadatak: pronađite predmet i recite kakva je oblika. Primjer: krug (žir, gljiva, list), trokut (kamen, list).

Slika 16Slika 17Slika 13Slika 15
Slika 14Slika 12
Slika 12, 13, 14, 15, 16, 17: Pronađe oblike

Riješi račun

Na kartici je račun, riješite ga, samo oblikujte rezultat od prirodnih materijala (16 – 5 = __, od listova oblikuje ​​brojku 11).

Slika 18Slika 19Slika 20Slika 18, 19, 20: Oblikuje od prirodnih materijala

Računam s kutijom za jaja

U kutiju za jaja stavljaju kamenčiće, žireve ili kestene i pomažu si u izračunu. Primjer: 8 + 2 = __ (u okvir stavi 8 žireva, a zatim dodaje 2. Koliko ih je ukupno? 10).

Slika 21
Slika 21: Račun – žir


Učenici rade u grupi. Elastične niti povezuju od jednog do drugog stabla i tako tvore oblike.

Slika 22
Slika 22: Trokut od niti


U prirodi traže veze između predmeta i biljaka: veliko – malo, dugo – kratko, visoko – nisko, svijetlo – tamno.

Slika 23Slika 25Slika 26Slika 24
Slika 23, 24, 25, 26: Usporedba


Učenici uče da nas rad u prirodi obogaćuje. Ne samo znanjem poput npr. davanja naziva biljkama i životinjama, nego i vježbanjem matematike na razne načine. Poučavanje u prirodi uvijek se pokazalo vrlo uspješnim. Učenici vole sudjelovati i aktivni su sudionici u procesu učenja. Pomažu si, uspostavljaju kontakte, rade zajedno u grupi kako bi brže pronašli pravo rješenje. Razvijaju osjećaj za prirodu, brinu se o njoj i poštuju je. Na poslu se trudimo koristiti što više onih materijala iz prirode koji su već odbačeni, beskorisni. Mogućnost odabira materijala u prirodi velika je i svatko može odabrati vlastiti put do rješenja matematičkog problema. Ako želimo uključiti orijentacijski trening, onda u svoj rad uključujemo tablice i s aplikacijom CŠOD Misija vježbamo računanje, npr. Brojanje do 20. Učenici se raduju takvim avanturama i nesvjesnom učenju matematike u “šetnji”.


  1. Cornell, J. (1998). Veselimo se z naravo – naravoslovne dejavnosti za vse starosti. Celje: Mohorjeva družba.
  2. Gross, J. i sur. (2002). Z glavo v naravo. Ljubljana. Center šolskih in obšolskih dejavnosti.
  3. Györek, N. (2016). Gremo mi v gozd. Kamnik: Inštitut za gozdno pedagogiko.
  4. Marentič-Požarnik, B. (1980). Dejavniki in metode uspešnega učenja. Ljubljana: Univerzum.
  5. Marentič-Požarnik, B. (2016). Psihologija učenja in pouka: temeljna spoznanja in primeri iz prakse. Ljubljana: DZS.
  6. McCarthy, C. (2018, 22. svibanj). 6 reasons children need to play outside.
  8. Priročnik za učenje in igro v gozdu (2016). Ljubljana: Gozdarski inštitut Slovenije, Založba Silva Slovenica.
  10. Rajović, R. (2016). Kako z igro spodbujati miselni razvoj otroka. Ljubljana: Mladinska knjiga.
  11. Vilhar, U. i Rantaša, B., ur. (2016). Priročnik za učenje in igro v gozdu. Ljubljana. Gozdarski inštitut Slovenije, Založba Silva Slovenica.
  12. Zupan, A. (2007). Od igre in dela do znanja. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

Pogled u sunčane dane

Broj 134, lipanj 2021.
ISSN 1848-2171

Evo i ova nastavna godina je stigla kraju! Trenutačno smo svi u pisanju izvješća, matičnih knjiga, svjedodžba i pohvalnica te potpora i kontrola razrednicima. Napokon u društvu svojih kolega, ali pridržavajući se epidemioloških mjera. Smile

A sada uživajte u zanimljivim i “svježim” člancima koji će vas sigurno rashladiti u ovim vrućim ljetnim praznicima.

Čitamo se opet u rujnu!

Za početak pročitajte kako su Google i udruga Suradnici u učenju organizirali prvu online edukaciju međunarodnog programa “Budi internet genijalac”.


Edukacija je namijenjena učiteljima koji žele u svoje poučavanje uključiti aktivnosti za podizanje kompetencija odgovornog i primjerenog korištenja interneta prema kurikulumu „Budi internet genijalac“, kojeg je osmislio Google. Više…

APogled_iconleš Vunjak je predstavio alternativne tipovi zadataka, a to su zadaci koje obično ne nalazimo u školskim udžbenicima i zbirkama vježbi. Neki od takvih zadataka su sadržajno bogati problemi, inverzni ili obrnuti problemi i zadaci s razvrstavanjem. Više…

Pogled_iconRazvoj i jačanje čitalačkih vještina ključne su zadaće učitelja, ali i stručnih suradnika školskih knjižničara jer dokazano pozitivno utječu na emocionalni i kognitivni razvoj učenika. Daniela Kuić i Tea Radić donose pregled aktivnosti za poticanje čitanja u razrednoj nastavi. Više…

Pogled_iconTijekom trajanja škole na daljinu Darja Lipovec odlučila se prilikom poučavanja kemije koristiti projektnim radom. Važno je da radom kod kuće učenici steknu što više praktičnog znanja koje istovremeno se može procijeniti i ocijeniti. Više…

Pogled_iconZnamo da većina učenika ne voli matematiku. Monika Hóbor kao učiteljica razredne nastave stalno razmišlja kako približiti matematiku učenicima da bi im bila zanimljivija, zabavnija i, naravno, lakša. I tako je u nastavu matematike uvela igru. Smile Više…

Pogled_iconU svojem radu Tamara Vamberger je predstavila smjernice za rad s učenicima s emocionalnim poremećajima i poremećajima u ponašanju te želi ukazati na nedostatno stjecanje kompetencija savjetodavnog osoblja u javnom školstvu za rad s djecom s posebnim potrebama. Više…

Pogled_iconSamostalnost svakog pojedinca se gradi cijeli život. Janja Štefanič Guštin provela je razne aktivnosti koje se izvode na satovima stranih jezika na razini razreda u dogovoru s razrednicima u poticanju dječje samostalnosti. Više…

Pogled_iconPosao sadašnjosti i budućnosti jest programiranje, stoga će dobri programeri brzo pronaći dobro plaćen posao. Gordana Sekulić-Štivčević u svojem članku željela je odgovoriti na pitanja: Moraju li programeri biti dobri matematičari? Koliko će nam znanje matematike olakšati rješavanje problemskih zadataka u programiranju? Više…

Pogled_iconUmjetna inteligencija sve se više integrira u svaki aspekt našeg života. U projektu ME THE A.I #2.0 učenicima su predstavljene nove tehnologije poput umjetne inteligencije i strojnog učenja, pomažući im da shvate kako djeluje umjetna inteligencija, koja su ograničenja, kako umjetna inteligencija može pomoći ljudima u suočavanju s najvećim svjetskim izazovima, ali i koja se etička pitanja moraju uzeti u obzir, kaže jedna od autorica Iva Naranđa. Više…

Pogled_iconUčenici Osnovne škole Frana Metelka Škocjan i učitelj Igor Pangrčič sudjeluju na različitim Erasmus+ projektima. U sklopu jednog projekta u Estoniji napravili su vozilo na temelju Arduino platforme koje se na stazi utrkivalo putem pametnog Android uređaja. Više…

Pogled_iconU školi se na satu prirode svake godine dotakne tema bacanja hrane, a to je hrana koju ne pojedemo i bacimo je u smeće. U razrednom projektu Katarinu Vinšek i njene učenike je zanimalo kamo ide hrana koju učenici ne pojedu. Više…

Pogled_iconMaja Krajnc je provela istraživanje u kojem je ispitala kako srednjoškolski učitelji procjenjuju odnose s učenicima i suradnicima tijekom rada na daljinu i uspostavljaju li međuljudske odnose. Više…

Pogled_iconUčenici OŠ Tučepi vole pokazati što mogu, znaju i što su naučili, ali nemaju priliku pokazati svoja postignuća. Marlena Bogdanović je odlučila organizirati razredna natjecanja iz različitih područja kako bi svi učenici dobili svoju priliku. Više…

Pogled_iconUz potporu mentora Sanje Pavlović Šijanović i Davora Šijanovića vukovarski gimnazijalci krenuli su stopama prošlogodišnjih maturanata, nastavljajući raditi na brojnim nedovršenim projektima i razvoju novih ideja pri čemu su osvojili i prvo priznanje i zlatnu medalju na INOVA-MLADI 2020. Više…

Pogled_iconSanja Janeš se u svojem članku pozabavila s jednadžbama, ishodima i primjerima, odnosno kako poučavamo i zašto učenici imaju poteškoća s jednadžbama. Više…

Pogled_iconUčenici dodatne nastave informatike uz vodstvo učitelja Zorana Hercigonja odlučili su se za programiranje povijesnog digitalnog uređaja Tamagotchija uz pomoć micro:bit tehnologije. Više…

Gordana Lohajner

Može li informatika bez matematike?


Gordana Sekulić-Štivčević


Posao sadašnjosti i budućnosti jest programiranje, stoga će dobri programeri brzo pronaći dobro plaćen posao. Većina programera voli i razumije matematiku. Moraju li programeri biti dobri matematičari? Koliko će nam znanje matematike olakšati rješavanje problemskih zadataka u programiranju?

Ključne riječi: programiranje, matematika, povijest, logičke pogreške.

Zavirimo u povijest

U prošlosti su matematičari dali velik doprinos razvoju računalstva. U nastavku ćemo se prisjetiti nekih matematičara.

Blaise Pascal

Blaise Pascal, francuski matematičar, fizičar i filozof, napravio je Pascalinu (prvi računalni stroj). Pascal je počeo raditi Pascalinu (aritmetički kalkulator koji je mogao zbrajati i oduzimati) kad je imao 19 godina kako bi pomogao svom ocu porezniku. Stroj je mogao raditi s brojevima do 9 999 999. Stroj je koristio dekadski brojevni sustav i nije bio dovoljno precizan pa je proizvodnja i prodaja prekinuta.

Slika 1. Blaise Pascal                             Slika 2. Pascalina

Charles Babbage

Charles Babbage, engleski matematičar i filozof, tvorac je diferencijalnog i analitičkog stroja. Diferencijalni stroj mehaničko je računalo koje je dizajnirano za računanje polinomnih funkcija, ali se mogao koristiti i za aproksimaciju. Stroj nije dovršen za vrijeme Babbbageova života. U čast 200. godišnjice rođenja matematičara Londonski Muzej znanosti konstruirao je Diferencijalni stroj 2 koji je bio potpuno funkcionalan i ispisivao točno rješenje na 31 znamenku, što je tri puta više znamenaka nego što ispisuje današnji prosječan kalkulator.

Analitički je stroj radio s binarnim brojevnim sustavom i imao sastavne dijelove kao današnja računala (ulazno-izlaznu jedinicu, jedinicu za pohranjivanje podataka, centralnu jedinicu za obradu podataka – procesor, programski jezik).

Slika 3. Charles Babbage               Slika 4. Babbageov stroj

Alan Turing

imageAlan Turing, britanski matematičar, kriptograf i teoretičar računarstva, smatra se ocem modernog računarstva. U vrijeme Drugog svjetskog rata sudjelovao je u izgradnji Colossusa, stroja koji je služio za dešifriranje poruka, a nakon rata proučavao je umjetnu inteligenciju.

Slika 5. Alan Turing

A kako je danas?

Vratimo se u sadašnjost i to na same početke učenja programiranja. Pri upoznavanju s novim programskim jezikom najveći problem učenicima predstavlja sintaksa programskog jezika. Kako bi počeli pisati programe, učenici moraju naučiti sintaksu programskog jezika, zapamtiti ključne riječi i pravila. No je li to najveći problem u programiranju? Nije. Programski će nas jezik upozoriti ako neispravno napišemo ključnu riječ. Obično su ključne riječi napisane u drugoj boji (npr. u Pythonu su to zelena, ljubičasta, crna i crvena boja). Možemo načiniti „šalabahter“ ili tablicu s popisom naredbi, funkcija i operatora te ju koristiti u početnom pisanju programa. U čemu je onda problem kod programiranja? Zašto je programiranje tako teško, ali i tako traženo?

Obično se kod početnika u programiranju, koji uspješno napišu program koji radi, dogodi euforija.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Dijeljenje dva broja

Primjer 1. Napiši program koji će za dva učitana broja ispisati rezultat aritmetičkih operacija. Za rješavanje zadatka potrebno je poznavati naredbe za unos i ispis podataka te aritmetičke operatore (int, input, print, +, -, *, /).

imageSlika 6. Rješenje zadatka

Ako su ulazne vrijednosti argumenata 3 i 4, rezultat će biti kao na slici 7.

imageSlika 7. Ispis rezultata

Unesemo li argumente 4 i 0, dobit ćemo rezultat koji je prikazan na slici 8.

imageSlika 8. Ispis rezultata pri dijeljenju s 0

Program nas je porukom upozorio na grešku: dijeljenje s 0 nije dopušteno (ZeroDivisionError: division by zero).

Popravimo program da radi

Program ćemo popraviti tako što ćemo dodati ograničenje, odnosno ispitat ćemo je li djelitelj jednak 0. Ako jest, nećemo izvršiti operaciju dijeljenja.

imageSlika 9. Popravljen zadatak

Sada program radi za sve parove brojeva (unesene vrijednosti). U ovom primjeru olakšavajuća je okolnost što program ispisuje poruku o greški te ga lako možemo popraviti.

Pogledajmo sljedeći jednostavan primjer koji će ispisivati rezultate za sve ulazne vrijednosti bez upozorenja o greški, a neće dobro rješavati postavljeni zadatak.

Opseg trokuta

Primjer 2. Napiši program koji će zatražiti unos tri stranice trokuta te izračunati i ispisati opseg trokuta.

Formulu za računanje opsega trokuta znaju gotovo svi učenici prvog razreda srednje škole. Vjerojatno ova rečenica zvuči banalno, ali formulu za opseg i površinu kruga veliki broj učenika ne zna. Razlog je taj što i nakon završene gimnazije, kad se polaže matura iz više razine matematike , nije potrebno napamet znati spomenute formule. No vratimo se na naš zadatak.

Slika 10. Rješenje zadatka

Slika 11. Ispis rezultata

Upisali smo nekoliko primjera za dužinu stranica i program je izračunao opsege. Gotovo svi učenici „uspješno“ riješe zadatak te im nije jasno zašto rješenje nastavniku nije prihvatljivo. Kad ih se uputi da konstruiraju trokute s podacima iz primjera, postaje jasno da je prije računanja opsega potrebno ispitati postoji li trokut sa zadanim stranicama. I tu nastaje razočaranje u programiranje. Zapravo shvate da pisanje programa nije opušteno nizanje naredaba i da je potrebno puno razmišljati i promišljati.

Riješimo ispravno zadatak: prije računanja opsega trokuta trebamo ispitati je li zadovoljen uvjet da je svaka od stranica trokuta manja od zbroja druge dvije stranice.

Slika 12. Popravljen zadatak

Iz navedenog se postavlja pitanje jesmo li napretkom tehnologije i računala „oslobodili“ učenike od razmišljanja te ima li to koristi za njih? Trebaju li programeri poznavati matematiku?