Istraživačka metoda u nastavi matematike

sanjaL 

Sažetak:

Istraživačka metoda je strategija poučavanja kojom se učenik stavlja u situaciju da samostalnim radom i samostalnim mišljenjem usvaja nova znanja. U ovom tekstu razmotrit će se mogućnosti primjene istraživačke metode u nastavi matematike i iznijeti uvjeti nužni za njenu uspješnu primjenu.

Ključne riječi: nastava matematike, nastavna metoda, istraživački postupak, istraživačka metoda, metodička radionica.

Uvodna razmatranja

Suvremena paradigma poučavanja matematike u hrvatskim školama više ne zadovoljava zahtjeve obrazovanja današnjih generacija učenika. Ona se, naime, sastoji od sljedećih postupaka: učitelj/profesor iznosi/objašnjava neki matematički sadržaj, učenici usvajaju taj sadržaj, trajnost znanja stječu rješavanjem matematičkih zadataka, a nakon toga učitelj/profesor provjerava/ispituje što su od razmatranog sadržaja učenici usvojili te im na temelju subjektivne procjene dodjeljuje ocjene. Pod traženim znanjem najčešće se podrazumijeva količina i brzina reprodukcije iznesenog gradiva.
Aktualni projekt Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske „Hrvatski nacionalni obrazovni standard“ (HNOS), između većeg broja izabranih ciljeva i zadataka izdvaja aktivan odnos učenika prema usvajanju nastavnih sadržaja.

Na temelju dostupnih podataka i rezultata testa PISA (Programme for International Student Assesment), koji od 2000. godine provodi Organizacija za ekonomsku suradnju i razvoj (OECD), moguće je iščitati i potrebu za promjenom u obrazovanju suvremene generacije. Temeljna je ideja u sljedećem:

  1. Učenik dobiva određenu informaciju.
  2. Dobivenu informaciju obrađuje vlastitom aktivnošću.
  3. Traži/ istražuje odgovor na postavljeno pitanje.

Ovakvim procesom obrazovanja učenici usvajaju sposobnosti koje su prosječnoj osobi potrebne za uspješan poslovni život i kojima se stvaraju predispozicije za cjeloživotno učenje.
Ideje navedene u HNOS-u i u PISA testu djelomično je moguće ostvariti primjenom istraživačke metode u nastavi. U nastavku teksta bit će govora o primjeni te metode u nastavi matematike.

Primjena u nastavi matematike

Istraživačka metoda označava nastavni postupak u kojemu učenici samostalno usvajaju nova znanja, tj. samostalno otkrivaju i pronalaze za njih nove matematičke činjenice.
Može li se istraživačka metoda primijeniti u nastavi matematike i u osnovnoj i u srednjoj školi?

Najteži dio i srž znanstveno–istraživačkog rada je postavljanje ili formuliranje problema. Kad znanstvenik jasno postavi problem, završio je, što se znanosti tiče, više od polovice posla. Preostaje mu da rješenje traži jednom ili kombinacijom više znanstvenih metoda, a njih dobro poznaje.
U nastavi matematike poželjno je da i učenici postavljaju pitanja/probleme. Međutim, u većini slučajeva to će biti učiteljev zadatak. Učenikov istraživački rad u nastavi matematike svodi se na otkrivanje matematičkih činjenica, postupaka, pravila i zakonitosti. To svaki učenik radi samostalno, primjenjujući misaone radnje.

Učitelj, pak, postavlja pitanja/probleme vodeći računa o njihovoj psihološkoj i logičkoj povezanosti, logičkom redoslijedu, o stupnju intelektualnog razvoja učenika, individualnim razlikama i njihovom predznanju. Posebnu pažnju treba posvetiti metodičkim i didaktičkim načelima kako bi učenik vlastitim sposobnostima postupno mogao riješiti problem. Slikovito rečeno: od svakog problema treba načiniti „stepenište“ uz koje će se učenik uspinjati vlastitim snagama i doći do cilja. Pritom učitelj treba pratiti postupak kako je koji učenik rješavao problem i pružiti mu možebitnu pomoć. No, ta pomoć treba biti tek tolika da učenik, uz određeni napor, može sam riješiti problem. Učitelj se, dakle, treba pridržavati načela M. Montessori: „Pomozi mi tako da to mogu učiniti sam!“.

Za uspješnu primjenu ove metode potrebno je sljedeće:

  1. Naviknuti učenike na pravi samostalan rad.
  2. Istraživački duh učenika održavati na visini.
  3. Pridržavati se načela postupnosti: početi s lakim i jednostavnijim problemima i postupno ići prema težima i složenijima.
  4. Provesti brižljivo raščlanjivanje složenih problema te podijeliti problem na primjerene metodičke korake.
  5. Način rješavanja problema pokazivati na primjerima.
  6. Imati puno strpljenja u radu i puno vremena.
  7. Biti uporan u radu.
  8. Biti suzdržan u pružanju pomoći učenicima (Ovčar, 2005).

Posebno treba istaknuti ovaj posljednji zahtjev. Treba stvoriti atmosferu u kojoj se učenik osjeća ostavljen sam sebi. Ako se nada pomoći, neće upregnuti sve svoje snage, učiniti sve što može, ni uistinu raditi samostalno pa neće steći ni odgovarajuće navike, potrebne umješnosti i samopouzdanje. Dakle, pomoć treba biti tolika da učenik može krenuti samostalno s onog mjesta na kojem je stao („zapeo“).

Za uspješnu primjenu istraživačke metode potrebno je ispuniti sljedeće uvjete:

  1. Učitelj treba biti potpuno matematički obrazovan.
  2. Učitelj se treba neprekidno usavršavati u psihološkom, pedagoškom, a posebice metodičkom pogledu.
  3. Učitelj treba hrabro započeti s primjenom istraživačke metode i u toj primjeni biti uporan i ustrajan.

Metodički postupak primjene istraživačke metode u nastavi matematike

Primjer: TEŽIŠTE TROKUTA

Sadržaj je izabran zbog sljedećih razloga:

  1. Obrađuje se i u osnovnoj i u srednjoj školi. Za obradu u osnovnoj školi posebno je pogodna istraživačka metoda bez posebnog dokazivanja teorema, dok se u srednjoj školi preporuča i matematički dokaz tvrdnji.
  2. Sadržaj je pogodan za proučavanje pomoću tradicionalnih nastavnih sredstava i pomagala, ali i pomoću suvremenih sredstava – računala.
  3. Može se prilagoditi svakom učeniku prema njegovim individualnim sposobnostima.

U postupku istraživanja treba otkriti sljedeće:

  1. Pojam težišnice,
  2. Pojam težišta,
  3. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki,
  4. Težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 od vrha trokuta.

Potrebna predznanja za usvajanje sadržaja:

  1. Vrste trokuta,
  2. Konstrukcije jednakostraničnog, jednakokračnog i raznostraničnog trokuta,
  3. Konstrukcije simetrala stranica i svojstva simetrale stranice.

Postupak istraživanja:

Postupak istraživanja ove teme može se provesti na dva načina: pomoću pribora za crtanje i pomoću računala. Razlike u etapama istraživanja su male. Najvažnija prednost računala je što se u kratkom roku može proučiti puno više različitih primjera. Nažalost, još uvijek neki učitelji nemaju dostupna računala i pripadajuće računalne programe pa istraživanje mogu napraviti jednako efikasno pomoću bilježnice i pribora za crtanje.

UVOD: U trokutu postoje četiri karakteristične točke. Jedna od njih je težište. Općenito, težište nekog tijela je točka u kojoj se postiže stabilnost tijela. Težište trokuta se određuje pomoću težišnica. Težišnica je dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice.

PRETPOSTAVKE: Sve tri težišnice se sijeku u jednoj točki – težištu. Težište dijeli težišnicu na dva dijela.

PRIBOR I MATERIJAL:

  1. Istraživanje pomoću pribora za crtanje: bilježnica, ravnalo, šestar, olovka i gumica,
  2. Istraživanje pomoću računala: svaki učenik treba imati računalo s instaliranim programom Sketchpad (ili nekim sličnim).

UPUTE:

a) Konstruirajte jedan jednakostraničan trokut proizvoljnih duljina stranica. Konstruirajte simetrale stranica a, b, c i presjeke simetrala sa stranicama označite redom A1, B1, C1. Usporedite duljine clip_image002 i clip_image004, clip_image006 i clip_image008, clip_image010 i clip_image012.

Što primjećujete?

Spojite vrhove trokuta s polovištima stranica. Dobili ste težišnice trokuta.

Gdje se nalazi presjek spojnica?

Sijeku li se sve tri spojnice u istoj točki? Ta točka zove se težište trokuta. Označite težište slovom T.

slika1

Izmjerite duljine spojnica, duljine dijelova spojnica do točke presjeka i rezultate upišite u tablicu.

slika2

Što primjećujete? Postoji li veza između podataka u tablici?

Zaključci koji mogu proizaći iz istraživanja jednakostraničnog trokuta:

  1. Sve stranice su jednakih duljina, sve težišnice su jednakih duljina.
  2. Sve karakteristične točke trokuta se poklapaju i duljine težišnica su jednake duljinama visina (većina učenika to neće uočiti, ali se darovitiji učenici mogu potaknuti na dodatno istraživanje koje bi ih dovelo do tog zaključka).
  3. Simetrale stranica raspolavljaju stranicu.
  4. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki – težištu.
  5. Težište dijeli težišnice u omjeru 2:1 od vrha.

Samostalnim istraživanjem učenik će možda doći i do krivih zaključaka. Na primjeru jednakostraničnog trokuta može zaključiti da su sve težišnice jednakih duljina, ali istraživanjem jednakokračnog te raznostraničnog trokuta shvatit će da je to kriva pretpostavka i zaključiti da duljine težišnica ne trebaju nužno biti jednake.

b) Konstruirajte jedan jednakokračan trokut proizvoljnih duljina stranica. Ponovite isti postupak kao pod a) i podatke dopišite u tablice u drugi stupac. Postoji li veza između podataka u tablici?

slika3

Zaključci koji mogu proizaći iz istraživanja jednakokračnog trokuta:

  1. Dvije stranice su jednakih duljina, dvije težišnice su jednakih duljina.
  2. Simetrale stranica raspolavljaju stranicu.
  3. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki – težištu.
  4. Težište dijeli težišnice u omjeru 2:1 od vrha.

c) Konstruirajte jedan raznostraničan trokut proizvoljnih duljina stranica. Ponovite isti postupak kao pod a) i podatke dopišite u tablice u treći stupac. Postoji li veza između podataka u tablici?

slika4

Zaključci koji mogu proizaći iz istraživanja raznostraničnog trokuta:

  1. Simetrale stranica raspolavljaju stranicu.
  2. Sve tri težišnice sijeku se u jednoj točki – težištu.
  3. Težište dijeli težišnice u omjeru 2:1 od vrha.

REZULTATI: Iz crteža se vidi da se uvijek sve tri težišnice sijeku u jednoj točki. Uspoređivanjem podataka clip_image002[4] i clip_image004[4], clip_image006[4] i clip_image008[4], clip_image010[4] i clip_image012[4] učenici će provjeriti da težišnica spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice. Iz tablica se može očitati da težište dijeli težišnice uvijek u istom omjeru 2:1 ako gledamo od vrha trokuta, tj. 1:2 od stranice.

RASPRAVA: Korištenje računala daje puno više mogućnosti za raspravu. Kako se prije težišta učenici susreću s pojmom središta trokuta opisane i upisane kružnice, a ponekad i s pojmom ortocentra, uočili su da kod tupokutog trokuta središte opisane kružnice i ortocentar mogu biti izvan trokuta. U Sketchpadu se trokuti mogu brzo transformirati iz šiljastokutog u tupokuti i vidjeti da kod težišta to nije slučaj. Također je zanimljivo dodatno proučavati pravokutni trokut. Njegovo težište se nalazi na hipotenuzi. U istraživanje se mogu uključiti i kutovi trokuta pa proučavati gdje će biti središte s obzirom na veličine kutova. Trokut nacrtan u bilježnicu se može izrezati, staviti na štap (ili olovku) tako da bude težište na vrhu štapa i vidjeti stoji li trokut vodoravno s podlogom.

ZAKLJUČAK: Nakon ovog istraživanja učenici bi trebali shvatiti pojam težišnica i težišta, uočiti da se sve tri težišnice sijeku u jednoj točki – težištu i da težište dijeli težišnice u omjeru 2:1 računajući od vrha.

Zaključak

Učinkovitost provođenja istraživačke metode u nekim je nastavnim predmetima dokazana empirijskim istraživanjem (De Zan, 1991). U matematici je također moguće provoditi istraživanja. Istraživačka nastava je osobito pogodna u radu s darovitom djecom unutar izvannastavnih aktivnosti (matematička grupa, dodatna nastava iz matematike, izborna nastava i sl.). Njome se razvija timski rad (iako je moguće napraviti i individualizirano istraživanje), kreativnost, potiče razvoj specifičnih sposobnosti i interesa te je posebno motivirajuća za mlade istraživače.

Literatura:

  1. Banić, S., (2002.): Radionica: suradničko učenje i grupni rad u zbirci Šesti susret nastavnika matematike. Zagreb. Hrvatsko matematičko društvo.
  2. De Zan, I. (1991.): Učinkovitost modela istraživački orijentirane nastave biologije. Zagreb. Metodički ogledi, broj 2 (str. 39-48.)
  3. Kurnik, Z., (2005.): Novi oblici rada u zbirci Motivacija u nastavi matematike. Pula. IGSA.
  4. Mišurac, Z. I. i Plazibat, M., (2005.): Aktivno učenje matematike u razrednoj nastavi u zbirci Motivacija u nastavi matematike. Pula. IGSA.
  5. Ovčar, S., (2005.): Primjena istraživačke metode u nastavi matematike u zbirci Motivacija u nastavi matematike. Pula. IGSA.
  6. Ovčar, S., (1990): Razvijanje mišljenja u nastavi matematike. Čakovec. Zrinski.
  7. Pavleković, M., (2002.): Nastavnikova inventivnost i učinkovitost nastave matematike u zbirci Šesti susret nastavnika matematike. Zagreb. Hrvatsko matematičko društvo.
  8. Sekulić – Majurec, A., (2002.): Novosti u pedagoškom pristupu darovitoj djeci i učenicima u zbirci Poticanje darovite djece i učenika. Zagreb. Hrvatski pedagoško – književni zbor.
  9. Varošanec, S., (2006.): Učenje otkrivanjem. http://web.math.hr/nastava/mnm1/ucenje.doc . Pristupljeno 10. 8. 2009.
  10. Vukosav, M., (2002.): Na putu ka kvalitetnoj školi u zbirci Šesti susret nastavnika matematike. Zagreb. Hrvatsko matematičko društvo.
  11. Izrada učeničkog mini projekta – koraci, http://public.carnet.hr/globe/projekti/miniprojekt.htm . Pristupljeno 10. 8. 2009.