Učiteljski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Sažetak
U tekstu su opisani neki čimbenici koji mogu utjecati na sadržajne i funkcionalne ciljeve u nastavi matematike. To su, primjerice, rezultati znanstvenih studija iz područja metodike nastave matematike te zahtjevi raznih međunarodna ispitivanja poput PISA-e. Na promjene u suvremenoj nastavi matematike utječe i primjena tehnologije u obrazovanju. Računalo u nastavu matematike donosi mogućnosti poput eksperimenta, čime se omogućuje veća aktivnost učenika u usvajanju novih sadržaja i matematičkih koncepata. Tekst je popraćen primjerima za eksperimentalno učenje u nastavi matematike napravljenim u programu GeoGebra.
Ključne riječi: matematika, nastava matematike, PISA istraživanje, eksperiment, računalo u nastavi matematike
Uvod
U vrijeme velikih kurikulumskih promjena, ne samo u Hrvatskoj, nego i u svijetu, kada se pišu novi standardi i mijenjaju programi stari desetljećima, treba dobro razmisliti kakva bi trebala biti nastava matematike u današnjem vremenu. Svjetska istraživanja i studije iz područja metodike nastave matematike donose važne zaključke o tom pitanju. Ti zaključci utječu na promjene kurikuluma u zemljama u kojima ti stručnjaci djeluju. S druge strane, na nove planove utječu i velika međunarodna istraživanja znanja poput TIMSS-a i PISA-e. PISA ispitivanje je već utjecalo na prosvjetne i političke vlasti pojedinih zemalja da okrenu plan i program u smjeru zahtjeva PISA natjecanja s ciljem što boljeg plasmana na sljedećem natjecanju, ali i s ciljem ispunjavanja novih matematičkih zahtjeva koje vrijeme u kojem se nalazimo zahtijeva od učenika.
Uz rezultate studija iz područja predmetne metodike i obrazovanja općenito te uz zahtjeve međunarodnih istraživanja, suvremena nastava matematike se suočava i s mogućnostima novih tehnologija, s uvođenjem računala u nastavu te s promjenama koje nastaju u nastavi matematike uvođenjem računala i njegovih mogućnosti.
U ovom tekstu prikazan je pregled nekih novosti i suvremenih pitanja s kojima se susreće nastava matematike u današnjem informacijsko-komunikacijskom vremenu, uz neke smjernice kojima metodički autoriteti i nadležne organizacije predlažu promjene u nastavi matematike.
Nastava matematike u prošlosti, sadašnjosti i budućnosti
Uz promjene u društvu u kojem živimo mijenja se i sustav obrazovanja, a u promjenama sustava obrazovanja, naravno, nije pošteđena ni nastava matematike. Zapravo, ne samo da svjedočimo novim situacijama u nastavi matematike, već se i sama matematika kao znanstvena disciplina uvelike razvila od svojih početaka.
Iako začeci današnje matematike sežu još u stari Egipat i Babilon, tada je matematika uglavnom bila shvaćena kao isključivo primijenjena disciplina, primjerice, kroz korisne formule za volumene poznatih tijela i sl. Matematika kao deduktivna znanstvena disciplina razvija se u vrijeme stare Grčke, uglavnom kroz geometriju. Arapi preuzimaju znanja starih Grka (geometrija) i Indijaca (aritmetika) i u procvatu svoje kulture od 9. do 14. st. se svojim osvajanjima šire na Zapad. Europljani se tada upoznaju s arapskom matematikom koja je bila uvelike naprednija od europske, pogotovo u području zapisa brojeva i računanja. Naime, tada su u Europi bile u upotrebi rimske brojke koje su polako bivale istisnute od strane arapskih. U stoljećima koja slijede, uglavnom su se prevodili i izučavali stari matematički spisi, a od 16. stoljeća Europa doživljava procvat i tada nastaje moderna matematika. Osnovne matematičke discipline su aritmetika, algebra, geometrija, matematička analiza, matematička logika, teorija skupova, teorija vjerojatnosti, 
kombinatorika i dr. (Gusić, 1995.)
Slika 1 Grčki matematičar Euklid iz 3. st. pr. K. koji je svojim djelom Elementi postavio aksiomatsku osnovu matematike. Autor slike: Rafael (http://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid.jpg)
Razvojem matematike kroz stoljeća čovjek bi očekivao da su se događale i paralelne modifikacije sadržaja u nastavi matematike. No, nije tako. Primjerice, modernije matematičke discipline poput vjerojatnosti i statistike su se tek nedavno (i to u vrlo malom opsegu) uvrstile u matematički plan u Hrvatskoj, iako se, kako u svakodnevici, tako i u međunarodnim istraživanjima, takvo znanje traži u velikoj mjeri. Uostalom, metodika nastave matematike u mnogim zemljama i matematičkim krugovima još nije ni prihvaćena kao znanstvena disciplina, ne ulaže se u istraživanja iz ovog važnog područja, ne postoje svugdje poslijediplomski znanstveni studiji iz metodike nastave matematike koji bi bili rasadnici novih stručnjaka i garancija zauzimanja za primjerenu satnicu i kvalitetne planove u cijeloj obrazovnoj vertikali.
Slika 2. Izvor http://letsplaymath.wordpress.com/2009/02/20/math-teachers-at-play-1/
Suvremena nastava matematike se obično opisuje kao nastava orijentirana prema učenicima što znači da se dosadašnja dominantna uloga nastavnika stavlja u drugi plan, a povećava se učenikova aktivnost u nastavi matematike, posebice kroz eksperiment u nastavi (učenje otkrivanjem). Time nastavnik nije više u poziciji glavnog aktera prijenosa znanja, već postaje koordinator i organizator nastavnog procesa. Uz to, tendencija je poticati odgovornost učenika za vlastiti uspjeh i napredovanje u matematici.
Među studijama europskih stručnjaka za metodiku nastave matematike zanimljivo je istaknuti ideju prof. dr. Rolanda Fischera, suvremenog austrijskog metodičara za nastavu matematike čije se ideje mogu primijeniti i na druga područja i na širi koncept. On u svom radu Höhere Allgemeinbildung (Više opće obrazovanje) ističe tri razine znanja: osnovno znanje, operiranje i refleksiju. Za današnju nastavu matematike je svojstveno da se snažan naglasak stavlja na znanja operiranja koja su kao posljedica toga često svedena na 
gotove recepte bez imalo razumijevanja. Uvodni dijelovi gradiva se u nastavi izvedu na brzinu, zatim slijedi najveći udio posvećen operiranju, a za poticanje refleksije i diskusija uglavnom više nema vremena. Prof. Fischer ističe da naglasak u općem obrazovanju treba staviti na osnovna znanja i na refleksiju, a da čisto operiranje treba prepustiti stručnjacima. Ako govorimo o primjeni računala u nastavi matematike, operiranja bi najvećim dijelom trebalo prepustiti „stručnjacima“, tj. računalima ili kalkulatorima, dok bi refleksivna promišljanja o rješenju opet trebalo prebaciti na učenike i na taj dio stavljati naglasak u nastavi.
Suvremena nastava matematike teži većoj zastupljenosti pitanja otvorenog tipa poput, primjerice, ovoga na slici. Od učenika se tako očekuju sposobnosti točnog obrazloženja odgovora, argumentacije i dubljeg shvaćanja matematičkog sadržaja.
PISA studija i matematička pismenost
PISA (Programme for International Student Assessment) je program međunarodnog procjenjivanja znanja i vještina učenika koji su zajednički razvile zemlje članice organizacije OECD-a (Organisation for Economic Co-operation and Development). Cilj razvoja i uvođenja programa PISA je bio „utvrđivanje stupnja do kojeg su učenici koji se bliže završetku obaveznog obrazovanja usvojili neka znanja i stekli kvalifikacije koje su neophodne za njihovo potpuno uključivanje u društvo“ (PISA/OECD Framework). Službene stranice OECD/PISA-e se nalaze na adresi www.pisa.oecd.org .
Prvo međunarodno PISA istraživanje organizirano je 2000. godine, a nakon toga se provodi svake treće godine i ispituje čitalačku, matematičku i prirodoslovnu pismenost. Dvije trećine svakog ispitivanja posvećuju se tzv. „glavnoj“ domeni. Tako je glavna domena 2000. godine bila čitalačka pismenost, 2003. matematička pismenost, a 2006. godine prirodoslovna pismenost. Sljedeći put, u proljeće 2009. godine, kreće se opet s čitalačkom pismenošću kao glavnim područjem i tako redom. Detaljnije informacije o PISA natjecanju mogu se naći u knjizi M. Braš Roth i dr. (2008.) „PISA 2006. Prirodoslovne kompetencije za život“.
OECD opisuje matematičku pismenost kao “sposobnost pojedinca da prepozna i razumije ulogu koju matematika ima u svijetu, da donosi dobro utemeljene odluke i da primjenjuje matematiku na načine koji odgovaraju potrebama života tog pojedinca kao konstruktivnog, zainteresiranog i promišljajućeg građanina” (Braš Roth i dr., 2008., str. 124). Da bi se matematička pismenost što preciznije “izmjerila”, razvijena je teoretska osnova PISA matematičke pismenosti koja se sastoji od tri komponente: matematičkog sadržaja koji petnaestogodišnji učenik treba poznavati, skupine kompetencija koje učenik treba imati razvijene te situacija (konteksta) u koje je smješten zadatak.
Hrvatska je prvi put nastupila na PISA testiranju 2006. godine kada je rezultat naših učenika iz područja matematičke pismenosti smješten na 36. mjesto u rangiranju svih 57 zemalja (Braš Roth i dr., 2008.) što Hrvatsku smješta statistički značajno ispod prosjeka OECD-a. Evo nekoliko oglednih primjera PISA zadataka iz područja matematičke pismenosti.
|
Primjer: SVJETIONIK
Svjetionici su tornjevi sa svjetlosnim reflektorom na vrhu. Oni noću pomažu brodovima u pronalasku pravog puta. Reflektor svjetionika odašilje svjetlosne signale sa stalnim uzorkom. Svaki svjetionik ima svoj vlastiti uzorak.
Na donjem dijagramu možemo vidjeti uzorak jednog svjetionika. Svjetlosni signali se izmjenjuju s periodima tame.
To je stalni uzorak. Nakon nekog vremena uzorak je ponavlja. Vrijeme potrebno za cijeli ciklus uzorka prije nego što se počinje ponavljati se naziva period. Kada pronađeš period uzorka, lako je proširiti dijagram za sljedeće sekunde, minute ili čak sate.
Koji bi od ponuđenih odgovora mogao biti period zadanog svjetionika?
A. 2 s B. 3 s C. 5 s D. 12 s
Koliko sekundi svjetionik odašilje svjetlo unutar jedne minute?
A. 4 B. 12 C. 20 D. 24
Na donjoj slici nacrtaj graf mogućeg uzorka osvjetljavanja svjetionika koji odašilje svjetlosne signale 30 s u minuti. Period ovog uzorka mora biti jednak 6 s.
|
|
Primjer: PIZZA
Pizzerija nudi dvije okrugle pizze iste debljine, ali različitih veličina. Manja pizza ima promjer 30 cm i košta 30 zeda. Veća pizza ima promjer 40 cm i košta 40 zeda.*
- Koja pizza se više isplati? Objasni svoj zaključak.
|
|
Primjer: ROCK KONCERT
Za potrebe rock koncerta je predviđen teren pravokutnog oblika dimenzija 100 m x 50 m na kojem bi bila smještena publika. Koncert je potpuno rasprodan i teren je bio do kraja pun obožavatelja koji su svi stajali.
- Koji od ponuđenih odgovora prikazuje najbolju procjenu broja posjetitelja koncerta?
A. 2000 B. 5000 C. 20 000 D. 50 000 E. 100 000
© PRIM, Stockholm Institute of Education |
Čak i letimičan pogled na ove PISA zadatke daje naslutiti da se oni poprilično razlikuju od matematičkih zadataka koji se rješavaju na našoj nastavi matematike. U mnogim PISA zadacima traži se znanje iz vjerojatnosti i statistike. PISA stavlja naglasak i na probleme interpretacije grafičkih prikaza što se vidi u prvom primjeru sa svjetionikom (Primjer Svjetionik, Pitanje 1). Također, od učenika se često traži argumentiranje i objašnjavanje svog zaključka (Primjer Pizza) ili bilo koji oblik zadataka otvorenog tipa (Primjer Svjetionik, Pitanje 3). Dosta pažnje poklanja se i procjeni koja je u našoj nastavi matematike tradicionalno zanemarena. Primjer takvog zadatka nalazi se u Primjeru Rock Koncert.
Ovakav prioritet u matematičkim zadacima je nov obzirom na kurikulumske zahtjeve. Neke zemlje su, nakon dubljih analiza, zaključile da iz PISA zadataka treba neke sadržaje i kompetencije uzeti u nastavu pa su prema tome, više ili manje drastično, mijenjale svoje kurikulume.
Eksperiment u nastavi matematike
U tekstu je već rečeno da suvremena nastava matematike teži većoj orijentaciji prema učenicima što znači da se povećava učenikova aktivnost u nastavi, posebice kroz eksperiment u nastavi. Tradicionalna nastava matematike se uglavnom oslanja(la) na nastavnika kao predavača te učenike koji potom samostalno rješavaju zadatke. Drugim riječima, učenik je imao pasivnu ulogu prilikom stjecanja novog znanja. Učenje otkrivanjem se odnosi na mogućnost da učenici samostalno, kroz eksperimentiranje, dođu do novih spoznaja, ideja i rješenja problema.
Eksperimentalan rad ima važno mjesto u metodici matematike jer je povezan s heurističkim strategijama i idejama. Heuristička metoda se odnosi na vođenje, poticanje i usmjeravanje učeničkih ideja na pronalaženje rješenja problema i otkrivanje novih sadržaja. To nastavnikovo vođenje i usmjeravanje se uglavnom ostvaruje kroz razgovor (tzv. heuristički dijalog). Matematičar i metodičar Polya, koji se bavio heurističkom metodom u nastavi matematike, govori o dva aspekta matematike: s jedne strane matematika je stroga i sistematična deduktivna disciplina, a s druge strane matematika je i eksperimentalna induktivna disciplina jer za rješenje problema treba isprobavati mogućnosti, tj. „eksperimentirati“ i djelovati intuitivno. Dakle, prvo trebamo koristiti heurističko razmišljanje, pretpostavke i ideje kako bismo izgradili i pripremili pravi dokaz. Taj princip možemo primijeniti i u nastavi matematike: učenici mogu novo gradivo prvo ispitivati eksperimentalno, a potom možemo prijeći na „stroži“ matematički nivo.
Također, eksperimentalna nastava učenicima daje mogućnost da rade vlastitim tempom te da se više poštuju razlike među učenicima. To znači da nadareni matematičari mogu pratiti nastavu u skladu sa svojim posebnim talentima i time naučiti nešto više na nov način. Dobar primjer za to možemo naći na stranici http://www.normala.hr/graf/index.html gdje učenici mogu saznati više o funkcijama i njihovim svojstvima kroz eksperiment. S druge strane, učenici s teškoćama u savladavanju gradiva mogu eksperimentirati i (konačno) prijeći iz pasivne uloge u aktivnu. Time bi se mogli osloboditi straha i zakočenosti pred matematičkim sadržajem. Jedan primjer za to je otkrivanje trokuta, njegovih svojstava i karakterističnih točaka.
Za eksperimente u nastavi matematike je pogodno gradivo vjerojatnosti.
Računalo u nastavi matematike
Eksperimentalan rad u nastavi matematike posebno može doći do izražaja prilikom upotrebe računala u nastavi matematike. Mnogo je mogućnosti za eksperimentalnu primjenu računala u nastavi matematike. Za modele i simulacije često se koriste razni interaktivni alati (Flash, web alati i sl.), ali i softveri dinamične geometrije, CAS i grafički alati. Ovdje ćemo se zadržati na programu dinamične geometrije GeoGebra, u kojem ćemo prikazati neke korisne primjere za eksperiment u nastavi matematike, a koji su nastali u sklopu tečaja Udruge za promicanje nastave matematike Normala. GeoGebra je program koji posjeduje svojstva programa dinamične geometrije (animirano pomicanje geometrijskih objekata), ali i mogućnosti CAS-a (prikazivanje u simboličkom i grafičkom obliku te tablični kalkulator). Uz to, GeoGebra spada u grupu besplatnih open source programa, vrlo je dostupna za preuzimanje i ima svojstvo da za online rad s uratcima načinjenim u GeoGebri ne moramo imati instaliranu Geogebru na računalu.
Eksperimentalan rad se, primjerice, može provoditi za ispitivanje svojstava funkcija kroz promjene raznih parametara, pri čemu se promatraju promjene na grafu i donose zaključci. Tako se mogu istraživati karakteristike poput monotonosti funkcija, zatim simetričnosti, karakterističnih točaka i sl. Primjerice, učenik može uspješno eksperimentirati s interaktivnim materijalom o jednadžbi pravca i grafu linearne funkcije. Za preporuku je i istraživački materijal o elipsi, gdje učenik može istraživati od najjednostavnijih zanimljivosti vezanih uz elipsu pa sve do njenih skrivenih svojstava koja zadiru dublje u matematiku. Još tema za učenje matematike otkrivanjem čitatelj može pronaći ovdje.
Također, eksperiment se može provoditi kroz razna ponavljanja računanja ili koraka konstrukcije kako bi učenik vlastitim tempom i brojem ponavljanja uočio tražena svojstva. Učenik može otkrivati razna matematička pravila i postupke, primjerice, pravila deriviranja ili integriranja, pravila računanja s izrazima itd.
Prilikom upotrebe eksperimenta u nastavi matematike, svaki nastavnik kao voditelj treba obratiti pažnju na dvije važne stvari. Prvo, može se dogoditi da učenici nakon što eksperimentalno utvrde određena svojstva ili ideje, nemaju potrebu za pravim matematičkim dokazom jer smatraju da je eksperiment koji su napravili dovoljan dokaz da uočeno pravilo vrijedi općenito. Stoga bi nastavnik, prema dobi učenika, trebao brižljivo ukazati na potrebu za pravim matematičkim dokazom, tj. činjenici da heurističke ideje ipak nisu egzaktno provjerene.
Drugo, treba spomenuti da to što se dijelovi nastave odvijaju po heurističkim metodama, ne znači da ta nastava nije sistematski organizirana. Naprotiv, nastavnik treba dobro organizirati takav sat, poznavajući prikladne metode i mogućnosti računala. Nastavnik također treba procijeniti je li određeno gradivo prikladno za eksperimentalni rad ili je prikladnije za neku drugu metodu ili nastavni oblik.
Zaključak
Na nastavu matematike utječu mnogi čimbenici. To su, između ostalog, znanstvene studije iz područja metodike nastave matematike, uvođenje računala u obrazovanje, velika međunarodna istraživanja poput PISA-e i dr. Ti čimbenici mogu promijeniti dosadašnje ciljeve tradicionalne nastave matematike i u prvi plan, umjesto sposobnosti operiranja, staviti zadaće poput eksperimentalnog pristupa, sposobnosti interpretiranja i pravilnog čitanja raznih grafičkih prikaza (statističkih, nelinearnih i sl.), zatim sposobnosti postavljanja problema, njihovog rješavanja upotrebom tehnologije te diskutiranjima o mogućnosti rješenja, razvijanje sposobnosti argumentiranja matematičkih ideja, korištenje interdisciplinarnosti itd. Naravno, pri tome neizostavne zadaće nastave matematike poput razvijanja apstraktnog mišljenja, logičkog mišljenja i zaključivanja te primjene matematike u svakodnevici, i dalje ostaju prisutne, ali s novim sadržajima, češćim eksperimentom u nastavi matematike, traženim sposobnostima i tehnologijom. U Hrvatskoj, uz opisane mogućnosti promjena, treba dodati još jedan banalni zahtjev: kod nas je velika potreba za sustavnim poboljšanjem obrazovne vertikale u nastavi matematike. Naime, raznim reformama došlo je do neplanskog sakaćenja gradiva matematike u osnovnoj školi, ali ne paralelno i u srednjoškolskom gradivu (primjer za to su skupovi, funkcije, karakteristične točke trokuta i dr.). Zbog toga nam se događaju neoprostive situacije u kojima učenik ispašta zbog loše organizirane obrazovne vertikale. To je još jedna stavka koja bi se trebala uzeti u obzir prvom prilikom pri promišljanju o poboljšanju nastave matematike.
Ovdje su opisani samo neki čimbenici koji mogu utjecati na promjene i nove tendencije u nastavi matematike. Opisani čimbenici pripadaju području metodike nastave matematike, ali ne treba smetnuti s uma ni socijalne, psihološke i društvene aspekte koji utječu na učenike, na njihovo ponašanje i stav prema školi, znanju i matematici samoj. Samo uz obuhvaćanje što više potrebnih parametara moguće je pronaći rješenja za efikasnu organizaciju i realizaciju suvremene nastave matematike.
Literatura
- Braš Roth, M., Gregurović, M., Markočić Dekanić, V., Markuš, M. (2008.): PISA 2006. Prirodoslovne kompetencije za život. Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja – PISA centar. Zagreb. Pristupljeno 14. 3. 2009. na http://dokumenti.ncvvo.hr/PISA/PISA-kompetencije.pdf
- Fischer, R. (neobj.): Höhere Allgemeinbildung. Sveučilišna skripta, 15 str. Pristupljeno 14. 3. 2009. na imst2.uni-klu.ac.at/materialien/_design/fischer190901.pdf
- Glasnović Gracin, D.: Matematička pismenost (1. dio). Matematika i škola 39 (2007). 155-163. Element. Zagreb. 2007.
- Glasnović Gracin, D: Matematička pismenost (2. dio). Matematika i škola 40 (2007). 202-210. Element. Zagreb. 2007.
- Glasnović Gracin, D.: Računalo u nastavi matematike. Teorijska podloga i metodičke smjernice. (1. dio: Potencijali primjene računala u nastavi). Matematika i škola 46 (2008). 10-15. Element. Zagreb. 2008.
- Glasnović Gracin, D.: Računalo u nastavi matematike. Teorijska podloga i metodičke smjernice (2. dio: Promjene u nastavi matematike). Matematika i škola 47 (2008). 81-84. Element. Zagreb. 2008.
- Gusić, I. (1995.): Matematički rječnik. Element. Zagreb.
- Schneider, E. (2002): Computeralgebrasysteme in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht. Didaktische Orientierungen – Praktische Erfahrungen. Profil Verlag. München-Wien.
- Šuljić, Š. (2005): Geogebra (2) – Prvi softver dinamične geometrije na hrvatskom jeziku. Matematika i škola, br. 29, Element. Zagreb.
- Šuljić, Š. (2006): Geogebra (6) – S dinamičnim crtežom na Internet. Matematika i škola, br. 33. Element. Zagreb.
- ***: Mathematical Literacy. The PISA 2003 Assessment Framework – Mathematics, Reading and Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, 2003.
Od 24. do 26. travnja se u Beču održavalo 6. europsko natjecanje inovativnih učitelja i nastavnika (ITF) s kojeg smo se vratili ispunjeni idejama za nove projekte i međunarodnu suradnju. Atmosfera je bila poticajna, zabavna i vrlo ugodna, a hrvatska je ekipa funkcionirala savršeno. Ovogodišnje su nagrade otišle u Belgiju, Bugarsku, Grčku, Nizozemsku, Sjevernu Irsku, Slovačku, Srbiju i Veliku Britaniju, a nas je razveselila nagrada publike za rad Helene Miljević i Siniše Topića i valcer u carskoj palači. O ITF-u u Beču detaljno pišemo u travanjskom Pogledu, a do tada na adresi pil-reportaze.spaces.live.com možete čitati kratke reportažne crtice iz Beča. 
Hrvatsko natjecanje "Primjena računala u obrazovanju" zaokružit ćemo člankom Darka Jurekovića. Nadamo se da ćete i vi svojim idejama i prijedlozima utjecati na realizaciju natjecanja sljedeće godine. Više… 
Sažetak
Pogled kroz prozor 
Trebate biti prijavljeni kako bi objavili komentar.