Digitalna osposobljenost učitelja

u epidemiji

mateja_RL

Mateja Repovž Lisec

Sažetak

Obrazovanje na daljinu se vrlo usklađeno odvijalo u Osnovnoj školi Tržišče. Rezultati su pokazali da su učitelji i učenici bili svakodnevno u kontaktu ili barem dva ili više puta na tjedan putem videokonferencija ili uputa za usmjeravanje preko mrežne nastave. Pri korištenju digitalnom tehnologijom, učitelji su ponajviše napredovali na svim područjima digitalnih kompetencija te imaju vještine potrebne za upotrebu različitih internetskih alata. Učitelji smatraju da će i u poučavanju u školi zadržati neke od pristupa poučavanja.

Ključne riječi: poučavanja, informacijsko-komunikacijska tehnologija, profesionalni razvoj, nastava na daljinu

1. Uvod

Raširenost virusa COVID-19 i proglašenje epidemije je po cijelom svijetu prouzročilo masivno zatvaranje škola, kako u prvom tako i u drugom valu epidemije. S obzirom na trenutno stanje digitalne osposobljenosti učitelja i opremljenost škola digitalnom tehnologijom, škole su se morale snaći preko noći, a sve to utjecalo je na učinkovitu domišljatost učitelja i prilagodbu stanju u kojem smo se našli.

U zadatku sam proučila digitalnu osposobljenost učitelja Osnovne škole Tržišče u obrazovanju na daljinu te na koji način i koliko često su učitelji uspostavljali kontakt s učenicima. Rezultati istraživanja pružili su uvid u upotrebu internetskog alata od strane učitelja, a posebno osposobljenost za rukovanje različitim internetskim alatima u Osnovnoj školi Tržišče.

2. Prezentacija prikupljenih podataka o primjeru iz prakse

Osnovna škola Tržišče manja je škola u Općini Sevnica. Škola ima 122 učenika i 17 učitelja. Svi učitelji u školi imaju računala u učionicama te interaktivne ploče koje se upotrebljavaju u nastavi u razredu. Na taj način svakodnevno i u nastavi u razredu privikavamo učenike na upotrebu različitih internetskih okruženja, kao i na upotrebu različitih aplikacija u računalnoj učionici koja ima 25 računala.

Svi učitelji i učenici Osnovne škole Tržišče dobili su odgovarajuća računala i kamere, a isto tako, svima smo također osigurali modeme za nesmetano obrazovanje na daljinu. Vodstvo je također osiguralo odgovarajuću tehničku podršku učiteljima i učenicima.

Na razini škole dogovorili smo jedinstveni komunikacijski kanal podučavanja na daljinu od 1. do 5. razreda te od 6. do 9. razreda. Od 1. do 5. razreda u obrazovanju na daljinu upotrebljavali smo internetsko okruženje Google Classroom, a videokonferencije smo obavljali preko sustava za videokonferencije Zoom. Od 6. do 9. razreda sve aktivnosti obavljali smo preko internetskog okruženja za učenje MS Teams.

Pored jedinstvenog sustava obrazovanja, uskladili smo i raspored sati te ga prilagodili tako da smo uveli blok-satove. Time smo htjeli izbjeći situaciju u kojoj bi učenici u rasporedu sati imali previše različitih predmeta u jednom danu. Vodstvo škole je učitelje koji provode nastavu u odjelima produženog boravka preraspodijelilo tako da su podučavali učenike s poteškoćama u učenju.

3. Rezultati i rasprava

Podaci su prikupljeni putem upitnika. U tu svrhu pripremila sam već postojeći upitnik kojeg su autori Rupnik Vec i drugi (2020) upotrijebili u istraživanju naziva Analiza obrazovanja na daljinu za vrijeme prvog vala epidemije COVID-19 u Sloveniji 2020. godine (Analiza izobraževanja na daljavo v času prvega vala epidemije covida-19 v Sloveniji v letu 2020).

3.1. Uspostavljanje kontakata s učenicima

Većina učitelja razredne nastave (71 %) je u radu na daljinu kombinirao izvođenje nastave putem videokonferencije i usmjeravanje učenja preko pisanih uputa i aktivnosti u Google Classroomu, dok je većina predmetnih učitelja (70 %) nastavu izvodila tako da su s učenicima uspostavili kontakt putem videokonferencija (MS Teams). Nijedan od učitelja nije samo prosljeđivao pisane upute učenicima za samostalan rad putem elektroničke pošte. Tako su učitelji razredne nastave (57 %), kao i predmetni učitelji (90 %) na tjednoj razini najčešće upotrebljavali videokonferencije preko Zooma ili MS Teamsa za uspostavljanje kontakta s učenicima, dok je otprilike jedna trećina učitelja razredne nastave najčešće pružala upute i aktivnosti pomoću internetskog okruženja za učenje Google Classroom.

Čak 86 % učitelja razredne nastave bilo je u svakodnevnom kontaktu s većinom učenika, a većina predmetnih učitelja (70 %) je s većinom učenika bila u kontaktu dva ili tri puta na tjedan. Smatram da je to posljedica činjenice da predmetni učitelji prema rasporedu sati imaju manje sati s učenicima za pojedinačne predmete. Kao primjer mogu navesti prirodne znanosti koje su prema rasporedu sati samo dva ili tri puta na tjedan te je stoga učiteljica prirodnih znanosti bila u kontaktu s učenicima samo dva ili tri puta na tjedan, budući da tako zahtijeva priroda posla. Na razini razreda, učitelji iz odjela produženog boravka koji su za vrijeme epidemije preuzeli rad s učenicima koji imaju poteškoće u učenju susretali su se s pojedinim učenicima dva ili tri puta na tjedan. Razumljivo je da su predmetni učitelji, kao učitelji predmetne nastave, bili manje u kontaktu sa svim učenicima, budući da je svaki učitelj podučavao samo nekoliko sati na tjedan po predmetu, a istovremeno je do toga došlo također zbog reorganizacije rasporeda sati.

3.2. Osposobljenost učitelja

Sljedeći odjeljak odnosio se na osposobljenost učitelja na području digitalne tehnologije u nastavi na daljinu. Pitanja su bila usmjerena na traženje odgovora na kojim područjima digitalnih kompetencija su učitelji napredovali za vrijeme obrazovanja na daljinu te koliko su digitalno pismeni.

41 % učitelja izjavilo je da su znatno napredovali u upotrebi digitalne tehnologije pri aktivnom uključivanju učenika, 41 % učitelja da su jako napredovali u odabiru različitih digitalnih izvora za podučavanje i učenje, a 41 % učitelja je umjereno napredovalo u upotrebi digitalne tehnologije za povratne informacije učenicima. Učitelji su manje napredovali u upotrebi digitalne tehnologije za poboljšanje komuniciranja s učenicima, suradnicima i roditeljima, u upotrebi tehnologije za diferencijaciju i individualizaciju, u izradi i reprodukciji digitalnih izvora u svrhe podučavanja te u upotrebi digitalne tehnologije za poboljšanje sudjelovanja učenika. Najmanje su napredovali u upotrebi digitalne tehnologije za formativno i sumativno vrednovanje te u poštivanju sigurnosti i zaštite na internetu.

Smatram da su učitelji bili primorani usavršiti znanje na području upotrebe digitalne tehnologije i uspostavljanja komunikacije s učenicima te su na tim područjima također najviše napredovali. S obzirom na to da su učitelji očekivali da će se škole ubrzo otvoriti, potrebne ocjene dobili su tijekom nastave u razredu, stoga se učitelji nisu osposobili na tom području. U skladu s preporukama za ocjenjivanje znanja u osnovnim školama, iz ZRSŠ-a su naglasili da učitelji ocjenjuju znanje koje je na odgovarajući način obrađeno, utvrđeno te također provjereno pomoću različitih načina i metoda. Neki učitelji su također svu utvrđenu materiju ocjenjivali usmeno putem videokonferencija, uzimajući u obzir da je znanje prethodno ponovljeno, utvrđeno i provjereno. Jesu li učitelji ocjenjivali stečeno znanje ili ne ovisilo je o odluci pojedinog učitelja i razreda.

4. Zaključci

U današnje vrijeme, učitelji moraju sva stečena znanja smisleno uključiti u nastavu i poticati učenike na aktivno sudjelovanje i na daljinu. Podučavanje ne smije biti monotono, stoga učitelji moraju objašnjavanje preko videokonferencija ili u internetskim okruženjima obogatiti interaktivnim elementima koji će učenike dodatno motivirati u njihovom radu.

Snažno se preporučuje imati ujednačenu upotrebu okruženja za učenje i videokonferencija u školi, a što se ustanovilo kroz epidemiju. Učitelji trebaju isprobati različite načine metode rada s učenicima. Kao što svaki učitelj, tako i svaka grupa, razred različito funkcionira u razredu i u nastavi na daljinu. Učitelji trebaju izabrati one internetske alate koji odgovaraju njihovim vještinama te si trebaju omogućiti vlastiti tempo praćenja promjena, u skladu sa svojim mogućnostima i interesom. Mogu isprobati koristiti različite internetske alate i tako oduševiti svoje učenike, a isto tako mogu dijeliti svoja znanja sa suradnicima u timu i u školi.

5. Literatura

  1. Rupnik Vec, T. i drugi (2020). Analiza izobraževanja na daljavo v času prvega vala epidemije covida-19 v Sloveniji. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za školstvo. Dostupno na adresi
    https://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/IzobrazevanjeNaDaljavo_Dec2020/, 24. 4. 2021.

Konstruktivističko poučavanje

matematike

alenka_plevnik

Alenka Plevnik

Sažetak

Učitelji u školi ne težimo samo k tome da bi učenicima predali čim više znanja i informacija, već k tome da je to pridobiveno znanje kvalitetno i prije svega upotrebljivo. Zbog toga je zadatak suvremenog učitelja, da u poplavi informacija i podataka kritično presudi što je ono važno za gradnju kvalitetnog i upotrebljivog znanja kod učenika.

Konstruktivizmom se bavio još i Piaget, koji kaže, da ljudi svjesno stvaraju znanje. To znači, da svoje znanje dobivamo na temelju iskustava. Kod konstruktivizma je naglasak na dobivanju znanja kao posljedice mentalne aktivnosti kroz vlastita iskustva. Konstruktivizam zagovara tezu, da znanje ne možemo nekome dati, već da ga moramo sami s vlastitom mentalnom aktivnošću izgraditi i oblikovati (Buh, 2015).

Ključni pojmovi: konstruktivizam, matematika, učitelj, učenje.

Abstract

Teachers at school try not only to pass onto students as much knowledge and information as possible, but in particular to ensure the knowledge obtained is solid and useful. Therefore, the task of the teacher today in our society, flooded with a wealth of information, is to demonstrate critical judgement in choosing what is essential for building up quality knowledge that can be applied.

Constructivism is a field of study explored already by Piaget who said that knowledge is actively created, meaning that it is gained through experience. Constructivism stresses the importance of gaining knowledge through thinking activity triggered by our own experience. It sets off with a premise that knowledge cannot be given to anyone, but that it should be built up and formed by one’s own thinking activity. (Buh, 2015).

Key words: constructivism, mathematics, teacher, studying.

1. Uvod

Konstruktivistično zasnovana nastava je usredotočena na učenika, na njegovo prethodno znanje, iskustva i mentalne strukture. Učenik je aktivan sudionik učenog procesa te je odgovoran za svoja znanja i iskustva. Kod konstruktivizma ne postoji klasičan prijenos znanja od učitelja do učenika, već je važna poticajna okolina, koju osmišljava i priprema učitelj. Ta okolina učeniku omogućuje samostalno prikupljanje znanja (Buh, 2015).

2. Konstruktivizam

Konstruktivizam zagovara kvalitetno pridobiveno znanje, što znači, da je bolje, da dijete poznaje manju količinu korisnih podataka i znanja, nego veću, koju vrlo brzo izgubi odnosno zaboravi (Marentič-Požarnik, 2004). Jedna od strategija učenja, koju predlažu konstruktivisti je neprestano pokretanje kognitivnog sukoba. Pokrećemo ga sa smislenim postavljanjem pitanja ili sa sociokognitivnim konfliktom. Učenici prognoziraju rezultate koji u krajnosti mogu biti suprotni njihovim prognozama. Tako nastaje konflikt između učenikove pojmovne strukture i rezultata eksperimenta što potiče izazove za razmišljanje. Na taj način učenici osjete potrebu za širenjem svoga znanja (Žakelj, 2003).

Sam konstruktivni sukob, koji izazovemo kod učenika nije dovoljan, ako znanje u nastavku posreduje učitelj. Učenici s vlastitom mentalnom aktivnošću, sa samostalnim otkrivanjem, odnosno sa odgovarajućim vodstvom od strane učitelja, samostalno dolaze do rezultata i bogate vlastita poimanja. (Žakelj, 2003).

Cilj konstruktivizma je bolja kvaliteta znanja svih sudionika u procesu učenja. Znanje ne znači samo znati, već i razumjeti, kritički procijeniti te znati upotrebljavati pridobiveno. Konstruktivistični didaktični model treba aktivnog učitelja s aktivnim načinom poučavanja. Najvažnija nit vodilja je, da dijete gradi svoje znanje s vlastitim iskustvima, ali također je važna i okolina za učenje (Buh, 2015).

2.1. Faze poučavanja kod konstruktivizma

Kod konstruktivizma je temelj učenikovo predznanje i njegova iskustva. Takvo se poučavanje odvija u sljedećim fazama:

  • Otkrivanje već postojećih djetetovih ideja, na temelju kojih učitelj odabire ciljeve, temu, sadržaje.
  • Planiranje aktivnosti i iskustava, koje će djetetu pomoći oblikovati i nadograditi znanje.
  • Promjena prvotnih djetetovih zamisli. Dijete promjenu osvijesti i utvrdi nova usvojena znanja (Slomšek, 2009).

2.2. Uloga učenika i učitelja kod konstruktivističke nastave

U prvom planu konstruktivističkog modela je interaktivni odnos između učitelja i učenika. Učitelj vodi i usmjerava učenika na putu do postizanja postavljenih ciljeva. Učitelj priprema situacije, u kojima učenici sa svojom vlastitom mentalnom aktivnošću grade znanje. Zadatak učitelja je, da stvori uvijete uz koje može doći do učenja i u kojima će učenik oblikovati znanje. Glavni zadatak učitelja je da pripremom konkretnih aktivnosti zaintrigira učenike, da postanu aktivni (Velikonja, 2004).

Kod takvog načina poučavanja moraju učenik i učitelj imati povjerljiv odnos kao partneri. Takav način poučavanja od učitelja zahtjeva više priprema, znanja, kreativnosti, prilagodljivosti, otvorenosti i sposobnost probuđivanja zanimanja i entuzijazma (Buh, 2015).

Konstruktivistični način poučavanja temelji se na zajedničkom radu učenika i odraslih. Učiteljeva uloga je, da učeniku pruža potporu i potiče ga na razmišljanje. Učenici izvode aktivnosti, učitelj promatra iz pozadine, ali je uvijek tu na raspolaganju, ako učenici trebaju pomoć.

2.3. Metode konstruktivističkog poučavanja

Kod konstruktivističkog poučavanja ne možemo govoriti o tipičnim konstruktivističkim metodama. Primjerene su sve metode, ako te kod učenika potiču razmišljanje, nove spoznaje, proširuju interese i šire horizonte. Metode konstruktivističkog poučavanja su:

  • projektna nastava,
  • igra uloga,
  • suradničko učenje,
  • terenski rad,
  • problemska nastava. (Marentič-Požarnik, 2008).

2.3.1. Projektna nastava

Ovaj način rada povezuje učiteljevo nastavno vodstvo i uključuje samostalan rad učenika. Učitelj ima ulogu inicijatora, suputnika, pomoćnikSlika 1a i vodi aktivnosti učenika, učenici su glumci i preuzimaju odgovornost za svoj rad. Kod ove metode dolazi do povezivanja znanja pridobivenog na nastavi, sposobnosti i spretnosti sa znanjima, koje učenici pridobivaju sa iskustvima. (Klun, 2015).

Slika 1. Projektna nastava

2.3.2. Igra uloga i simulacija

Učenje se kod ove metode odvija s aktivnim uključivanjem pojedinaca u proces mišljenja, doživljenja, djelovanja i vrednovanja. Učenje proizlazi iz učenikovih iskustava i njegovog prethodnog znanja (Klun, 2015).

Slika 3Ovom metodom učenici rješavaju konkretne probleme u zamišljenim životnim situacijama. Uče kako se ponašati u nepredvidivim situacijama, kad je teoriju potrebno upotrijebiti u praksi.

Slika 2. Igra uloga – trgovina

2.3.3. Suradničko učenje

O suradničkom učenju govorimo kada učenici rade u manjim skupinama s namjerom, da bi se dosegnuo zajednički cilj. Učenici dobivaju od svojih vršnjaka važne informacije, uzorke, strategije (postupke) rješavanja i načine razmišljanja. (Marentič-požarnik, 2000).

Takvo učenje utječe na poboljšanje školskih postignuća, socijalni i emocionalni razvoj pojedinca, pomoć vršnjaka, veću unutarnju motivaciju, manjak straha i bolju razrednu klimu. (Peklaj, 2001).

Slika 2Slika 3. Suradničko učenje

2.3.4. Terenska nastava

Terenska nastava je metoda, koja je učenicima veoma zanimljiva, aktivira njihove mentalne procese i omoguća neposredan dodir s problemima i pojavama. Učenje se odvija u stvarnom, realnom okruženju i potiče sudjelovanje. Ovdje pripada i promatranje različitih pojava u prirodi, mjerenje različitih vrijednosti, fotografiranje i prikupljanje različitih podataka. (Radanovič, 2009).

2.3.5. Problemska nastava

Kod problemske nastave dolazi do neposrednog vođenog učenja, kojeg čine neposredne i posredne problemske situacije. U središtu je učenik, do novih spoznaja Slika 4dolazi traženjem, razmišljanjem, argumentiranjem, provjeravanjem. Problemska nastava je najkreativnija kada učenici sami traže načine i postupke rješavanja. Kod problemske nastave se razvija posebna vrsta mišljenja – kreativno mišljenje. (Strmčnik, 1992).

Slika 4. Problemska nastava

3. Zaključak

Činjenica je, kako je već i spomenuto u tekstu, da je nastavni plan i program zasnovan na način koji od učitelja zahtjeva, da učenicima posreduje čim veću količinu informacija. Pitanje koje se postavlja je, je li smo kao učitelji sposobni prijeći tu granicu i sa svojom autonomnom prosudbom odvojiti važno od manje važnog, potražiti suštinu i djeci omogućiti gradnju od temelja, da postanu snažni i čvrsti? Mnogi učitelji se na to još nisu odvažili, međutim ima ih dosta koji su hrabro zakoračili na put konstruktivističkog poučavanja. Tradicionalni način poučavanja će i dalje biti prisutan, ali ako ćemo u njega uključivati elemente konstruktivizma, neće biti i dalje tako krut i usmjeren samo na sadržaj koji treba obraditi.

4. Literatura

  1. Buh, D. (2015). Konstruktivistični prostop pri poučevanju temperature in toplote v 5. razredu OŠ. [Magistrsko delo]. Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.
  2. Klun, N. (2015). Projektno delo pri pouku matematike. Didakta. 25(184), 36-37.
  3. Marentič-Požarnik, B. (2000). Psihologija učenja in pouka. Andragoška Spoznanja 6(4), 150-152.
  4. Marentič-Požarnik, B. (2008). Konstruktivizem na poti od teorije spoznanja do vplivanja na pedagoško razmišljanje, raziskovanje in učno prakso. Sodobna pedagogika 59(4), 28-51.
  5. Peklaj, C. (2001). Sodelovalno učenje ali Kdaj več glav več ve. Ljubljana, DZS.
  6. Radanovič, A. (2009). Terensko delo pri pouku družbe. [Diplomsko delo]. Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
  7. Slomšek, U. (2009). Primeri konstruktivističnega poučevanja pri predmetu spoznavanje okolja. [Diplomsko delo]. Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.
  8. Strmčnik, F. (1992). Problemski pouk v teoriji in praksi. Didakta, Ljubljana.
  9. Velikonja, M. (2004). Konstruktivizem v šoli in izobraževanje učiteljev. AS Andragoška spoznanja, 10(3), str. 66-67.
  10. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko. Ljubljana: ZRSŠ.

Samovrednovanje u nastavi matematike

sanja_janes

Sanja Janeš

Samovrednovanje i samoregulacija učenja su dio kompetencije Učiti kako učiti. Važne su jer osnažuju stav prema vlastitom učenju, sposobnostima i napretku. Samovrednovanje je kompetencija koju treba učiti, njegovati i razvijati od kad čovjek počinje učiti. Samoregulacija učenja je posljedica kvalitetnog samovrednovanja vlastitog učenja i znanja. Proces samovrednovanja ne može se odvojiti od procesa učenja i zato je sasvim prirodno ga poticati tijekom nastavnog procesa. Učitelj treba potaknuti učenike na samovrednovanje i samoregulaciju učenja kroz aktivnosti koje im pripremi za nastavu. U nastavku članka opisana je jednostavna organizacija aktivnosti koja potiče samovrednovanje i samoregulaciju učenja.

Ključne riječi: samovrednovanje, samoregulacija, matematika, tablica.

Aktivnost je provedena u 8. razredu osnovne škole pri realizaciji odgojno-obrazovnih ishoda:

  • MAT OŠ B.8.4. Rješava i primjenjuje sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama.
  • MAT OŠ B.8.1. Računa s algebarskim izrazima u R.
  • MAT OŠ B.8.3. Rješava i primjenjuje linearnu jednadžbu.

Očekivanja međupredmetne teme Učiti kako učiti:

  • uku B.3.1. Planiranje – Uz povremenu podršku učenik samostalno određuje ciljeve učenja, odabire strategije učenja i planira učenje.
  • uku B.3.2. Praćenje – Uz povremeni poticaj i samostalno učenik prati učinkovitost učenja i svoje napredovanje tijekom učenja.
  • uku B.3.3. Prilagodba učenja – Učenik regulira svoje učenje mijenjanjem plana ili pristupa učenju, samostalno ili uz poticaj učitelja.
  • uku B.3.4. Samovrednovanje/ samoprocjena – Učenik samovrednuje proces učenja i svoje rezultate, procjenjuje ostvareni napredak te na temelju toga planira buduće učenje.

Ishodi aktivnosti su:
Učenik:

  • Rješava sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama metodom suspstitucije.
  • Rješava sustav dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama metodom suprotnih koeficijenata.
  • Provjerava točnost i smislenost rješenja
  • Kreira sustav ustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama proizašao iz zadatka riječima
  • Rješava problemsku situaciju kreiranjem sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama i rješava ju.

Vrednovanje:

Učenici su tijekom cijelog procesa učenja i poučavanja bili upoznati s kriterijima vrednovanja kroz rubriku u kojoj su sastavnice odabrane prema postavljenim ishodima aktivnosti. Time se proces vrednovanja, a i samovrednovanja, postavlja potpuno transparentno. Postavljanje kriterija pred sam proces učenja i poučavanja je odličan vodič učenicima za vlastito učenje i napredovanje kroz učenje. Praćenjem vlastitog uspjeha i napretka njihova motivacija za učenjem raste i postaju sigurniji u vlastite sposobnosti. Ovakvu rubriku lako je pretvoriti u rubriku za vrednovanje za učenje izmjenom kriterija ostvarenosti ishoda u:

  • izvrsno, vrlo dobro, dobro, zadovoljavajuće.
  • u potpunosti i samostalno, u potpunosti uz povremenu učiteljevu pomoć, djelomično uz povremenu učiteljevu pomoć, potrebna je stalna podrška.

A ako se želi oblikovati rubrika za vrednovanje kao učenje, u opisnicama se stavi izričaj u prvom licu jednine, na primjer: Samostalno i točno rješavam sustav metodom supstitucije.

Kriterije ostvarenosti se može preurediti i na tri razine i opisati, na primjer: u potpunosti, djelomično, potrebna pomoć.

Tablica 1. Rubrika Rješavanje sustava linearnih jednadžbi image

Pristupi vrednovanju:

  • Vrednovanje za učenje. Samovrednovanje. Svaki učenik dobiva tablicu u kojoj bilježi koliko je zadataka iz koje skupine riješio i napravio provjeru.
  • Vrednovanje za učenje. Učitelj na kraju sata provjerava usklađenost uratka u bilježnici i bilježenih rezultata. Upisuje bilješke u imenik.
  • Vrednovanje naučenog. Ukoliko učitelj zapazi dobar napredak kod pojedinog učenika može ga vrednovati i sumativno.

Tablica 2. Tablica za samovrednovanjeSlika1 Tablica za samovrednovanje

Slika2 Prikaz organizacije radaSlika 1. Prikaz organizacije rada

Vrijeme realizacije: dva školska sata

Učitelj u razredu organizira centre na kojima su pripremljeni zadatci po zahtjevnosti i to jasno komunicira s učenicima. Obrazlaže učenicima kakvi su zadatci i što se od njih, kao rješavača očekuje. Također im se obrazlaže da ne moraju rješavati sve zadatke već ako misle da ih znaju riješiti napuštaju taj centar i prelaze na sljedeći na kojem su zadatci zahtjevniji. Zadržavaju se na centru onoliko koliko sami procjenjuju da im je dosta te da su spremni prijeći na težu razinu. Taj korak odluke je samovrednovanje i samoregulacija. Također im je dozvoljeno da si međusobno pomažu u rješavanju.

Uočeno je da neki učenici kad su pogledali skupinu najjednostavnijih zadataka nisu niti sjeli rješavati ih jer su procijenili da mogu krenuti na sljedeću skupinu, težih. Neki učenici su se sa skupine težih zadataka vraćali na lakšu skupinu.

Uspješan proces učenja je isprepleten stalnim samovrednovanjem. Samovrednovanje pomaže unaprjeđenju procesa učenja, razvijanju vlastitih strategija i svako daljnje učenje čini lakšim te omogućuje napredak. Njegovanjem samovrednovanja i samoregulacije vlastitog učenja osnažuje se kompetencija učiti kako učiti te podiže spremnost osobe brzom učenju novih znanja, sadržaja i kompetencija. Transparentnost unaprijed postavljenih ciljeva i ishoda učenja te kriterija vrednovanja usmjerava proces učenja i motivira praćenjem vlastitog napretka.

Literatura

  1. Kurikulum međupredmetne teme Učiti kako učiti za osnovne i srednje škole, Pristupljeno 4. siječnja, Kurikulum medupredmetne teme Uciti kako uciti za osnovne i srednje skole.pdf (gov.hr),
  2. Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne škole i gimnazije i Matematika za srednje strukovne škole na razini 4.2, Pristupljeno 4. siječnja 2022. Kurikulumi nastavnih predmeta Matematika za osnovne skole i gimnazije i Matematika za srednje strukovne skole na razini 4.2..pdf (gov.hr)

Formativno praćenje u matematici

anja_hamrus

Anja Hamruš

Sažetak

U članku je predstavljen praktičan primjer iz nastave matematike u 2.razredu (utvrđivanje znanja) u kojem je testiran svaki pojedini element formativnog praćenja.

Na satovima utvrđivanja znanja u sklopu nastavne cjeline „Prirodni brojevi do 20 i računske operacije”, učenici su radili samostalno po radnim stanicama, sami provjeravali točnost riješenih zadataka, vrednovali svoje znanje prema zadanim kriterijima, vrednovali svoj rad te si postavljali ciljeve za poboljšanje vlastitog znanja. Opisani primjer iz prakse predstavlja vlastito iskustvo uvođenja elemenata formativnog praćenja koje postaje moja vodilja u daljem radu s učenicima.

Ključni pojmovi: matematika, utvrđivanje znanja, formativno praćenje, brojevi do 20, radne stanice.

Uvod

Moje prvo iskustvo s formativnim praćenjem stečeno je prije dvije godine kada smo se kao škola uključili u taj projekt. U školi smo se počeli sastajati na razini aktiva i međusobno raspravljati o primjerima dobre prakse. U školi smo organizirali mnogo međusobnih hospitacija, prisustvovali smo i na nastavi kolega u drugim školama i sudjelovali na edukacijama na temu formativnog praćenja. Studijski sastanci su me također nadahnuli i obogatili novim znanjem i idejama na tom području.

U formativnom praćenju je pet ključnih elemenata (Holcar Brunauer i dr., 2016., str. 8):

  • Svrha učenja i kriteriji uspješnosti. Učenik sudjeluje u oblikovanju ciljeva učenja i kriterija uspješnosti.
  • Dokazi. Učitelj tijekom cijelog procesa učenja omogućava učeniku pokazivanje znanja na različite načine. Dokazi o procesu učenja i znanju pohranjuju se u mapi postignuća ili drugačije.
  • Povratna informacija. Učitelj učenicima daje pravovremene povratne informacije koje učenike usmjeravanju u procesu učenja te ih potiče na davanje povratnih informacija vršnjacima u skupini.
  • Pitanja kao potpora učenju. Učitelj postavlja otvorena problemska pitanja koja potiču razmišljanje, a učenicima omogućava dovoljno vremena da odgovore na njih. Prihvaća sve odgovore i gradi znanje na netočnim i djelomičnim odgovorima.
  • Samovrednovanje, vršnjačko vrednovanje. Učenici procjenjuju svoja postignuća i postignuća svojih vršnjaka na temelju dogovorenih kriterija uspješnosti.

Kada formativno pratim, trudim se što bolje slijediti taj peti korak

Sat utvrđivanja znanja u nastavi matematike

Satovima utvrđivanja znanja željela sam postići da učenici višekratnim utvrđivanjem i samoevaluacijom rada utvrde znanje tamo gdje su uočene praznine. Svrha tog praćenja je bila, da učenici na radnim stanicama, raspoređenima po učionici, ostvare različite ciljeve. Na kraju sata dobila sam jasnu povratnu informaciju o znanju učenika te gdje i kod koga postoje kakve poteškoće u savladavanju nastavnih sadržaja.

TEMA: Prirodni brojevi do 20 i računske operacije (utvrđivanje)

ISHOD:

Učenik zna:

  • Zapisati redoslijed brojeva.
  • Poredati brojeve po veličini.
  • Zbrajati i oduzimati u skupu prirodnih brojeva do 20 bez i s prijelazom desetice.
  • Izračunati zbroj i razliku te zapisati odnose među dobivenim rezultatima ( >, <, =).
  • Pri zbrajanju i oduzimanju pronaći član koji nedostaje.
  • Upotrijebiti računske operacije pri rješavanju zadataka riječima.
  • Upotrijebiti različite strategije pri rješavanju matematičkih problemskih zadataka.
  • Vrednovati svoj rad prema definiranim kriterijima uspješnosti
  • Osvijestiti svrhu učenja i oblikovati kriterije uspješnosti.

Uvodna aktivnost za utvrđivanje predznanja učenika

Učenici su sjedili u krugu. Postavila sam im pitanje: ”Što bi znali reći o broju 15?”

To je zadatak s velikim brojem točnih odgovora koji učenicima omogućava kreativnost, fleksibilnost u razmišljanju, dok učitelju s druge strane nudi informaciju o znanju učenika na višoj kognitivnoj razini. Učenici su iznijeli moguće odgovore:

  • Dobijemo ga ako broju 10 dodamo broj 5.
  • Dobijemo ga ako od broja 17 oduzmemo 2.
  • Sastavljen je od znamenki 1 i 5.
  • Dobijemo ga ako zbrojimo 5+5+5.
  • Sastoji se od 4 ravne i jedne zakrivljene crte.
  • Za 1 je manji od broja 16…

Najčešći odgovori temeljili su se na računskim operacijama zbrajanja i oduzimanja.

Potom smo nastavili sa sljedećom aktivnošću. Svaki učenik bacio je tri velike kocke na kojima su bile označene točke od 1 do 6. Učenik je pročitao brojeve sa triju bačenih kocaka, sastavio račun zbrajanja ili oduzimanja i izračunao ga.

Kad smo završili s obje aktivnosti, razgovarali smo o svemu što smo morali znati kako bi uspješno riješili taj zadatak. Već na prethodnim satovima smo zapisali neke od kriterija, a sada smo im dodali još nekoliko novih.

Na taj način nastali su kriteriji uspješnosti koje smo zapisali u kut ploče.

BIT ĆU USPJEŠAN/USPJEŠNA KADA…

  • rasporedim brojeve od najvećeg prema najmanjem i obrnuto
  • prepoznam pravilo redoslijeda brojeva i nastavim niz
  • pravilno izračunam zbroj i razliku
  • pravilno usporedim brojeve i upotrijebim znak >, <, =
  • pročitam zadatak riječima tako da ga razumijem
  • odaberem ispravan postupak rješavanja zadataka riječima, pronađem točno rješenje i zapišem odgovor.
  • Razumijem i primijenim upute za rad

Učenici su već na tom satu razumjeli kada će biti uspješni i kako će to postići.

Rad po stanicama – dokazi i pravovremene povratne informacije učenicima

U razredu su bile postavljene radne stanice. Na svakoj stanici učenika je čekao drveni pladanj na kojem je bila bojica kojom će popraviti riješeni zadatak; listić sa zadatkom i ljepilo kojim će listić zalijepiti u bilježnicu. Pod pladnjem su se nalazila rješenja zadataka.

Ispred ploče bio je stol za samovrednovanje. Ovdje su učenike čekali samoljepljivi papirići u boji ( zeleni, narančasti i rozi). Zeleni listić će prilijepiti ako zadatak riješi potpuno točno, narančastoga ako zadatak riječi djelomično točno, a rozi listić ukoliko zadatak riješi pogrešno. Bio je pripremljen i kutak s natpisom „ Mogu više” gdje su bili zahtjevniji zadaci.

Na prvoj radnoj stanici učenici su utvrđivali znanje zbrajanja i oduzimanja u skupu prirodnih brojeva do 20, na drugoj su rješavali zadatke riječima, na trećoj uspoređivali Slika 1. Radna stanica – Izvuci jaje sa zadatkom.odnose veličina dobivenog zbroja i razlike, na četvrtoj su bili zadaci redoslijeda brojeva, gdje je učenik prepoznao pravilo o redoslijedu brojeva i nastavljao niz, a na posljednjoj stanici trebao je poredati brojeve po veličini. U učionici je bilo više radnih stanica, a na svakoj je bio jedan tip zadatka.

Slika 1. Radna stanica – Izvuci jaje sa zadatkom

1. ZADATAK

Učenici su iz posude izvukli 4 jaja.

U plastičnim jajima bili su zadaci zbrajanja i oduzimanja. Učenik je zadatke prepisao u bilježnicu i izračunao ih.

2. ZADATAK

Učenik je riješio jednostavan zadatak riječima.

Ivan u ladici ima 15 bilježnica. 7 ih je već ispunio. Koliko bilježnica je još ostalo neispunjeno?

RAČUN:

ODGOVOR: ___________________________________________________________________

3. ZADATAK

Učenici su morali unaprijed izračunati zadani zbroj i razliku, zatim usporediti rezultate i označiti odnos veličina sa znakom ( >, <, =).

image

4. ZADATAK

Učenici su trebali prepoznati pravilo redoslijeda brojeva i nastaviti niz.

3, 6, 9, __________________________________

20, 16 , 12, _______________________________

5. ZADATAK

Učenici su u posudici imali drvene kocke na kojima su bili napisani brojevi od 1 do 20. Izabrali su tri kocke i bacili ih. Dobivene brojeve prepisali su u bilježnicu, a potom ih zapisali rSlika 2. Radna stanica – Uspoređivanje brojeva.edom od najmanjeg prema najvećem. Zatim su bacili 4 kocke, potom 5 kocaka, 6 i 7 kocaka te su svaki put u bilježnicu prepisali dobivene brojeve i poredali ih po veličini od najmanjeg prema najvećem.

Slika 2. Radna stanica – Uspoređivanje brojeva

U kutu „ Mogu više” bili su sljedeći zadaci. clip_image002

1. ZADATAK

Učenik je bacio 3 kocke, pročitao dobivene brojeve i pomoću njih sastavio što više različitih primjera zadataka te ih izračunao. Primjer: 5, 11, 2.

Primjere računa je zapisao: 11 + 2 + 5 = , 11 – 2 – 5 = , 11 – 5 + 2 = , 5 – 2 + 11 = , 2 + 5 + 11=…

2. ZADATAK

Učenik je iz svake posudice izvukao 3 plastična jaja. U svakom jaju nalazili su se listići sa zadacima zbrajanja i oduzimanja s nepoznatim članom. Učenik je zadatke prepisao u bilježnicu i izračunao ih.

3. ZADATAK

Učenik je na temelju poznatih podataka sastavio zadatak riječima.

Primjer: Sastavi zadatak riječima s brojem 7 i brojem 12. Zadatak zapiši u bilježnicu i riješi ga.

Učenici su unaprijed bili upoznati s radnim stanicama. Objasnila sam im tijek rada. Učenici su sami odlučili gdje će rješavati zadatke, a uz pomoć rješenja sami su ih provjeravali. Za vrijeme rješavanja zadataka pratila sam rad učenika, davala im povratne informacije ili objasnila ono što ne razumiju, ukoliko je bilo potrebno.

Samostalnom provjerom i vrednovanjem zadataka, učenike potičemo da kritički pristupaju vrednovanju vlastitog rada te postaju svjesni vlastitih pogrešaka, pogotovo kada kažu: „ Bio sam površan u prepisivanju zadatka.”, „Pogriješio sam u zadataku…” , „ Ovo još ne razumijem dovoljno.”, „ Prebrz/a sam u rješavanju zadataka i zato često pogriješim.”, „ Mijenjam znamenke pri zapisivanju.” Nakon toga su za stolom za samovrednovanje u bilježnice uz zadatak zalijepili zeleni, narančasti ili rozi samoljepljivi papirić.

Na kraju sata svakom sam učeniku dala listić s pitanjem: „ Što ću još vježbati?” Taj listić zalijepili su u bilježnicu ispod riješenih zadataka. Svaki učenik pregledao je zadatke i razmislio što mora još dodatno provježbati na jednom od sljedećih satova kako bi proširio svoje znanje u rješavanju sličnih zadataka.

image

Zaključni dio sata s refleksijom i evaluacijom

Na kraju sata sjeli smo u krug i razgovarali. Učenicima sam postavila sljedeća pitanja:

  • Kako ste se ocijenili?
  • Što još trebate popraviti?
  • Koliko još trebate vježbati?
  • Na kojoj radnoj stanici su bili zadaci koji su vam bili najteži?

Slika 3. Fotografija iz bilježnice učenice nakon prvog sata utvrđivanja znanja.Nakon toga su učenici pročitali svoje odgovore na pitanje „Što ću još vježbati?”

Zatim su iznijeli rezultate samovrednovanja riješenih zadataka te ispričali koji zadaci su im bili najzanimljiviji, a kod kojih su imali poteškoća prilikom rješavanja.

Slika 3. Fotografija iz bilježnice učenice nakon prvog sata utvrđivanja znanja

Slika 4. Zapis iste učenice na listić za samovrednovanje.Slika 4. Zapis iste učenice na listić za samovrednovanje

Slika 5. Fotografija iz bilježnice učenice nakon drugog sata utvrđivanja znanja.Učenici su predstavili rezultate samovrednovanja uz riješene zadatke te ispričali u kojim zadacima su bili najuspješniji, a u kojima su imali najviše poteškoća.

Slika 5. Fotografija iz bilježnice učenice nakon drugog sata utvrđivanja znanja

Nastavne sadržaje utvrđivali smo još nekoliko sati, jer mi je bilo najvažnije da na kraju prilikom evaluacije učenici sami spoznaju, da su svi proširili svoje znanje i da su se trud i rad isplatili.

U zadacima s nizovima brojeva vidljivo je da je učenica napredovala u zadacima koji su joj prilikom prvog rješavanja zadavali poteškoće. Vrednovanjem rada prepoznala je nedostatke u svom znanju, a evaluacijom, nakon što je odgovorila na pitanje: „Što ću još vježbati?”, zadala si je primjeren osobni cilj koji je i ostvarila. Smatram da će učenik, ukoliko si sam zada osobni cilj/zadatak u svrhu napretka, njemu pristupiti s još većom ozbiljnošću i izvršiti ga.

Tijekom evaluacije na sljedećim satovima rada po stanicama sa sličnim zadacima, pitala sam ih je li netko poboljšao svoje znanje u kojem od zadataka iz prethodnog tjedna.

Učenici su prilikom evaluacije na svakom satu uočavali napredak u učenju te se veselili svakom uspješno riješenom zadatku.

Zaključak

Tijekom sata ovakvog tipa učitelj lako primijeni svih pet koraka formativnog praćenja. Vrlo je važno zajedno s učenicima kriterije uspješnosti zapisati i staviti na vidljivo mjesto, kako bi točno znali što se od njih očekuje. Također smatram da je prilikom evaluacije važno da učenici sami, ali uz vodstvo učitelja, spoznaju što još treba vježbati i zašto te koliko im je vremena za to još potrebno.

Prilikom uvođenja elemenata ili koraka formativnog praćenja spoznala sam da se ovakav način rada jako sviđa učenicima i roditeljima. Učenici postepeno postaju svjesni što i zašto uče, u kojem su trenutku naučili nešto novo, koliko dobro čitaju, itd… Uče i navikavaju se na vrednovanje i samovrednovanje, kritičnost i samokritičnost, planiraju svoj rad…

Kod ovih učenika najveće poteškoće prepoznala sam pri oblikovanju i razumijevanju kriterija uspješnosti za što im je najviše potrebno vodstvo i pomoć učitelja. Za to mi je trebalo dosta vremena, no na kraju se isplatilo.

Svjesna sam, da je formativno praćenje dugotrajan proces o kojem još svi trebamo učiti i na njega se naviknuti. Potrebno je isprobati različite metode. Neke će biti uspješne, neke pak manje primjenjive. Na temelju dosadašnjeg iskustva spoznala sam, da svaki učitelj mora pronaći pristup koji njemu najviše odgovara te elemente formativnog praćenja uvoditi i u druge predmete. Osobno ću rad po stanicama koristiti na drugim satovima i predmetima, jer sam kod učenika primijetila veliki napredak u samostalnosti, angažiranosti u radu te praćenju vlastitog napretka u učenju.

Literatura

  1. Holcar Brunauer, A. in drugi (2016). Formativno spremljanje v podporo učenju – Zakaj formativno spremljati. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo.
  2. Učni načrt (2011). Program osnovna šola: matematika. Predmetna komisija Amalija Žakelj e tal. [elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo

Matematika kod najmlađe djece

marjetka_novak

Marjetka Novak

Sažetak

Učenici se na satima matematike susreću sa sadržajima koji su im bliski i potječu iz njihova svakodnevnog života. Matematički sadržaji djeca se susreću na svakom koraku: u školi, kada rješavaju probleme, kada idu u trgovinu, kada nailaze na probleme, kako podijeliti čokoladu na jednake dijelove, kada se orijentiraju na putovanju, pa čak i kad se igraju. Važnu ulogu u djetetovom učenju matematike igra njegovo prvo matematičko iskustvo u školi, jer ima velik utjecaj na njegov daljnji stav prema “pravoj” matematici. Preporuča se da učitelji, kada se bave matematičkim sadržajima, polaze od djetetove svakodnevice i uzimaju u obzir djetetovo iskustvo, njegovo predznanje i njegove želje. Na satima matematike dizajniramo osnovne matematičke pojmove i strukture učenika, razne oblike mišljenja i misaone procese, sposobnosti za kreativne aktivnosti, formalna znanja i vještine te im omogućujemo da nauče o praktičnoj primjenjivosti matematike. U nastavi matematike ne bavimo se samo kognitivnim područjem učenikove osobnosti, već i afektivnim i psihomotornim, jer je osnovni razlog poučavanja i učenja matematike njezin značaj u razvoju cjelokupne osobnosti učenika.

Ključne riječi: matematika, razmišljanje, nastava, razvoj.

Uvod

Mlađi učenici matematike kroz igru ​​uče puno matematičkih sadržaja. Moramo im stvoriti prikladne situacije na razigran i ugodan način i pobuditi njihovu znatiželju, kreativnost, vještine i druge vrline koje će im pomoći u izračunavanju i učvršćivanju matematičkih pojmova. Kroz razne aktivnosti koje se odvijaju “izvan” školskih klupa, pomažemo povećati zanimanje i predanost učenju. Učeći kroz matematičke igre, učenici će biti više uključeni, postići će bolje rezultate i neće imati osjećaj da uče.

Središnji dio

Dječji svijet na početku škole uglavnom predstavljaju konkretne stvari, konkretne operacije. Iz tog razloga, lekcija se mora odvijati na konkretnoj, a ne apstraktnoj razini i biti jasna i razumljiva. U tom se razdoblju djeca prelaze iz predoperativne faze u konkretno, tako da moraju imati na raspolaganju puno didaktičkog materijala, igara i igračaka prilikom formuliranja matematičkih pojmova. Preporuča se imati matematički krug u svakom razredu sa svim potrebnim didaktičkim alatima (Cotič, 2001). U prvom školskom razdoblju dijete je vrlo prijemčivo za sve što se događa oko njega. Suvremeni teoretičari ističu da dijete u to vrijeme najbolje uči u prirodnom okruženju i o svemu što je povezano s prirodnim okolišem. U svakodnevnom konkretnom životu učitelj može dobiti mnogo ideja za poticanje razvoja mišljenja, govora, osjećaja i motoričkog, moralnog i socijalnog razvoja. Razdoblje između 6. i 11. godine života (ovo je rano školsko razdoblje) najuspješnije je za učenje novih obrazaca, uključujući i motoričke. Dijete to uči samo brzo i bez puno napora. Suvremena nastava matematike promiče holističko učenje lekcija, veću povezanost kognitivnog razvoja djeteta i nastave matematike, veću aktivnost učenika. Matematički sadržaj pružamo na način koji je učenicima razumljiv, jasan, zanimljiv i dolazi iz konkretnih iskustava.

Na razini osnovne škole svaki se novi matematički koncept raspravlja na sljedećim razinama (Cotič, Zurc, 2004):

1. POSEBNA RAZINA:

  • postavljanje početne problematične situacije,
  • analiza početne problematične situacije,
  • provedba aktivnosti.

2. GRAFIČKA RAZINA:

  • shematizacija aktivnosti (crtanje, skica),
  • provođenje aktivnosti u raznim drugim situacijama,
  • shematizacija aktivnosti sa sustavnim prikazima.

3. RAZINA SIMBOLA:

  • prezentacija aktivnosti u još općenitijem obliku,
  • generalizacija problema,
  • upotreba razvijenog koncepta u novoj situaciji.

Žagar (2006) piše da se razine uvijek slijede sljedećim redoslijedom: konkretnim, grafičkim i simboličkim. Matematički sadržaji s kojima se dijete susreće u prve tri godine su: geometrija i mjerenje, aritmetika i algebra i ostali sadržaji koji uključuju logiku i jezik te obradu podataka. Svaki je sadržaj specifičan sam po sebi i zahtijeva od učitelja veliku kreativnost i profesionalnost da svaki sadržaj predstavi učeniku na način koji je razumljiv, jasan, ujedno i kreativan, da privuče učenika da sudjeluje i postane aktivan član u matematici. Pritom učitelj ne smije zaboraviti da kada se bavi matematičkim sadržajima prvenstveno izlazi iz konkretnog stvarnog svijeta i iz iskustava koja su bliska učeniku. Matematički se sadržaj nadograđuje iz razreda u razred, pa je osnova od koje polazimo vrlo važna. Jer ako učenik dobro ne savlada osnovne pojmove i ne razjasni svoje ideje, to mu može stvoriti brojne poteškoće u napredovanju u matematičkom sadržaju. Svrha novog kurikuluma iz matematike nije da učenici samo uče matematiku, već da otkrivaju matematiku, razmišljaju o njoj i nadograđuju svoje znanje. Dakle, učenik više ne bi bio samo pasivni slušatelj, već aktivni sukreator vlastitog učenja (Cotič, 2001). Prema rezultatima studija, učenje pokretom uspješnije je od učenja u klasičnoj situaciji – učenju u igraonici. Postizanje učenja kroz pokret može se pripisati većoj motivaciji djece. “Teoretski koncepti i znanje koje su dodirnute osjećajima lakše je i bolje pamtiti. Mnoge kinestetske senzacije koje prate aktivnu igru ​​mogu pridonijeti uspješnijem učenju. Djeca su pažljivija i više su uključena u učenje kroz pokret. Možemo zaključiti da aktivna igra igra važnu ulogu u učenju o teorijskim pojmovima i znanju, jer omogućuje aktiviranje nekoliko osjetilnih područja i ima visoku motivacijsku vrijednost “(Andrejka Kavčič, 2005). Učenje pokretom – kreativno kretanje – u najširem smislu riječi može se definirati kao učenje pokretom. Kreativni pokret jedan je od nešto modernijih procesa učenja. Kad učenje povežemo s pokretom, osoba uči brže i učinkovitije. Pokret je izvor zadovoljstva i opuštanja, neizravno utječući na cjelokupnu sposobnost učenja jer utječe na tjelesna osjetila i osnovne sposobnosti kao što su pamćenje, percepcija, pažnja, orijentacija u prostoru i vremenu, asocijativno razmišljanje i sposobnost rješavanja problema. Matematika je stoga područje koje je izravno povezano s drugim područjima djelovanja.

Zaključak

Mlađi učenici moraju osjećati da je učenje matematike korisno, zabavno i ugodno. Kroz matematičku igru ​​razvijaju logično razmišljanje i prihvaćaju matematiku na drugačiji, kreativniji način. S pozitivnim iskustvima koje stječu postat će samopouzdaniji i uspješniji. Učenici slabiji od učenika također će napredovati i postizati bolje rezultate. Živahna nastava u kojoj učenici uče kreativne ciljeve kreativnim i aktivnim načinom rada, koji prebrzo prolazi.

Literatura

  1. Andrejka Kavčič, R. (2005). Učenje z gibanjem pri matematiki. Priročnik gibalnih aktivnosti za učenje in poučevanje matematike v 2. razredu devetletke. Ljubljana: Društvo Bravo.
  2. Cotič, M., Felda, D., Hodnik, T. (2001). Svet matematičnih čudes 3, Kako poučevati matematiko v 3.. razredu devetletne osnovne šole. DZS, Ljubljana.
  3. Cotič, M., Zurc, J., Kozlovič Smotlak, D. (2004). Celosten pristop pri zgodnjem poučevanju –vloga gibalnih aktivnosti pri pouku matematike. Pedagoška obzorja, let. 19.
  4. Merhar, Umek, Jemec, Repnik, 2013, Didaktične igre in druge dinamične metode, Salve.
  5. Žagar, S., Geršak, V., Cotič, M. (2006). Ustvarjalni gib kot metoda poučevanja matematike. V: Zbornik izvlečkov in prispevkov / 4.mednarodni simpozij Otrok v gibanju, Portorož, Slovenija. Koper: Univerza na Primorskem, Znanstveno-raziskovalno središče.

Matematika u prirodi

darinka_vrlinic

Darinka Vrlinič

Sažetak

Odlazak iz škole učenike uvelike motivira za bavljenje novom temom ili utvrđivanje znanja. U blizini naše škole mnogo je prostora za istraživanje i učenje: voćnjak, školski vrt na visokim gredama, livada, vinograd, polje, brdo Veselica, šuma, potok Obrh. Učenici nižih razreda trebaju što više vlastitog iskustva. To pobuđuje znatiželju i želju za obavljanje aktivnosti. Znanje se produbljuje i ostaje trajno.

Učeći u prirodi, učenici stječu različite vidike, praktična znanja, treniraju orijentaciju, rješavaju probleme, utvrđuju znanja, istražuju, postavljaju pitanja, sudjeluju u skupinama i tako jačaju socijalne vještine.

Slijede praktični primjeri zadataka koji se izvode u prirodi.

Ključni pojmovi: matematika, priroda, učenje, 1. razred.

Škola u prirodi

Utjecaj prirode na čovjeka nije samo dobrobit i zdravlje. Zeleno okruženje smanjuje stres, poboljšava raspoloženje, smiruje nas i vraća k izvornosti, kontaktu s prirodom. Praćenjem i doživljavanjem šume, livade, učenicima se otvaraju nove vizije i stavovi prema prirodi. U skupinama su prisiljeni raditi zajedno, te tako razvijaju komunikacijske, socijalne i liderske vještine, sposobnost zajedničkog rada, međusobnog upoznavanja. Razvijaju kritičko mišljenje i prilagođavaju se grupi.

Zadatak učitelja također je njegovati odgovornost za prirodu, njezino očuvanje za buduće generacije i međusobne veze – ja i priroda. Samo na taj način svi ćemo moći uživati ​​u ljepotama koje nam priroda svakodnevno nudi. Učenike potičem da koriste različite perspektive za postizanje ciljeva i odluka.

Za poučavanje vani trebam pratnju jednog učitelja, što je lakše u prvom razredu jer postoje dvije učiteljice. Priprema za posao zahtijeva pronalaženje novih ideja, motivacija, igara, zagonetki ili čak priča. Planiranje nastave na otvorenom također uključuje razmatranje vremenskih uvjeta.

U prirodi – primjeri iz prakse

Prije odlaska u šumu razgovarali smo o poštivanju prirode, sigurnom kretanju cestom i stazama. Staza nas je vodila pored igrališta, školskog vrta, voćnjaka, vinograda, polja. To smo iskoristili za učvršćivanje znanja.

Učenici su rado sakupljali prirodne materijale, testirali ih, osjećali i provjeravali sve mogućnosti korištenja te ih kasnije upotrebljavali za zadatke. Odabrani zadatci trebali su učvrstiti znanje iz matematike. Upute za rad nisu se morale ponoviti nekoliko puta jer su učenici vrlo pažljivo slušali i željeli su riješiti svaki novi zadatak.

Oblikujte broj

Učenik čita napisani broj na kartonu i oblikuje ga od prirodnih materijala. Primjer: četrnaest (oblikuje brojku 14 od žireva).

Slika 1Slika 2
Slika 1, 2: Oblikuje broj

Slijed

Od prirodnih materijala (npr. odljevci, štapići, lješnjaci) izmišlja slijed i nastavlja ga.

Slika 3
Slika 3. Slijed

Brojenje

Učenik broji: stupove na ogradi, drveće (na primjer, samo šljive) u voćnjaku, redove u vinogradu, broj stabala jabuka u jednom redu uz cestu.

Slika 4Slika 4: Broji listove

Slika i račun

Svaka grupa dobije račun ispisan na kartici. Promatrajući okoSlika 5licu škole, mora pronaći predmete koji odgovaraju računu. Opišite i recite rješenje riječima. Primjer: 1 + 1 = __ (ljuljačka: 1 ljuljačka + 1 ljuljačka = 2 ljuljačke). 6 + 6 = __ (crvene i žute točke na tlu: 6 crvenih točaka + 6 žutih točaka = 12 točaka).

Slika 5. Pronađe ljuljačke

Slika 6Pronađite broj

Svaka grupa dobije brojku zapisanu na listiću. Mora pronaći odgovarajući broj predmeta. Primjeri: 4 (navode 4 klupe ispred škole, grm ima 4 debele grane, na grančici su 4 lista), 1 (jedan orah raste u voćnjaku), 3 (3 breze u blizini škole, u 3 reda zasađene su jabuke u voćnjaku).

Slika 6. Pronađe broj 2

Postavite račun

Slika 7Račun je napisan na kartici, a učenici ga postavljaju i izračunavaju s pomoću prirodnih materijala. Primjer:    12 + 4 = __ (stave jedan češer – to je deset, i 2 lješnjaka, a na drugu hrpu stave još 4 lješnjaka).

Slika 7. Računa s pomoću prirodnih materijala

Duljina, širina, visina, debljina, dubinaSlika 8

Usporedite dva predmeta u prirodi i objasnite odgovarajućim rječnikom (hrast je viši od bagrema, deblo bukve deblje je od bagrema).

Slika 8. Lijevi grm je manji od desnog

Odnosi s veličinom

Prebrojavaju i uspoređuju brojeve i skupove s prirodnim materijalima. Primjer: s lijeve su strane 4 breze, a s desne njih 6, dakle 4 < 6 ​​(4 je manje od 6).

Slika 9Slika 10Slika 11Slika 9, 10, 11. Uspoređuje brojeve

Oblici

Zadatak: pronađite predmet i recite kakva je oblika. Primjer: krug (žir, gljiva, list), trokut (kamen, list).

Slika 16Slika 17Slika 13Slika 15
Slika 14Slika 12
Slika 12, 13, 14, 15, 16, 17: Pronađe oblike

Riješi račun

Na kartici je račun, riješite ga, samo oblikujte rezultat od prirodnih materijala (16 – 5 = __, od listova oblikuje ​​brojku 11).

Slika 18Slika 19Slika 20Slika 18, 19, 20: Oblikuje od prirodnih materijala

Računam s kutijom za jaja

U kutiju za jaja stavljaju kamenčiće, žireve ili kestene i pomažu si u izračunu. Primjer: 8 + 2 = __ (u okvir stavi 8 žireva, a zatim dodaje 2. Koliko ih je ukupno? 10).

Slika 21
Slika 21: Račun – žir

Likovi

Učenici rade u grupi. Elastične niti povezuju od jednog do drugog stabla i tako tvore oblike.

Slika 22
Slika 22: Trokut od niti

Usporedba

U prirodi traže veze između predmeta i biljaka: veliko – malo, dugo – kratko, visoko – nisko, svijetlo – tamno.

Slika 23Slika 25Slika 26Slika 24
Slika 23, 24, 25, 26: Usporedba

Zaključak

Učenici uče da nas rad u prirodi obogaćuje. Ne samo znanjem poput npr. davanja naziva biljkama i životinjama, nego i vježbanjem matematike na razne načine. Poučavanje u prirodi uvijek se pokazalo vrlo uspješnim. Učenici vole sudjelovati i aktivni su sudionici u procesu učenja. Pomažu si, uspostavljaju kontakte, rade zajedno u grupi kako bi brže pronašli pravo rješenje. Razvijaju osjećaj za prirodu, brinu se o njoj i poštuju je. Na poslu se trudimo koristiti što više onih materijala iz prirode koji su već odbačeni, beskorisni. Mogućnost odabira materijala u prirodi velika je i svatko može odabrati vlastiti put do rješenja matematičkog problema. Ako želimo uključiti orijentacijski trening, onda u svoj rad uključujemo tablice i s aplikacijom CŠOD Misija vježbamo računanje, npr. Brojanje do 20. Učenici se raduju takvim avanturama i nesvjesnom učenju matematike u “šetnji”.

Literatura

  1. Cornell, J. (1998). Veselimo se z naravo – naravoslovne dejavnosti za vse starosti. Celje: Mohorjeva družba.
  2. Gross, J. i sur. (2002). Z glavo v naravo. Ljubljana. Center šolskih in obšolskih dejavnosti.
  3. Györek, N. (2016). Gremo mi v gozd. Kamnik: Inštitut za gozdno pedagogiko.
  4. Marentič-Požarnik, B. (1980). Dejavniki in metode uspešnega učenja. Ljubljana: Univerzum.
  5. Marentič-Požarnik, B. (2016). Psihologija učenja in pouka: temeljna spoznanja in primeri iz prakse. Ljubljana: DZS.
  6. McCarthy, C. (2018, 22. svibanj). 6 reasons children need to play outside.
  7. https://www.health.harvard.edu/blog/6-reasons-children-need-to-play-outside-2018052213880
  8. Priročnik za učenje in igro v gozdu (2016). Ljubljana: Gozdarski inštitut Slovenije, Založba Silva Slovenica.
  9. http://dx.doi.org/10.20315/SilvaSlovenica.0003
  10. Rajović, R. (2016). Kako z igro spodbujati miselni razvoj otroka. Ljubljana: Mladinska knjiga.
  11. Vilhar, U. i Rantaša, B., ur. (2016). Priročnik za učenje in igro v gozdu. Ljubljana. Gozdarski inštitut Slovenije, Založba Silva Slovenica.
  12. Zupan, A. (2007). Od igre in dela do znanja. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

Pogled u sunčane dane

Broj 134, lipanj 2021.
ISSN 1848-2171

Evo i ova nastavna godina je stigla kraju! Trenutačno smo svi u pisanju izvješća, matičnih knjiga, svjedodžba i pohvalnica te potpora i kontrola razrednicima. Napokon u društvu svojih kolega, ali pridržavajući se epidemioloških mjera. Smile

A sada uživajte u zanimljivim i “svježim” člancima koji će vas sigurno rashladiti u ovim vrućim ljetnim praznicima.

Čitamo se opet u rujnu!

Za početak pročitajte kako su Google i udruga Suradnici u učenju organizirali prvu online edukaciju međunarodnog programa “Budi internet genijalac”.

image

Edukacija je namijenjena učiteljima koji žele u svoje poučavanje uključiti aktivnosti za podizanje kompetencija odgovornog i primjerenog korištenja interneta prema kurikulumu „Budi internet genijalac“, kojeg je osmislio Google. Više…

APogled_iconleš Vunjak je predstavio alternativne tipovi zadataka, a to su zadaci koje obično ne nalazimo u školskim udžbenicima i zbirkama vježbi. Neki od takvih zadataka su sadržajno bogati problemi, inverzni ili obrnuti problemi i zadaci s razvrstavanjem. Više…

Pogled_iconRazvoj i jačanje čitalačkih vještina ključne su zadaće učitelja, ali i stručnih suradnika školskih knjižničara jer dokazano pozitivno utječu na emocionalni i kognitivni razvoj učenika. Daniela Kuić i Tea Radić donose pregled aktivnosti za poticanje čitanja u razrednoj nastavi. Više…

Pogled_iconTijekom trajanja škole na daljinu Darja Lipovec odlučila se prilikom poučavanja kemije koristiti projektnim radom. Važno je da radom kod kuće učenici steknu što više praktičnog znanja koje istovremeno se može procijeniti i ocijeniti. Više…

Pogled_iconZnamo da većina učenika ne voli matematiku. Monika Hóbor kao učiteljica razredne nastave stalno razmišlja kako približiti matematiku učenicima da bi im bila zanimljivija, zabavnija i, naravno, lakša. I tako je u nastavu matematike uvela igru. Smile Više…

Pogled_iconU svojem radu Tamara Vamberger je predstavila smjernice za rad s učenicima s emocionalnim poremećajima i poremećajima u ponašanju te želi ukazati na nedostatno stjecanje kompetencija savjetodavnog osoblja u javnom školstvu za rad s djecom s posebnim potrebama. Više…

Pogled_iconSamostalnost svakog pojedinca se gradi cijeli život. Janja Štefanič Guštin provela je razne aktivnosti koje se izvode na satovima stranih jezika na razini razreda u dogovoru s razrednicima u poticanju dječje samostalnosti. Više…

Pogled_iconPosao sadašnjosti i budućnosti jest programiranje, stoga će dobri programeri brzo pronaći dobro plaćen posao. Gordana Sekulić-Štivčević u svojem članku željela je odgovoriti na pitanja: Moraju li programeri biti dobri matematičari? Koliko će nam znanje matematike olakšati rješavanje problemskih zadataka u programiranju? Više…

Pogled_iconUmjetna inteligencija sve se više integrira u svaki aspekt našeg života. U projektu ME THE A.I #2.0 učenicima su predstavljene nove tehnologije poput umjetne inteligencije i strojnog učenja, pomažući im da shvate kako djeluje umjetna inteligencija, koja su ograničenja, kako umjetna inteligencija može pomoći ljudima u suočavanju s najvećim svjetskim izazovima, ali i koja se etička pitanja moraju uzeti u obzir, kaže jedna od autorica Iva Naranđa. Više…

Pogled_iconUčenici Osnovne škole Frana Metelka Škocjan i učitelj Igor Pangrčič sudjeluju na različitim Erasmus+ projektima. U sklopu jednog projekta u Estoniji napravili su vozilo na temelju Arduino platforme koje se na stazi utrkivalo putem pametnog Android uređaja. Više…

Pogled_iconU školi se na satu prirode svake godine dotakne tema bacanja hrane, a to je hrana koju ne pojedemo i bacimo je u smeće. U razrednom projektu Katarinu Vinšek i njene učenike je zanimalo kamo ide hrana koju učenici ne pojedu. Više…

Pogled_iconMaja Krajnc je provela istraživanje u kojem je ispitala kako srednjoškolski učitelji procjenjuju odnose s učenicima i suradnicima tijekom rada na daljinu i uspostavljaju li međuljudske odnose. Više…

Pogled_iconUčenici OŠ Tučepi vole pokazati što mogu, znaju i što su naučili, ali nemaju priliku pokazati svoja postignuća. Marlena Bogdanović je odlučila organizirati razredna natjecanja iz različitih područja kako bi svi učenici dobili svoju priliku. Više…

Pogled_iconUz potporu mentora Sanje Pavlović Šijanović i Davora Šijanovića vukovarski gimnazijalci krenuli su stopama prošlogodišnjih maturanata, nastavljajući raditi na brojnim nedovršenim projektima i razvoju novih ideja pri čemu su osvojili i prvo priznanje i zlatnu medalju na INOVA-MLADI 2020. Više…

Pogled_iconSanja Janeš se u svojem članku pozabavila s jednadžbama, ishodima i primjerima, odnosno kako poučavamo i zašto učenici imaju poteškoća s jednadžbama. Više…

Pogled_iconUčenici dodatne nastave informatike uz vodstvo učitelja Zorana Hercigonja odlučili su se za programiranje povijesnog digitalnog uređaja Tamagotchija uz pomoć micro:bit tehnologije. Više…

Gordana Lohajner

Može li informatika bez matematike?

gordana_SS

Gordana Sekulić-Štivčević

Sažetak

Posao sadašnjosti i budućnosti jest programiranje, stoga će dobri programeri brzo pronaći dobro plaćen posao. Većina programera voli i razumije matematiku. Moraju li programeri biti dobri matematičari? Koliko će nam znanje matematike olakšati rješavanje problemskih zadataka u programiranju?

Ključne riječi: programiranje, matematika, povijest, logičke pogreške.

Zavirimo u povijest

U prošlosti su matematičari dali velik doprinos razvoju računalstva. U nastavku ćemo se prisjetiti nekih matematičara.

Blaise Pascal

Blaise Pascal, francuski matematičar, fizičar i filozof, napravio je Pascalinu (prvi računalni stroj). Pascal je počeo raditi Pascalinu (aritmetički kalkulator koji je mogao zbrajati i oduzimati) kad je imao 19 godina kako bi pomogao svom ocu porezniku. Stroj je mogao raditi s brojevima do 9 999 999. Stroj je koristio dekadski brojevni sustav i nije bio dovoljno precizan pa je proizvodnja i prodaja prekinuta.

imageimage
Slika 1. Blaise Pascal                             Slika 2. Pascalina

Charles Babbage

Charles Babbage, engleski matematičar i filozof, tvorac je diferencijalnog i analitičkog stroja. Diferencijalni stroj mehaničko je računalo koje je dizajnirano za računanje polinomnih funkcija, ali se mogao koristiti i za aproksimaciju. Stroj nije dovršen za vrijeme Babbbageova života. U čast 200. godišnjice rođenja matematičara Londonski Muzej znanosti konstruirao je Diferencijalni stroj 2 koji je bio potpuno funkcionalan i ispisivao točno rješenje na 31 znamenku, što je tri puta više znamenaka nego što ispisuje današnji prosječan kalkulator.

Analitički je stroj radio s binarnim brojevnim sustavom i imao sastavne dijelove kao današnja računala (ulazno-izlaznu jedinicu, jedinicu za pohranjivanje podataka, centralnu jedinicu za obradu podataka – procesor, programski jezik).

imageimage
Slika 3. Charles Babbage               Slika 4. Babbageov stroj

Alan Turing

imageAlan Turing, britanski matematičar, kriptograf i teoretičar računarstva, smatra se ocem modernog računarstva. U vrijeme Drugog svjetskog rata sudjelovao je u izgradnji Colossusa, stroja koji je služio za dešifriranje poruka, a nakon rata proučavao je umjetnu inteligenciju.

Slika 5. Alan Turing

A kako je danas?

Vratimo se u sadašnjost i to na same početke učenja programiranja. Pri upoznavanju s novim programskim jezikom najveći problem učenicima predstavlja sintaksa programskog jezika. Kako bi počeli pisati programe, učenici moraju naučiti sintaksu programskog jezika, zapamtiti ključne riječi i pravila. No je li to najveći problem u programiranju? Nije. Programski će nas jezik upozoriti ako neispravno napišemo ključnu riječ. Obično su ključne riječi napisane u drugoj boji (npr. u Pythonu su to zelena, ljubičasta, crna i crvena boja). Možemo načiniti „šalabahter“ ili tablicu s popisom naredbi, funkcija i operatora te ju koristiti u početnom pisanju programa. U čemu je onda problem kod programiranja? Zašto je programiranje tako teško, ali i tako traženo?

Obično se kod početnika u programiranju, koji uspješno napišu program koji radi, dogodi euforija.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Dijeljenje dva broja

Primjer 1. Napiši program koji će za dva učitana broja ispisati rezultat aritmetičkih operacija. Za rješavanje zadatka potrebno je poznavati naredbe za unos i ispis podataka te aritmetičke operatore (int, input, print, +, -, *, /).

imageSlika 6. Rješenje zadatka

Ako su ulazne vrijednosti argumenata 3 i 4, rezultat će biti kao na slici 7.

imageSlika 7. Ispis rezultata

Unesemo li argumente 4 i 0, dobit ćemo rezultat koji je prikazan na slici 8.

imageSlika 8. Ispis rezultata pri dijeljenju s 0

Program nas je porukom upozorio na grešku: dijeljenje s 0 nije dopušteno (ZeroDivisionError: division by zero).

Popravimo program da radi

Program ćemo popraviti tako što ćemo dodati ograničenje, odnosno ispitat ćemo je li djelitelj jednak 0. Ako jest, nećemo izvršiti operaciju dijeljenja.

imageSlika 9. Popravljen zadatak

Sada program radi za sve parove brojeva (unesene vrijednosti). U ovom primjeru olakšavajuća je okolnost što program ispisuje poruku o greški te ga lako možemo popraviti.

Pogledajmo sljedeći jednostavan primjer koji će ispisivati rezultate za sve ulazne vrijednosti bez upozorenja o greški, a neće dobro rješavati postavljeni zadatak.

Opseg trokuta

Primjer 2. Napiši program koji će zatražiti unos tri stranice trokuta te izračunati i ispisati opseg trokuta.

Formulu za računanje opsega trokuta znaju gotovo svi učenici prvog razreda srednje škole. Vjerojatno ova rečenica zvuči banalno, ali formulu za opseg i površinu kruga veliki broj učenika ne zna. Razlog je taj što i nakon završene gimnazije, kad se polaže matura iz više razine matematike , nije potrebno napamet znati spomenute formule. No vratimo se na naš zadatak.

image
Slika 10. Rješenje zadatka

image
image
image
Slika 11. Ispis rezultata

Upisali smo nekoliko primjera za dužinu stranica i program je izračunao opsege. Gotovo svi učenici „uspješno“ riješe zadatak te im nije jasno zašto rješenje nastavniku nije prihvatljivo. Kad ih se uputi da konstruiraju trokute s podacima iz primjera, postaje jasno da je prije računanja opsega potrebno ispitati postoji li trokut sa zadanim stranicama. I tu nastaje razočaranje u programiranje. Zapravo shvate da pisanje programa nije opušteno nizanje naredaba i da je potrebno puno razmišljati i promišljati.

Riješimo ispravno zadatak: prije računanja opsega trokuta trebamo ispitati je li zadovoljen uvjet da je svaka od stranica trokuta manja od zbroja druge dvije stranice.

image
Slika 12. Popravljen zadatak

Iz navedenog se postavlja pitanje jesmo li napretkom tehnologije i računala „oslobodili“ učenike od razmišljanja te ima li to koristi za njih? Trebaju li programeri poznavati matematiku?

Linearne jednadžbe u osnovnoj školi

sanja_janes

Sanja Janeš

Uvodno razmatranje i pitanja

Napravite pokus. U određenom vremenskom razdoblju pitajte ljude kojima ste okruženi dva pitanja:

1. Volite li matematiku?
2. Koji dio matematike koji ste učili vas je usmjerio da ju volite/ne volite?

Za pretpostaviti je da će među mnogim odgovorima vrlo često biti spomenuti razlomci, ¨iksevi¨, ¨slova¨, jednadžbe. S razlomcima je imao problema i slavni Leonardo da Vinci, odjeljak 4. Leonardova matematika prije susreta s Paciolijem

Razlomcima ćemo se pozabaviti u nekom drugom dijelu, a sad ćemo se pozabaviti jednadžbama. Odnosno kako poučavamo i zašto učenici imaju poteškoća s jednadžbama.

Kad u članku spomenemo imenicu jeSlika1dnadžba, nećemo podrazumijevati samo algebarski zapis jednadžbom, na primjer, već na jednadžbu kao koncept odnosno obuhvatit ćemo sve, ili gotovo sve, što možemo povezati s algebarskim pojmom jednadžbe.

Slika 1. Pojmovi vezani uz jednadžbe

Ključni pojmovi: matematika, ishodi poučavanja, metode, linearne jednadžbe.

Kako bismo učenike uspješno podučavali bilo koji koncept važno je odrediti:

  • Ishode poučavanja – kurikulumom su nam zadani odgojno – obrazovni ishodi, a mi moramo valjano odrediti ishode aktivnosti kroz koje ostvarujemo ishode i koje možemo vrednovati.
  • Pristupe i metode vrednovanja usvojenosti ishoda.
  • Metode poučavanja – u nastavi Matematike koristiti valjane matematičke metode koje opisujemo matematičkim jezikom, komuniciramo matematiku u pisanom i usmenom obliku.
  • Strategije poučavanja – zajedno s učenicima otkrivati različite matematički i logički ispravne, strategije i procedure koje mogu primijeniti u učenju.
  • Pri poučavanju težiti razumijevanju koncepta, a tek onda primjenu procedure. To se slaže i s dimenzijama znanja:

Slika2
Slika 2. Dimenzije znanja

Problem

Poučavamo jednadžbe kroz cijelo školovanje, a učenici teško ostvaruju ishod Rješava (linearnu) jednadžbu. Jednadžbe doživljavaju kao nepotrebnu i nepremostivu prepreku. Događa se da u 7. razredu ne znaju riješiti elementarne oblike linearnih jednadžbi proizašle iz nekih fizikalnih problema, na primjer:image

Rješavanje jednadžbi je važno za razvijanje matematičke pismenosti. Isto tako je izuzetno važno zapisivanje jednadžbi proizašlih iz zadatka riječima i problemske situacije. Kroz zadatke riječima i zapisa situacije u njima jednadžbom učenike pripremamo za zapisivanje problemske situacije jednadžbom proizašle iz problema. Uočava se da je učenicima podjednako teško, postaviti jednadžbu koja proizlazi iz neke situacije iz koje treba naći rješenje i riješiti tu jednadžbu.

U ovom članku, najviše ćemo se baviti samom procedurom rješavanja linearnih jednadžbi odnosno pristupu poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi u osnovnoj školi.

Hipoteza

Iako se s jednadžbama susreću od prvog razreda osnovne škole učenici na kraju osnovnoškolskog obrazovanja imaju problem sa samostalnim i uspješnim rješavanjem (linearne) jednadžbe.

Istraživanje

Od kud možemo krenuti u analizi i istraživanju?

Razmotrimo:

  • Kako pristupamo poučavanju jednadžbi?
  • Kakvo je predznanje učenika?
  • Kako je rješavanje jednadžbi sadržano u udžbenicima?
  • Koliko često kroz aktivnosti koristimo rješavanje jednadžbi?
  • Koliki je udio problemskih situacija, u aktivnostima, koje učenici rješavaju postavljanjem i rješavanjem jednadžbe?

Pristup poučavanju

Učenici se s jednadžbom susreću kasnije nego s rješavanjem problemske situacije. Već u predškolskom dobu rješavaju, konkretima, jednostavan problem tipa:

Ako imaš tri bombona, koliko ti ih još treba dati da ih imaš ukupno pet?

Kako djeca rješavaju takav konkretan problem? Kojom procedurom? Kojom računskom operacijom? Kojim strategijama?

Slika3
Slika 3. Prikaz crtežom kao strategije

Mi ne znamo kako u predškolskim ustanovama pristupaju takvim konceptima. Ono što se može pronaći na mrežnim stranicama vrtića je da se koriste već i brojke, znakovi za računske operacije (zbrajanje i oduzimanje), znak jednakosti, znakovi veće od i manje od. Kakva je interpretacija, nije opisano.

Od 1. do 4. razreda osnovne škole

Odgojno-obrazovni ishodi u 1. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Dodatni kod ishoda (MAT OŠ B.1.1) označava da se njime ostvaruju i sadržaji domene B, Algebra i funkcije (određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja).

Naravno da učenici, niti učitelji, ne koriste termin jednadžba, već jednakost. Prikaz problemske situacije crtežom pomaže razumijevanju odnosa u jednakosti pa ju treba koristiti, kad god je moguće, bez obzira na uzrast.

Važno je napomenuti kako bi svaki problemski zadatak prije nego se prijeđe na formalni zapis trebao biti popraćen slikovnim prikazom. Strategija slikovnog prikaza pomaže učenicima da shvate proceduru formalnog zapisa.

Tekstualni zadatak za 1. razred osnovne škole koji spada pod jednadžbe može glasiti:

Primjer 1.

  • Koji broj uvećan za jedan daje pet?
  • Za koliko treba uvećati jedan da bismo dobili pet?
  • Ana ima jednu kunu. Čokolada košta 5 kuna. Koliko joj kuna nedostaje da bi mogla kupiti čokoladu?

Slika4Slika 4. Slikovni prikaz

Primjer 2.

  • Za koliko je devet veći od pet?
  • Ana ima devet kuna. Koliko smije potrošiti kako bi joj ostalo pet kuna?
  • Za koliko treba umanjiti broj devet kako bismo dobili broj 5?

Slika5Slika 5. Slikovni prikaz

Primjer 3. (Zadatak riječima iz udžbenika za 1. razred osnovne škole; traži se i zapis i izračun.)

Za koliko je razlika brojeva 12 i 7 manja od 10?

image

Slika6
Slika 6. Slikovni prikaz

Važno je spomenuti i pristup poučavanju veza računskih operacija pomoću osam jednakosti. Kroz taj pristup se učenicima približava:

  • Povezivanje računskih radnji istog stupnja.
  • Otkrivanje nepoznatog člana jednakosti.
  • Prihvaćanje značenja i važnosti znaka jednakosti.
  • Uočavanja asocijativnosti zbrajanja i ne asocijativnosti oduzimanja.

Primjer 4. Osam jednakosti za zbrajanje i oduzimanje:

image

Kako zorno, crtežom, učenicima prikazati osam jednakosti pokazano je u videu osam jednakosti.

Odgojno-obrazovni ishodi u 2. i 3. razredu osnovne škole koji obuhvaćaju temu jednadžbi su:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Već u drugom razredu se pojavljuje ishod koji sadrži koncept jednadžbe.

Koja je razlika između situacije da se u ishodu 1. razreda osnovne škole spominje određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja i isticanja samog ishoda kao u 2. razredu?

Sintagma određivanje nepoznatoga broja u jednakosti primjenom veze zbrajanja i oduzimanja nalazi se u napomenama, smjernicama za osmišljavanje aktivnosti na satu, nije niti u razradi niti u razinama. Dakle rezultati rada učenika u takvim aktivnostima ne bi se smjeli vrednovati, ali je preporučeno da učenici istražuju takve koncepte radi razvijanja matematičke pismenosti te logičkog povezivanja.

Međutim, čim postoji odgojno-obrazovni ishod, to znači da se rezultati aktivnosti s ishodima aktivnosti proizašli iz odgojno-obrazovni ishoda, mogu i trebaju vrednovati.

Ishodi vezani uz rješavanje jednadžbi postoje i u 3. i 4. razredu osnovne škole.

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

I ti ishodi se mogu, i trebaju, ostvarivati zajedno s drugim ishodima iz različitih domena te na taj način osigurati kontinuitet učenja jednadžbi kroz cijelu godinu.

5. razred

U 5. razredu osnovne škole koncept jednadžbe se može ostvariti kroz nekoliko ishoda. Odaberimo dva koja su najistaknutija prvi je iz domene Algebra, a drugi iz domene Mjera. Osnovni ciljevi ostvarivanja ovih ishoda su uvođenje nepoznanice u zapis jednadžbe, rješavanje jednadžbe vezom računskih operacija i provjera rješenja jednadžbe.

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Ne postoji recept koji bi učitelju garantirao uspjeh u ostvarenju ishoda:

  1. pridruživanje nepoznanice nepoznatoj vrijednosti iz problema
  2. zapis problemske situacije jednadžbom

Uvođenje prikaza nepoznanice slovom može se napraviti odmah, na početku petoga razreda u sklopu ishoda vezanih uz:

  • skup prirodnih brojeva
    ili
  • skupovi točaka u ravnini

Može se započeti s jednostavnim zadatkom riječima i brojevima s kojima ne mogu računati napamet. Svakako prije računanja treba učenike potaknuti da procjenjuju iznos rješenja.

Primjer 5. Ana je uštedjela 1 857 kuna. Bicikl koji želi kupiti košta 2 799 kn. Koliko joj novca nedostaje?

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako: image

Učenici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje.
Ani nedostaju 942 kune.
Provjera će vjerojatno izostati.

U problemu s geometrijskim kontekstom. Učenici su se u četvrtom razredu osnovne škole susreli s konstrukcijom jednakostraničnoga i jednakokračnoga trokuta te računanjem njihovih opsega. Tako da im ta znanja treba samo osvježiti u petom razredu.

Primjer 6. Opseg jednostraničnoga trokuta iznosi 921 cm. Odredite duljinu stranice trokuta (izuzetno je važno uz zadatak nacrtati skicu, priložiti sliku kako bi se kasnije lakše uvela nepoznanica).

Rasprava: 
Kako će učenik riješiti zadatak? 

Najvjerojatnije ovako:

image

Slika7enici će ga rješavati bez zapisa jednadžbe i odgovoriti će na pitanje. 
Duljina stranice jednakokračnog trokuta iznosi 307 cm.
Provjera će vjerojatno izostati.

Slika 7. Prikaz trokuta uz Primjer 6

Želimo li jednadžbu moramo uvesti pojam nepoznanice. Raspraviti s učenicima.
Što je u zadatku nepoznato? Kako ćemo označiti nepoznato?
Što jednadžba jest?
Što znači riješiti jednadžbu?
Kako provjeriti jesmo li dobro riješili zadatak, jednadžbu?

Ovo su izuzetno važna pitanja i  koraci koji se neki puta preskaču u procesu učenja i poučavanja, a posljedica je nerazumijevanje koncepta jednadžbe.

1. Prikaz problema s kupnjom bicikla

Prije samog postavljanja jednadžbe poželjno je crtežom prikazati problemsku situaciju. Iako izgleda da je svejedno kakav prikaz se koristi, možda je desni prikaz učenicima vjerodostojniji.

Slika8   ili    Slika9
Slika 8. Prikaz problema 1             Slika 9. Prikaz problema 2

Nakon prikaza i nakon diskusije treba učenicima ponuditi da samostalno zapišu prikazano na slici. Vjerojatno je da će barem jedan učenik samostalno zapisati:   image

Ako je moguće, učenika pozvati da sam zapiše i obrazloži što je i zašto zapisao.
Konstatirati da je zapis jednadžba s nepoznanicom i povezati problemsku situaciju sa zapisom jednadžbe.

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe. Raspraviti što je zadano (pribrojnik i zbroj) i što je nepoznato (drugi pribrojnik).
Kako izračunati nepoznati pribrojnik?
Vezom računskih operacija.

image

2. Prikaz problema s opsegom jednakostraničnoga trokuta

Probleme u geometriji koji se tiču otkrivanja mjerivih svojstava najbolje je prikazati u geometrijskom kontekstu.
Svakako prije rješavanja ponuditi sliku koja zorno prikazuje značenje opsega. Do izraza za opseg treba doći postupno. Doslovno pratiti značenje opsega, zbroj duljina stranica. Kako su stranice jednakostraničnoga trokuta jednakih duljina, što kraće zapisujemo . Ne bi trebalo preskakati korake kako bi učenici što bolje prihvatili novi koncept, u ovom slučaju zapis problema jednadžbom. Neki učenici će možda zadržati zapis zbroja duljina stranica kao prvi korak. Ne treba ih u tome sprečavati već uputiti i na kraći zapis.

Slika10

Slika 10. Prikaz opsega trokuta

Sljedeći korak je rasprava o rješavanju zapisane jednadžbe.
Raspraviti što je zadano (jedan faktor i umnožak) i što je nepoznato (drugi faktor).
Kako izračunati nepoznati faktor?
Vezom računskih operacija.

image

Svakako napraviti provjeru. Provjera je korak koji se u procesu učenja i poučavanja pravilu izostavlja. Razlog izostavljanja je pravdano nedostatkom vremena, ali je provjera korak koji je jednako važan kao i rješavanje jednadžbe. Dakle, nije cilj samo riješiti jednadžbu već i provjeriti ispravnost rješenja.

Zapravo nema smisla u 5., 6. i 7. razredu rješavati „glomazne“ jednadžbe tipa:

image

već umjereno složene jednadžbe koje proizlaze iz zadatka riječima ili iz problemskog zadatka kod kojih će učenik razumjeti što radi i biti u stanju provjeriti ispravnost postupka i rješenja.

Radeći provjeru učenik će lakše razumjeti značenje vrijednosti nepoznanice kao rješenja jednadžbe. Učenik zapravo vrši supstituciju, zamjenu.

Provjera:

image

Postupak provjere učenicima je izazov i zapravo podrazumijeva korake:

1. Pretpostavka- pretpostavlja da je ispravno riješena jednadžba, da je vrijednost nepoznanice ispravna.
2. Provjera pretpostavke – zamjenjuje nepoznanicu njezinom vrijednosSlika11ti.
3. Potvrda pretpostavke

  • ukoliko na kraju dobije identitet zaključuje da je ispravno riješio jednadžbu.
  • ukoliko na kraju ne dobije identitet zaključuje da nije ispravno riješio jednadžbu.

Slika 11. Prikaz procesa rješavanja jednadžbi

I malo složenije jednadžbe mogu rješavati vezom računskih operacija.

Primjer koji slijedi, otkrivanje duljine jedne od stranica pravokutnika ako je zadan opseg i duljina druge stranice, učenici rješavaju u 4. razredu bez postavljanja jednadžbe, ali upravo primjenom veze računskih operacija.

Kad ih pitate kako ga rješavaju odgovor često glasi: „ Podijelim opseg s dva i oduzmem drugu stranicu.“ Znači da računaju opseg iz oblika koji mi zapravo rijetko koristimo jer se iz njega ne vidi jasno zbroj duljina stranica kao iz oblika .

Zadatak treba riješiti na oba načina. Općenito gdje god postoji rješavanje zadatka na više načina to treba iskoristiti, pokazati različite pristupe kojima se dobiva isti rezultat, rješenje. Učenici pri samostalnom rješavanju takvih zadataka odabiru način koji njima najviše odgovara.

Primjer 7.Slika12 Opseg pravokutnika iznosi 56.8 cm. Duljina jedne stranice iznosi 12.7. Odredi duljinu druge stranice. Rješenje zapiši jednadžbom.

Slika 12. Pravokutnika

1. način

image

Provjera:

image

2. način

image

Provjera:

image

Primjer 8: Opseg jednakokračnog trokuta iznosi image a duljina osnovice . Odredite duljinu kraka tog jednakokračnog trokuta.

image

Provjera:

image

6. razred

Općenito govoreći vezom računskih operacija elegantno je rješavati jednadžbe kod kojih su nepoznanice grupirane na jednoj strani. U 5. razredu niti ne treba rješavati drugačije.

Ishod koji u šestom razredu opisuje rješavanje jednadžbi je:

imageIzvor: Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Naravno da se taj ishod ne ostvaruje samostalno već je vezan i uz druge ishode:

MAT OŠ A.6.7. Računa s cijelim brojevima., MAT OŠ A.6.5. Računa s nenegativnim racionalnim brojevima., MAT OŠ D.6.2. Računa i primjenjuje opseg i površinu trokuta i četverokuta te mjeru kuta.

Ponavljanje ishoda zajedno s drugim ishodima osigurava konstanto „življenje“ s jednadžbama kroz godinu te očekivanu bolju usvojenost.

U šestom je razredu potrebno napraviti pomak ka rješavanju jednadžbi koje imaju nepoznanice i konstante s obje strane znaka jednakosti. Smatra se da na najnižoj razini učenik rješava jednadžbe takve težine da ih, još uvijek, rješava vezom računskih operacija. No već na dobroj razini učenik rješava jednadžbe koje se rješavaju primjenom ekvivalencije.

Naravno da se i kod takvih jednadžbi može primijeniti veza računskih operacija, no matematički je korisnije primijeniti rješavanje takvih jednadžbi primjenom ekvivalencije koja proizlazi iz tvrdnji:

  • Jednadžbe su ekvivalentne samo kad imaju potpuno iste korijene.
  • Dodavanje ili oduzimanje istog broja ili izraza na obje strane jednadžbe daje ekvivalentnu jednadžbu.
  • Množenje ili dijeljenje obje strane jednadžbe istim brojem koji nije nula daje ekvivalentnu jednadžbu.

Na žalost, jedan snažan i dobar matematički koncept ekvivalencije, izgubio je bitku s nematematičkom procedurom „prebacivanja“ koji je postao svakodnevica u poučavanju rješavanja jednadžbi već u šestom razredu. Posljedice toga su dalekosežne:

  • učenici ne razumiju što rade, bave se „prebacivanjem“
  • nakon nekog vremena samo se prisjećaju postupka pa se „prebacivanje“ događa i kod jednadžbi oblika , također mijenjaju i predznake
  • u srednjoj školi pri pojednostavljivanju ili preoblikovanju algebarskih izraza koristi se koncept ekvivalencije koji učenici nisu usvojili u osnovnoj školi iz jednostavnog razloga, nisu ga ni koristili, te ne mogu pratiti pojednostavljivanje niti preoblikovanje

Postupak prebacivanja je zapravo skraćeni put, manjkave ekvivalencije koji učenicima ne treba pokazivati. Izuzetak je ako neki učenik uoči i samostalno počne koristiti rezultate „prebacivanja“ , tada on to i razumije.

Dakle potrebno je samo zadržati put rješavanja ekvivalencijom. Neki će smatrati da on oduzima previše vremena, no bitnije je razumijevanje i pridržavanje matematičkih procedura. Jedino što će se dogoditi jest da učenik neće riješiti deset zadataka već osam što nije gubitak ako učenik radi s razumijevanjem. Za primjenu strategije „prebacivanjem“ ima vremena, kad se stekne određena matematička zrelost.

Primjer 9.

Slika13Slika 13. Prikaz postupka rješavanja jednadžbe ekvivalencijom

Primjer 10.

image

7. i 8. razred

Bavljenje jednadžbama u kontekstu rješavanja problema i zadataka riječima te postupcima, procedurama, za određivanje nepoznatih veličina nastavlja se i u 7. i 8. razredu.

Slika14Slika 14. Prikaz vertikale vezane uz rješavanje jednadžbe

Ishodi direktno vezani uz jednadžbe pripadaju domeni Algebra i funkcije ali se mogu i trebaju ostvarivati zajedno s ishodima u ostalim domenama: Brojevi, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci, statistika i vjerojatnost.

Digitalni alati za rješavanje jednadžbi

Postoje dobri digitalni alati koje možemo koristiti za učenje i poučavanje rješavanje jednadžbi primjenjujući ekvivalenciju.

Danas su digitalna pomagala za rješavanje jednadžbi ono što je nekad bilo džepno računalo, na pravi način iskorišteno može biti velika pomoć u učenju i poučavanju.

OneNote

U OneNote aplikaciji možete zapisati linearnu jednadžbu korištenjem tipkovnice, dobiti rješenje te korake rješavanja primjenom ekvivalencije kako je prikazano u videu na poveznici https://youtu.be/nPl8hfNTnHc.

Graspable Math

Odlična aplikacija za učenje i poučavanje rješavanja, linearnih i inih, jednadžbi. Nalazi se na poveznici GM Canvas (graspablemath.com) . Zbog svojih mogućnosti odlična za snimanje videolekcija. Primjena ekvivalencije se odlično uklapa jer aplikacija ima mogućnost animacije procesa pojednostavljivanja jednadžbi.

Osnovni naputci o radu u Graspable Math dani su u videu na poveznici https://youtu.be/dp53QP3HpeU .

PhotoMath

Je aplikacija koju su osmislili i dalje unaprjeđuju hrvatski stručnjaci. Više o njoj možete saznati na navedenoj poveznici.

Photomath – alat koji matematiku čini jednostavnom – E-laboratorij (carnet.hr)

Zaključci

Ishodi vezani uz rješavanje linearnih jednadžbi ostvaruju se cijelu osnovnu školu i kroz godine učenja se usložnjavaju. No uspješnost u ostvarenju tih ishoda je manjkava s obzirom na duljinu učenja. Razloge tome treba tražiti u:

1. pristupu poučavanju, metodici

Ako razmotrimo najčešći pristup poučavanja rješavanja linearnih jednadžbi, strategijom „prebacivanja“ nepoznanica i slobodnih koeficijenata, možemo naslutiti da učenici zapravo ne razumiju što rade stoga i brzo zaborave. Strategija „prebacivanja“ im je nametnuta, nisu ju sami otkrili stoga ju ubrzo krivo interpretiraju („prebacuju“ i ono što se ne može „prebaciti“, zaboravljaju promijeniti predznak …). Potrebno je što dulje primjenjivati rješavanje linearne jednadžbe zakonima ekvivalencije, a ako neki učenik uoči prečace, neka ih koristi, ali ne treba ih generalno primjenjivati na cijelu populaciju. Ne treba forsirati dugačke i kompliciranje jednadžbe, s više zagrada, već poučavanje usmjeriti na razumijevanje postupka te obaveznu provjeru ispravnosti rješenja.

U sedmom i osmom razredu nastavlja se ostvarivanje ishoda vezanih uz rješavanje jednadžbi u različitim kontekstima, a sve na principu ekvivalencije pri njihovu rješavanju.

2. učestalosti primjene koncepta jednadžbi kroz godine učenja

Trajnost znanja ovisi o razumijevanju onoga što se uči i o učestalosti primjene jednom naučenog. Znanja koja ne primjenjujemo vrlo brzo izgubimo. Glavni uzrok učeničkog neznanja ili gubitka znanja je neprimjenjivanje naučenih koncepata. Ako se jednadžbe uče i primjenjuju u samo jednom razredu na samo jednom konceptu ne možemo računati na trajnost znanja o njihovu rješavanju. Kako su jednadžbe zapisi problemskih situacija prirodno je da ih se koristi u različitim područjima, domenama, učenja: Brojevima, Algebra i funkcije, Oblik i prostor, Mjerenje te Podatci. U svakom od njih nailazimo na jednadžbe odnosno linearne jednadžbe. Zato ishod vezan u rješavanje jednadžbi treba stalno ispreplitati s ostalim ishodima. Na primjer pri planiranju ostvarenja ishoda vezanih uz geometriju prirodno je da primjenjujemo ishode iz domene Mjerenje, Algebra i funkcije i Brojevi.

Kako kurikulum propisuje ishode, a ne sadržaje vrlo je lako u svakom sadržaju pronaći mjesto za jednadžbe, za ostvarivanje ishoda vezanih uz jednadžbe, rješavanje problema ili zadataka riječima. Ishode je puno lakše kombinirati nego propisane sadržaje. Ishode možemo ostvarivati više puta kroz godinu učenja. Također sam kurikulum je osmišljen tako da se koncepti usložnjavaju kroz godine učenja. Takav primjer usložnjavanja je prikazan na Slici 14.

Primjer 11. Ishod vezan uz jednadžbe i rješavanje jednadžbi te njihovu primjenu za rješavanje problema ili zadataka riječima možemo vezati uz ishode:

  • kojima se ostvaruje računanje u bilo kojem skupu brojeva
  • određivanje mjerivih svojstava geometrijskih likova i tijela
  • konstrukcije likova i skupova točaka zadanih pod nekim uvjetima koji zahtijevaju računanje nekih mjerivih svojstava

Primjer 12.

image

Primjer zadatka: Zadan je pravokutnik sa stranicama duljine i . Za koliko se promjeni površina pravokutnika ako mu jednu stranicu smanjimo za cm. Postavi jednadžbu i odgovori na pitanje. Konstruiraj oba pravokutnika.

Ispreplićući različite koncepte osigurat ćemo trajnost usvojenih ishoda i znanja te produbiti razumijevanje. Na taj način ćemo i podići razinu znanja učenika.

Refleksija

Za kraj je potrebno napraviti osvrt na vlastiti rad i poučavanje rješavanja jednadžbi. Pokušajmo odgovoriti na pitanja:

  • Jeste li zadovoljni razinom uspješnosti vaših učenika u rješavanju jednadžbi?
  • Kojom strategijom poučavate vaše učenike rješavati jednadžbe?
  • Što biste mogli promijeniti u svom pristupu poučavanja?
  • Smatrate li da je važnije da učenik zna riješiti jednadžbu (pošto danas postoje digitalni alati koji to mogu riješiti umjesto njih) ili postaviti jednadžbu proizašlu iz problema?
  • Na koje probleme nailazite pri poučavanju učenika u rješavanju jednadžbi?
  • Možete li sa sigurnošću reći da ste ostvarili ishod vezan uz rješavanje jednadžbi?

Izvori:
Kurikulum nastavnoga predmeta Matematika, MZO 28. veljače 2021.

Učenje matematike kroz igru

u 4. razredu

katja_ozimic

Katja Ozimič

Sažetak

Igra predstavlja djetetovu potrebu, aktivnost koju prati zadovoljstvo. Glavne osobine igre su opuštenost, zadovoljstvo, učenje, mašta, kreativnost, uživljavanje, radoznalost i otkrivanje novog. Djeca kroz igru isprobavaju svoje sposobnosti i razvijaju motoričke spretnosti, misaone procese, socijalne vještine, a također izražavaju sami sebe i proživljavaju emocije, druže se itd. Kretanje je od velike važnosti u cijelom predškolskom i školskom razdoblju, budući da igri daje dinamiku i vještine. Djeca nisu aktivna samo u kretanju, već su aktivna i emocionalno i misaono.

Ključne riječi: didaktička igra, matematika, aktivnost, kretanje, motivacija.

Uvod

S učenicima 4. razreda izvela sam nekoliko didaktičkih igara kojima smo ostvarivali ciljeve usvajanja znanja u matematici.

Igru moramo planirati na način da za učenike predstavlja izazov odnosno da je strateška i da potiče suradnju i motivaciju. Prilagoditi se mora i složenost igre – vodeći računa o dobi djeteta, upute za rad moraju biti jasne, a grupe koje formiramo ne smiju biti prevelike. Podloga mora izgledati estetski.

1. Didaktičke igre

a) Brojčani izrazi pomoću kocke

Didaktični materijal: podloga, tri igraće kocke, čepovi, link kocke…

Igrač koji je na potezu baca tri kocke. Upotrijebi bilo koju kombinaciju računskih clip_image002operacija, brojke u brojeve spaja na način da iz triju brojki koje su pale stvara novi broj. Polje na podlozi pokriva dobivenim rezultatom. Svako pokriveno polje donosi 1 bod. Ako polje već dodiruje pokriveno polje, dobiva dodatni bod – što se više polja dodiruje, više bodova dobiva. Pobjeđuje igrač s najviše bodova.

Izvor: Lipovec, A., Škamlec D. i Ferme J., 2019.

b) Četiri u red pomoću brojčanih izraza

Didaktički materijal: podloga, igraće kocke, čepovi, link kocke…

Igrači (moraju biti najmanje dva) naizmjence bacaju dvije kocke (ili više njih). Nakon što prvi igrač baci kocke, može upotrijebiti bilo koju kombinaciju računskih operacija, spajati brojke u brojeve i iz triju brojki koje su pale stvarati novi broj (jedna točka može značiti clip_image0041, 10, 100 itd.). Nakon toga rezultat dobivenih brojeva potraži na igraćoj podlozi i oboji je svojom bojom. Igra se završava kada jedan od igrača uspije obojiti četiri uzastopne brojke u retku, stupcu ili dijagonalno.

Primjer podloge za igru koju po želji možemo mijenjati.     

c) Brojčani izrazi kroz igru Kahoot

Uporabom programa Kahoot izvela sam igru kojom su učenici ponavljali i utvrđivali brojčane izraze.

  • Izračunaju vrijednost brojčanog izraza i pridržavaju se vrsnog reda izvođenja računskih operacija.
  • Izračunaju vrijednost brojčanog izraza sa zagradama.

clip_image006clip_image008

Pripremanje pitanja u ovom programu odvija se brzo. Budući da se u školi tijekom nastave možemo koristiti tablet računalima, i izvedba je jednostavna i brza.

d) Pet u red sa dijelovima cjeline

Didaktički materijal: podloga za igru, link kocke ili čepovi u dvije boje, igraća kocka.

Igrač obje kocke baca zajedno. Brojke koje su pale predstavljaju koordinate na vodoravnoj ili okomitoj liniji. Potražimo polje s tim koordinatama, prepoznamo dio cjeline (npr. dvije trećine), damo mu ime i zapišemo ga simbolom. Ako je odgovor pravilan, polje označimo svojom link kockom ili čepom. Igrač koji prvi uspije u red složiti njih 5, pobjeđuje. Igra je strateška, jer nudi odabir između koordinata.

clip_image010clip_image012
         Izvor: Lipovec, A., Škamlec D. i Ferme J., 2019.

2. Motoričke igre na nastavi

Kada djeca skaču, aktivna su, i to ne samo što se tiče kretanja, već i emocionalno i misaono. Igrom razvijaju ravnotežu, orijentaciju u prostoru i sklad u kretanju.

a) Primjer kretanja tijekom upoznavanja nastavnog gradiva u matematici

Učenik koji je na redu za rješavanje zadaće na ploči, do ploče mora doći na način da tijekom hodanja izvodi vježbu, npr. poskoke, čučnjeve itd.

b) Učenje dijelova cjeline pomoću kretanja

Učenike podijelimo u grupe. Prema uputama učiteljice podijele se na četvrtine, osmine, polovicu… ili pak sami utvrđuju da li se grupa može i dalje dijeliti i kakve bi dijelove time dobili.

c) Ponavljanje i utvrđivanje brojčanih izraza kroz kretanje

Primjeran prostor za izvođenje ove zadaće je dvorana za tjelovježbu. Učenici su podijeljeni u grupe. Učiteljica izgovori brojčani izraz koji rješavaju učenici u grupi, a rezultat prikazuju na način da tijelima sastave pojedine brojeve.

Evaluacija

Ponuđene igre učenici su s veseljem rješavali, i bili su jako znatiželjni koje igre im još igre mogu ponuditi. Neki od učenika su s igranjem nastavili i za vrijeme odmora.

Učenici su rekli da im se sviđa kada učimo pomoću didaktičkih igara, jer su igre poučne i zabavne i uz njihovu pomoć nauče više nego putem klasične nastave.

Kretanje im je pomoglo u učenju i pamćenju.

Igre možemo prilagoditi i drugim razredima od 1. do 9. razreda.

Zaključak

Didaktičkom igrom povećava se zanimanje i motivacija učenika, lakše privučemo pozornost djece, emotivni odnos djece prema sadržaju je pozitivniji, učenje se odvija na nesvjesnoj razini, u igri je aktivnost djece veća. U ovom načinu rada mogu se dokazati i oni učenici koji se inače ne znaju isticati.

U igri bez problema mogu sudjelovati i učenici koji se teže motiviraju za školski rad.

Igre su svekoliko uporabne, dakle ne samo na nastavi, već i za vrijeme odmora, produženog boravka, jutarnjeg čuvanja ili za dodatni rad učenika.

Mislim da je od velike važnosti i to, da učenici još i prije izvođenja igre u razredu poznaju pomagala za igru. Stoga bi se ta pomagala uvijek trebala nalaziti na istom i stalnom mjestu u razredu tako da ih učenici mogu koristiti i tijekom odmora.

Literatura

  1. Marjanovič Umek, L. in Zupančič, M. (ur.). (2006). Psihologija otroške igre.
  2. Od rojstva do vstopa v šolo. Ljubljana: Znanstvenoraziskovalni inštitut Filozofske fakultete.
  3. Marjanovič Umek , L. in Zakrajšek , S. (1991). Dobra igrača. Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
  4. Lipovec, A. in Antolin Drešar, D. (2019) Matematika v predšolskem obdobju. Univerza v Mariboru.
  5. Vir: Lipovec, A., Škamlec D. in Ferme J. 2019. Učenje matematike skozi igro na razredni stopnji. (osebni vir-izobraževanje 1.3.2019 in 2.3.2019). Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta.

Matematika u prirodi

jozefa_vogrinec

Jožefa Vogrinec

Sažetak

U suvremeno doba podučavanje i kretanje u prirodi vrlo su bliski ponajprije zbog nedostatka kretanja kod djece. Istraživanja pokazuju da nastava u prirodi uz kretanje i aktivnosti donosi učenicima bolje rezultate u radu i lakšu percepciju nastavnog gradiva.

Predstavit ću primjer dobre prakse nastave iz matematike uz kretanje u prirodi u vrijeme nastave na daljinu. Na terenu iza škole postavili smo učionicu, koja predstavlja veliki izazov zato što nam omogućava učenje na svježem zraku, uz kretanje i istraživanje. Tamo radimo matematička istraživanja i uz igru učimo. Obavili smo i matematički obilazak okoline škole i istraživali što nam sve predstavlja matematički izazov.

Ključne riječi: matematika, učenje u prirodi, kretanje, igra.

1. Uvod

Suvremeni tempo života ne ostavlja nam puno vremena za prirodu i kretanje u njoj. Prilikom početka školovanja često se zaboravlja na djetetovu potrebu za kretanjem. Spoznaje nekih istraživanja ukazuju na činjenicu da je proces učenja učinkovitiji ako je u učenje uključeno kretanje. Znanje je također trajnije, jer se stječe na temelju iskustva pojedinca. Budući da kretanje kod učenika utječe na razvoj određenih sposobnosti učenja, nije slučajno da ljudi s poteškoćama u kretanju češće pokazuju i poremećaje čitanja i pisanja, koncentracije, pamćenja, apstraktnog razmišljanja, percepcije prostora, ravnoteže, ritma, pjevanja itd. (Ščuka, 2007).

Predstavit ću primjer dobre prakse matematike i kretanja u prirodi nakon nastave na daljinu sa učenicima 2. razreda.

2. Matematika i kretanje

Načinom učenja uz kretanje dijete stječe konkretno iskustvo u rješavanju matematičkih i logičkih problema, koje je, prema Piagetu, od velikog značenja, osobito za djecu u predoperativnom stupnju razmišljanja (Pišot i Planinšec, 2005.).

U početku svog školovanja učenik nije sposoban apstraktno razmišljati, stoga je važno da učitelj gradivo objasni na drugi način. Jedan od mogućih načina prezentiranja nastavnog gradiva je i uključivanje potpunog tjelesnog iskustva u nastavne sate. U nastavi s uključenim kretanjem učenici često nemaju osjećaj da uče, već da se igraju. Naime, takvim načinom učenja učenici zadovolje potrebu za zabavom jer mogu biti opušteni, dobrog su raspoloženja i uživaju u onome što rade.

Rezultati studija pokazuju, da je učenje uz kretanje uspješnije od učenja u klasičnoj školskoj situaciji. Kretanje pridonosi većoj motivaciji djece. Kretanje tijekom nastave je igra, koja je zabavna i puna emocija. Još je raznovrsnije i zabavnije ako se to događa u prirodi. Teoretski pojmovi i znanja koja dodiruju emocije lakše se pamte. Učenici su pažljiviji i više su uključeni u učenje pokreta.

2.1 Matematički pohod

Pripremila sam matematički pohod u prirodu za drugi razred osnovne škole. Sastavljajući zadatke, slijedila sam nastavne ciljeve matematike za drugi razred, koji su propisani u nastavnom programu matematike.

Pomoću zadataka pokušala sam pokazati gdje sve možemo pronaći matematiku u okolini škole i u svakidašnjem životu i kako je možemo kroz pokret u prirodi svladati i razumjeti brže i na zanimljiviji način. Pripremila sam slika 1radni list za učenike. Najprije smo zajedno sa učenicima na karti pogledali plan puta i razgovarali o sigurnosti prilikom pohoda.

Slika 1. Plan rada (Izvor: autor)

2.1.1. Radni list

MATEMATIČKI POHOD

Danas te očekuju zanimljivi matematslika 2ički zadaci koje ćeš riješiti u okolini škole. Želim ti uspješno matematičko istraživanje. Ponesi olovku, metar i radni list.

Slika 2. Istražujemo (Izvor: autor)

Pješačenje započni na školskom dvorištu. Promotri srebrnu ploču na zidu.

1. Kojeg je ploča oblika?______________________________

slika 3Slika 3. Ploča (Izvor: autor)

 Pođi do ograde pored škole.

2. Kako su šipke postavljene u ogradi?
a) vodoravno    b) okomito

3. Prebroji okomite šipke između dva stupa i izračunaj koliko ih ima.

_________________________________________________________

slika 4Slika 4. Ograda (Izvor: autor)

Promotri zastave ispred škole.

4. Što je zajedničko za sve četiri zastave?____________________________

slika 5
Slika 5. Zastave (Izvor: autor)

Pođi do stubišta.

5. Mrav se uspinje na prvu stepenicu. Koliko centimetara mora hodati da bi stigao na vrh stepenice?

slika 6Slika 6. Stube (Izvor: autor)

Školsko dvorište iza škole.

Pođi na školsko dvorište iza škole.

6. Pronađi sve poklopce kanalizacije u kvadratnom obliku. Trči od poklopca do poklopca i prebroji ih. Koliko ih ondje ima? ______________________________

7. Napiši prethodnika i sljedbenika tog broja. __________________________

slika 7Slika 7. Brojimo kvadrate (Izvor: autor)

Popni se na brdo kraj šume. Pogledaj parkiralište.

8. Koliko najviše automobila je moguće parkirati na školskom parkiralištu? ___

9. Koliko je automobila parkirano danas? ______

10. Zapiši dva broja s registarskih tablica parkiranih automobila. ____________

11. Koliki je njihov zbroj? _________________________________

slika 8Slika 8. Parkiralište (Izvor: autor)

12. U šumi odaberi 4 panja i prebroji godove, utvrdi koje su starosti bila srušena stabla. Zapiši brojeve i razvrstaj ih po veličini od najmanjih do najvećih.

____________________________ , ______< ______ < _____<_____

slika 9Slika 9. Godovi na panjevima (Izvor: autor)

Igralište

13. Pronađi zelenu zakrivljenu crtu na igralištu. Pored nje je bijela ravna crta.

Koji je put kraći? _______________

a) ______________

b)image

slika 10Slika 10. Crte (Izvor: autor)

Na livadi

Pođi do planinskog putokaza „Haloška planinska pot (HPP)“.

14. Koliko je vremena potrebno za proći stazom od Podlehnika do Gorce? __________

15. Koliko ima sati hodanja od Gradišča do Cirkulana? _______­­­_________

16. Koliko ima sati hodanja od Gorce do Janškog vrha? _______________

slika 11slika 12
Slika 11. Putokaz (Izvor: autor)             Slika 12. Putokaz (Izvor: autor)

Vrati se preko travnjaka natrag u učionicu na otvorenom. Zaustavi se ispred kuhinje.

17. Kuhari su pripremili iznenađenje za vas. Svaki učenik može odabrati kornet, sladoled na štapiću ili sladoled u loptici i pojesti ga. Napiši u tablicu što i koliko čega ste odabrali. Koja geometrijska tijela predstavljaju?

image

slika 13slika 14
Slika 13. Sladoled (Izvor: autor)  Slika14. Sladoled (Izvor: autor)

Pođi u šumu.

18. Pomoću crtica prezentiraj podatke i odgovori na pitanja.

Kojih je geometrijskih tijela najviše?__________________________

Koliko zajedno ima korneta i sladoleda na štapiću?_______­­­_______

Jesu li svi učenici odabrali sladoled? ______________

slika 15slika 16Slika 15. Linijski prikaz (Izvor: autor)   Slika 16. Linijski prikaz (Izvor: autor)

Pođi do učionice na otvorenom i uredi svoje bilješke.

slika 17slika 18
Slika 17. Učimo (Izvor: autor)   Slika 18. Učionica na otvorenom (Izvor: autor)

slika 19
Slika 19. Učionica na otvorenom (Izvor: autor)

3. Zaključak

Predstavljenim matematičkim zadacima u prirodi učenike sam potaknula da matematički promatraju, istražuju i razmišljaju. Učenici su izrazili zadovoljstvo takvim načinom rada i njihove su posljednje bilješke dokaz da tijekom nastave koja uključuje kretanje u prirodi često imaju osjećaj, da ne uče, već da se igraju. Tijekom rada bili su maštoviti, pronalazili su originalna rješenja, pružali inicijativu.

Matematički pohodi vrlo su učinkovit suvremeni oblik nastave, u kojemu učenici shvate, da se svakodnevno susreću s matematikom, iako toga nisu svjesni. Načinom učenja uz kretanje stječu konkretno iskustvo u rješavanju matematičko-logičkih problema. Omogućava im lakše razumijevanje složenih matematičkih pojmova i pravila. U našem okruženju ima još puno matematičkih situacija, koje ćemo koristiti jer matematika uz kretanje donosi veću motivaciju za rad i bolje nastavne učinke učenika.

Literatura

  1. Harmandić, T. (2013). Matematični sprehod. (Diplomski rad). Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta, Maribor. https://dk.um.si/Dokument.php?id=59405 (Pristupljeno 12.2.2020.)
  2. Lipovec, A. (2010). Matematični potep. Projekt: razvoj naravoslovnih kompetenc. Univerza v Mariboru. http://kompetence.uni-mb.si/S1.16-S1.18_DidakticnaGradiva_S4.pdf (Pristupljeno, 18.1.2020)
  3. Marentič Požarnik, B. (2003). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS.
  4. Rado Pišot, Jurij Planinšec (2005). Struktura motorike v zgodnjem otroštvu. Motorične sposobnosti v zgodnjem otroštvu v interakciji z ostalimi dimenzijami psihosomatičnega statusa otroka. Koper: Založba Annales, zbirka Cinesiologiae.
  5. Program osnovna šola. Matematika. Učni načrt (2011). Ljubljana: Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport. (Pristupljeno 10.1.2020) s: https://www.gov.si/assets/ministrstva/MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf
  6. Ščuka, V. (2007). Šolar na poti do sebe: oblikovanje osebnosti: priročnik za učitelje in starše. Radovljica: Didakta.

BookWidgets u nastavi matematike (1. dio)

bozica_borbas

Božica Borbaš

Sažetak

U članku opisujem BookWidgets, digitalni alat za izradu interaktivnih zadatak i igara, te navodim primjere istih, s naglaskom na primjenu u predmetnoj nastavi matematike u osnovnoj školi.

Ključne riječi: digitalni alat, BookWidgets, interaktivni zadatci, matematika

Slika 1

1. Uvod

Kada nam je u školi opremljena multimedijska učionica pametnom pločom i tabletima, počela sam istraživati i isprobavati razne digitalne alate. Najfunkcionalniji mi se pokazao BookWidgets, a oduševio me već na prvi pogled jer ovaj alat daje učiteljima razne mogućnosti za izradu digitalnih nastavnih materijala koji se mogu koristiti na računalu, tabletu ili mobitelu. Trenutno su u ponudi 42 različita predloška interaktivnih zadataka i igara koje učenicima podijelimo linkom ili QR kodom. Neki od onih koje često koristim u nastavi su kviz, križaljka, uparivanje, anketa, bingo, slučajni odabir i izlazna kartica. U ovom članku navodim primjere njihove upotrebe u nastavi matematike, no mogu se koristiti pri ostvarivanju ishoda svih nastavnih predmeta kao i očekivanja međupredmetnih tema, pa i za vrednovanje, kako formativno, tako i sumativno.

2. Vrste i primjeri interaktivnih zadataka i igara

2.1. Križaljka (Crossword)

Križaljku koristim za ponavljanje raznih pojmova ili uvježbavanje računa s prirodnim slika 2brojevima. U drugom slučaju učenici unose znamenke svojih rješenja. Pri izradi križaljke unese se pojam i opis pojma ili rješenje zadatka i zadatak koji učenici trebaju riješiti. Križaljka se može pomicati mišem ukoliko ju prekriva dio teksta. Ako se klikne na neki redak/stupac (ne oboje istovremeno) istakne se pitanje koje se na njega odnosi. Nakon popunjavanja križaljke učenik odmah dobije povratnu informaciju o uspješnosti – točni unosi označeni su zelenom bojom, a netočni crvenom.

2.2. Uparivanje (Memory Game, PairMatching)

BookWidgets nudi dvije mogućnosti za igru uparivanja – uobičajenu verziju u kojoj ne slika 3vidimo što je na kartcama (Memory) i otvorenu verziju (Pair Matching) koju češće koristim, jer želim da učenici usmjere svu svoju pažnju na uparivanje odgovarajućih zapisa. Mogućnosti primjene u nastavi matematike su brojne, no evo nekih: kvadriranje, ekvivalentni razlomci (proširivanje – skraćivanje), korjenovanje, najmanji zajednički višekratnik i postotci. Na kartice možemo unositi pojmove, brojeve ili slike.

2.3. Slučajni odabir (Randomness)

Moguće je unijeti pojmove, brojeve ili slike koje će biti prikazane slučajnim redoslijedom. Može se koristiti za čitanje velikihslika 4 prirodnih brojeva ili decimalnih brojeva, zbrajanje decimalnih brojeva, njihovo uspoređivanje ili redanje po veličini, i sl.

slika 52.4. Slagalica (Puzzle)

Ovim alatom je vrlo jednostavno izraditi puzzle za slaganje. Samo je potrebno unijeti sliku koju želimo. Možemo koristiti u uvodnom dijelu sata kao motivaciju i uvod u temu.

2.5. Popis za provjeru (Checklist)

slika 6Možemo kreirati i listu u kojoj učenici označavaju određene stavke. To mogu biti koraci pri rješavanju problema ili liste za samoprocjenu ostvarenosti ishoda.


2.6. Bingo

BookWidgets ima i mogućnost izrade interaktivnih bingo kartica. Potrebno je unijeti 24 pojma ili rješenja i podijeliti poveznicu učenicimslika 7a. Kada oni otvore kartice na svom uređaju, svatko ima drugačiji raspored pojmova. Učitelj čita pitanja ili daje odgovarajuće zadatke, jedan po jedan, nasumično odabran. Učenici obilježe točan odgovor (polje promijeni boju), a tko prije popuni redak, stupac ili dijagonalu vikne: „Bingo!”

2.7. Izlazna kartica (Exit Slip)

Izlazna kartica daje učeniku i učitelju uvid u ostvarenost ishoda nakon održanog nastavnog sata. No, u ovu svrhu može se koristiti i običan kviz.

slika 8

2.8. WebQuest

Sve digitalne materijale koje pripremimo za jedan nastavni sat možemo objediniti i podijeliti učenicima samo jednom poveznicom. Ovdje možemo unijeti i druge sadržaje poput teksta, slika, videa ili poveznica na internetske sadržaje.

3. Zaključak

BookWidgets je, dakle, višefunkcionalan alat koji naravno ima i mogućnost izrade ankete i kviza, no to je posebna tema. Dovoljno je reći da pri izradi kviza možemo koristiti čak 32 vrste pitanja, za razliku od mnogih drugih alata koji uglavnom nude pitanja višestrukog izbora, točno/netočno i eventualno daju mogućnost sortiranja. I na kraju za jednog matematičara, najvažnija je mogućnost unosa matematičkih formula, a ovaj alat, uz sve navedeno, podržava LaTeX!

Literatura

BookWidgets Teacher Blog